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4. Codifica binaria dell’informazione. Ing. Simona Colucci. Codifica binaria dell’informazione. Tutte le informazioni vanno tradotte in bit(organizzati poi in byte o parole ): Numeri naturali Numeri interi(con segno) Numeri frazionari Numeri reali Caratteri Immagini

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4. Codifica binaria dell’informazione

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4 codifica binaria dell informazione l.jpg

4. Codifica binaria dell’informazione

Ing. Simona Colucci

Fondamenti di Informatica

CDL in Ingegneria Meccanica (B) - A.A. 2009-2010


Codifica binaria dell informazione l.jpg

Codifica binaria dell’informazione

  • Tutte le informazioni vanno tradotte in bit(organizzati poi in byte o parole):

    • Numeri naturali

    • Numeri interi(con segno)

    • Numeri frazionari

    • Numeri reali

    • Caratteri

    • Immagini

  • Nell’interazione con il calcolatore la codifica in binario e la decodifica in formato leggibile sono trasparenti all’utente

Fondamenti di Informatica

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Numeri naturali sistemi di numerazione l.jpg

Numeri naturali: Sistemi di numerazione

  • Un sistema di numerazione è composto da:

    • Insieme finito di simboli o cifre

    • Regole che permettono di rappresentare i numeri naturali

  • Classificazione

    • Sistemi additivi (Es. sistema romano parzialmente):

      • Ogni cifra assume un valore prefissato

      • Il numero si ottiene addizionando le cifre che lo compongono

      • Impossibilità di rappresentare numeri molto grandi e difficoltà di esecuzione delle operazioni matematiche

    • Sistemi posizionali (Es. sistema decimale):

      • Le cifre acquistano un peso diverso a seconda della posizione che occupano

      • Un numero generico di m cifre è rappresentato in base p dalla sequenza:

        an, an-1, an-2,..., a0

      • Compattezza di rappresentazione anche per numeri molto grandi e facilità di esecuzione delle operazioni

an : cifra più significativa

a0 : cifra meno significativa n = m-1

ai {0, 1, ..., p-1}

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Sistemi posizionali rappresentazione in base p l.jpg

Sistemi posizionali:Rappresentazione in base p

Numero naturale N, composto da m cifre, in base p:

  • Rappresentazione

  • Spazio di Rappresentazione:

    numeri nell’intervallo discreto [0 , pm - 1]

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Il sistema decimale rappresentazione in base 10 l.jpg

Il sistema decimale: rappresentazione in base 10

  • Sistema posizionale

    • Esempio: 123 = 100 +20 +3

  • Base: p = 10

  • Insieme di simboli: ai {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

  • Numero naturale N di m cifre:

    • Rappresentazione:

      • N10 = an·10n+an- 1·10n-1+…+a0·100 n=m-1

      • Esempio, con m=3:

        58710 =5·102+8·101+7·100

    • Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [0, 10m-1]

Fondamenti di Informatica

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Sistema binario rappresentazione in base due l.jpg

Sistema binario:Rappresentazione in base due

  • Sistema posizionale

  • Base binaria: p=2

  • Insieme di simboli: ai {0, 1}

    • Simboli chiamati bit (binary digit)

    • Otto bit chiamati byte

  • Numero naturale N di m cifre:

    • Rappresentazione:

      • N2 = an·2n+ an-1·2n-1+…+a0·20n=m-1

      • Esempio, con m=5:

        110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710

    • Spazio di rappresentazione:

      • intervallo discreto [0 , 2m -1]

      • Esempio con m=8: [000000002 , 111111112],ovvero: [010 , 25510]

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Il sistema binario unit di misura l.jpg

Il sistema binario: unità di misura

  • kilobyte(Kb) = 210 byte = 1024 byte

  • megabyte(Mb) = 220 byte = 1048576 byte

  • gigabyte(Gb) = 230 byte = 1073741824 byte

  • terabyte(Tb) = 240 byte = 1099511627776 byte

    Le approssimazioni a potenze di 10:

  • sono accettabili solo per i kilobyte: 1024 ~1000

  • sono inaccettabili per 104 ,105 ,106

  • le lettere maiuscolenel simbolo indicano che non si tratta delle potenze di 10 del sistema internazionale

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Basi ottale ed esadecimale l.jpg

