slide1
Download
Skip this Video
Download Presentation
Двойные интегралы

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 18

Двойные интегралы - PowerPoint PPT Presentation


  • 113 Views
  • Uploaded on

Двойные интегралы. Лекция 7.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Двойные интегралы' - mari-cross


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide2
Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием

цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью.

Цилиндрический брус
slide3
Вычисление объема цилиндрического бруса
slide4
Объём цилиндра приближённо

выражается суммой

где Δσi–площадь элементарной ячейки . Таким образом, переходя к пределу при условии, что

max diamΔσi→0, мы получим точный объём цилиндра:

Продолжение
slide5
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что max diam Δσi→0, не зависящий ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то он называется двойным интегралом по области D от функции z=f(x,y) и обозначается Определение двойного интеграла
slide6
Таким образом, по определению

=

В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной функцией, D – областью интегрирования, а dσ – элементом площади.

Продолжение

=

.

slide7
Назовём область Dзамкнутой, если этой области принадлежат как внутренние, так и граничные точки области, то есть если граница области причисляется к самой области.Некоторые определения
slide8
Кривая называется гладкой, если эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую своё положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если её уравнение на плоскости Oxy может быть записано в виде y=f(x) (a≤x≤b), где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на данном интервале (a,b).Некоторые определения
slide9
Кусочно – гладкой мы называем кривую, которую можно разбить на гладкие кривые точками. Например, кусочно – гладкой кривой является ломаная. Сформулируем без доказательства теорему.Некоторые определения
slide10
Если область D с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл

как предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(.

В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

Условие существования двойного интеграла
slide11
Двойной интеграл в декартовых координатах

Так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки, то в декартовых координатах область разбивают на ячейки прямыми, параллельными координатным осям.

Тогда элемент площади dσ в

декартовых координатах полагают равным

dσ=dxdy.

slide13
Правильная в направлении оси оУ область

Пусть область ограничена сверху и снизу кривыми, изображенными на рисунке, а с боков – отрезками прямых. Прямая, параллельная оси, пересекает нижнюю и верхнюю границы области не более, чем в 2-х точках. Такую область называют правильной в направлении оси Оу.

slide14
Назовем двукратным интегралом по области, простой и правильной в направлении оси Ох , интеграл вида

Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний.

Двукратный интеграл
slide15
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
slide16
Двойной интеграл по области, простой и правильной в направлении оси Ох, сводится к двукратному интегралу по такой области:Сведение двойного интеграла к двукратному
slide17
Если область простая и правильная в направлении оси оХ
slide18
Если область является простой и правильной в направлении обеих координатных осей, то интеграл можно вычислить в любом порядке:

=

=

Двойной интеграл по правильной области