Basi ottale ed esadecimale

  • Rappresentazione in base 8:

    • Base ottale: p=8;

    • Insieme di simboli ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

    • Numero N di m cifre:

      • Rappresentazione: N8 = (an·8n+an-1·8n-1+…+ a0·80)10 n=m-1

        Es. 2348 = (2·82+3·81+4·80)10 = 15610

      • Spazio di rappresentazione: [0, 8m-1]

  • Rappresentazione in base 16:

    • Base esadecimale: p=16;

    • Insieme di simboli ai {0, 1, 2, …, 9, A, B, C, D, E, F}

      • Notare: “11” al posto di “B” e “15” al posto di “F”, i loro equivalenti in base dieci

    • Numero N di m cifre:

      • Rappresentazione: N16 = (an·16n+an-1·16n-1+…+ a0·160)10 n=m-1

        Esempio: B7F16 = (11·162+7·161+15·160)10 = 294310

      • Spazio di rappresentazione: [0, 16m-1]

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Conversioni di base l.jpg

Conversioni di base

  • Per convertire da base p a base 10:

  • Esempio: 110112 = (1·24+1·23+0·22+1·21+1·20)10 = 2710

  • Per convertire da base dieci a base due:

    • Metodo delle divisioni successive: esempio

      331:2 = 165 con resto di 1

      165:2 = 82 con resto di 1

      82:2 = 41 con resto di 0

      41:2 = 20 con resto di 1 (331)10=(101001011)2

      20:2 = 10 con resto di 0

      10:2 = 5 con resto di 0

      5:2 = 2 con resto di 1

      2:2 = 1 con resto di 0

      1:2 = 0 con resto di 1

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Conversioni di base10 l.jpg

Conversioni di base

  • Le basi ottale ed esadecimale sono di interesse informatico per la facilità di conversione, con il metodo”per parti”:

    • Da base 2 a base 8: si converte a gruppi di tre bit, traducendo ciascuna tripla nella corrispondente cifra ottale

      (001010110111)2=(1267)8

    • Da base 2 a base 16: si converte a gruppi di quattro bit, traducendo ciascuna quadrupla nella corrispondente cifra esadecimale

      (001010110111)2=(2B7)16

  • La base ottale ed esadecimale consentono una grande sintesi di rappresentazione

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Somma l.jpg

Somma

  • Le cifre sono 0 e 1 ed il riporto può essere solo 1

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Esempio di somma e carry l.jpg

Esempio di somma e carry

  • Esempio:

1 riporto0101 +(510)1001 =(910)------1110(1410)

111 riporti1111 +(1510)1010 =(1010)-------carry 11001(2510 se uso 5 bit; 910 se considero 4 bit: errato)

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Numeri interi l.jpg

Numeri interi

  • Includono anche i numeri negativi

  • Rappresentati tramite il segno ed il valore del numero

  • Codifica binaria secondo uno delle due modalità seguenti:

    • Rappresentazione in modulo e segno

    • Rappresentazione in complemento a due

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Modulo e segno l.jpg

Num. intero, base 10

Num. intero, base due, modulo e segno

–3

111

–2

110

–1

101

–0

100

+0

000

+1

001

+2

010

+3

011

Modulo e segno

  • In un numero di m bit il primo bit è utilizzato per memorizzare il segno:

    • “1” numero negativo

    • “0” numero positivo

  • Spazio di rappresentazione: tra -(2m-1-1) e (2m-1-1)

  • Fenomeno dello zero positivo e negativo

Esempio m=3

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Complemento a due cpl 2 l.jpg

Complemento a due (CPL2)

  • Usando m bit: (-N)CPL2 = (2m - N10)2

  • Spazio di rappresentazione: intervallo discreto [-2m-1 , 2m-1 - 1]

    • Asimmetria tra negativi e positivi

    • Esempio (m=8): [-128, +127], perché -27 = -128 e 27 - 1 = +127

  • Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a “1”, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno “0”

Esempio m=3

(-N)CPL2 =(23-N10)2

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Complemento a due cpl 216 l.jpg

Complemento a due (CPL2)

  • Metodo alternativo per ottenere (-N)CPL2

    • Complementare i bit della rappresentazione binaria del modulo N(cambiare gli 1 in 0 e viceversa)

    • Sommare 1 al risultato ottenuto

      Esempio: -N=-3 N=(3)10=(011)2

      complementoad 1 100

      complemento a 2 101

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Somma e sottrazione in cpl 2 l.jpg

Somma e sottrazione in CPL2

  • Somma: come per i naturali

  • Sottrazione: N1- N2 = N1 + (-N2)CPL2

  • Carry:

    • Il carry finale non viene considerato!

  • Overflow:

    • Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l’operazione è errata

    • L’overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde

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Somma e sottrazione in cpl 218 l.jpg

Somma e sottrazione in CPL2

Esempi: m=7 spazio di rappresentazione [-64, +63]

+500101

+801000

+1301101

+500101

-811000

-311101

-511011

+801000

+3 (1)00011

-63 1000001

-8 1111000

-71 [1](1)0111001

RIPORTO

OVERFLOW

RIPORTO

  • Perché ignorare il riporto finale in CPL2 ad m bit?

  • Esempio: base=10

  • 10180-9878=302=

  • = 10180 -9878 +10000-10000=

  • = 10180+(10000-9878)-10000= (10000-9878)-è il complemento a 10 del sottraendo: (9878)CPL10

  • = 10180+122-10000=si addiziona al minuendo il complemento a 10 del sottraendo

  • = 10302-10000=questa sottrazione equivale a trascurare la cifra piu significativa

  • = 302

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Slide19 l.jpg

Numeri frazionari

Rappresentazione:

  • Relativa alla parte frazionaria

  • Ottenuta tramite la formula

Spazio di rappresentazione:

  • Per un numero di n cifre in base p, posso rappresentare numeri nell’intervallo continuo: [0 , 1-p-n]

    Errore di approssimazione:

  • minore di p-n

  • Esempi con n=3:

  • base 10: Rappresentazione: (0,587)10= (5·10-1+8·10-2+7·10-3)

  • Spazio di rapp.: [0, 1-10-3] = [0, 0.999]

  • Errore : minore di 0.001

  • base 2: Rappresentazione:(0,101)2 =(1·2-1+0·2-2+1·2-3)10= (0,625)10

  • Spazio di rapp.: [0, 1-2-3]

  • Errore : minore di 2-3

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Conversioni di base parte frazionaria l.jpg

Conversioni di base parte frazionaria

  • Da base 2 a base 10:

    • Secondo la formula vista prima

  • Da base 10 a base 2:

    • Si moltiplica progressivamente per 2 la parte frazionaria

    • Si prendono le parti intere di ciascun prodotto dalla più alla meno significativa, con numero di bit proporzionale all’accuratezza

    • Esempio: 0.58710

      0.587*2= 1.174 parte intera 1 parte frazionaria 0.174

      0.174*2= 0.348 parte intera 0 parte frazionaria 0.348

      0.348*2= 0.696 parte intera 0 parte frazionaria 0.696

      0.696*2= 1.392 parte intera 1 parte frazionaria 0.392

      0.392*2= 0.784 parte intera 0 parte frazionaria 0.784

      0.784*2= 1.568 parte intera 1 parte frazionaria 0.568

      …..

      Risultato : 0.1001 con quattro cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-4

      0.100101 con sei cifre e approssimazione accurate entro il limite 2-6

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Numeri reali l.jpg

Numeri reali

  • Approssimati tramite numeri razionali

  • Rappresentazione relativa sia alla parte intera che a quella frazionaria

  • Modalità di rappresentazione alternative:

    • virgola fissa

    • virgola mobile

      • numeri molto grandi con poche cifre

      • numeri molto piccoli con precisione

  • Operazioni di somma e differenza tramite allineamento dei numeri

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Virgola fissa l.jpg

R

0

Virgola fissa

  • Uso di m bit per parte intera e n bit per parte frazionaria con n ed m fissi

    • Esempio (m=8, n=6, tot. 14 bit): 123,5871012310 = 011110112

      0,58710 100101 2

      123,58710 01111011, 100101 2

  • m e n scelti in base alla precisione che si vuole tenere

  • Precisione costante lungo l’asse reale R:

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Virgola mobile floating point l.jpg

R

0

Virgola mobile (floating point)

  • Il numero è espresso come: r = m·bn

    • m e n sono in base p

    • m:mantissa (numero frazionario con segno)

    • b: basedella notazione esponenziale (numero naturale)

    • n:caratteristica (numero intero)

    • Esempio (p=10, b=10):

      -331,6875 = -0,3316875103m = -0,3316875 n = 3

  • Uso l1 bit e l2 bit per codificare m e n(incluso il segno):

  • Precisione variabile lungo l’asse realeR:

    • valori rappresentabili molto vicini nell’intorno di 0

    • valori rappresentabili molto lontani nell’intorno del numero massimo esprimibile, positivo o negativo

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Slide24 l.jpg

Virgola mobile (floating point)

  • Quando la mantissa comincia con una cifra diversa da zero, il numero in virgola mobile si dice normalizzatoEs. –0,3316875103 è normalizzato perché la mantissa è “3316875”

  • La normalizzazione permette di avere, a parità di cifre usate per la mantissa, una maggiore precisione.

    Es. Uso l1=5 cifre per la mantissa:+45,6768  +0,45676102  +0,00456104

Ho perso 0,0008

Ho perso0,0768

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Caratteri l.jpg

Caratteri

  • Codifica numerica tramite 1 byte

  • ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit (estesa talvolta a 8 bit per rappresentare altri 128 caratteri)

  • L’ASCII codifica:

    • I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso lo spazio

    • I simboli (punteggiatura, @, #, …)

    • Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc)

    • Non codifica per esempio le lettere accentate o greche

  • L’ ottavo bit o un nono possono essere usati come bit di parità: rende pari il numero di 1 in modo che se esso risulta dispari ci si accorge di errori di immagazzinamento o trasmissione dati.

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Tabella ascii parziale l.jpg

DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

DEC CAR

480

491

502

513

524

535

546

557

568

579

65A

66B

67C

68D

69E

70F

71G

72H

73I

74J

75K

76L

77M

78N

79O

80P

81Q

82R

83S

84T

85U

86V

87W

88X

89Y

90Z

97a

98b

99c

100d

101e

102f

103g

104h

105i

106j

107k

108l

109m

110n

111o

112p

113q

114r

115s

116t

117u

118v

119w

120x

121y

122z

Tabella ASCII (parziale)

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Slide27 l.jpg

Codifica delle immagini

L’immagine digitale

  • Le immagini sono codificate come sequenze di bit

  • Digitalizzazione: passaggio dall’immagine alla sequenza binaria

  • L’immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel)

  • Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 16, 24, o 32 bit) che ne rappresenta il colore(un particolare tono di grigi nelle immagini bianco e nero)

    • Es. con 8 bit  28 = 256 combinazioni di colore

  • Per decodificare la sequenza binaria che codifica l’immagine bisogna conoscere:

    • le dimensionidell’immagine : larghezza e altezza in pollici del rettangolo in cui è contenuta

    • la risoluzione dell’immagine :numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch)

    • il numero di colori o toni di grigio disponibili per ogni pixel

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L immagine digitale l.jpg

L’immagine digitale

  • Standard di codifica:

    • TIFF (Tagged Image File Format)

    • PNG (Portable Network Graphics)

    • JPEG

  • Tecniche di compressione

    • utilità:

      • ridurre lo spazio necessario a rappresentare i punti dell’immagine

      • ridurre la quantità di memoria necessaria a memorizzare l’immagine

      • ridurre il tempo necessario a trasmettere l’immagine tra i dispositivi

    • classificazione:

      • compressionelossless : comprime l’immagine senza deteriorarla (TIFF)

        • adatte solo per immagini con ampie aree monocromatiche. in cui sequenze di punti con la stessa tonalità vengono codificate in forma compatta

      • compressione lossy: comprimono (molto di più), ma deteriorano l’immagine (JPEG , PNG)

        • adatte ad immagini con molti colori, memorizzano le differenze cromatiche tra gruppi di pixel

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Operazioni con le informazioni l.jpg

Operazioni con le informazioni

  • Aritmetiche

    • Es. Somma e differenza viste prima

  • Logiche

    • Utilizzano l’algebra di Boole

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Algebra di boole l.jpg

Algebra di Boole

  • Formalismo basato su tre operazioni logiche (dette anche operazioni booleane):

    • AND operatore binario

    • OR operatore binario

    • NOT operatore unario

  • Le operazioni booleane si applicano ad operandi che possono assumere solo due valori: vero o falso

  • Ogni formula scritta in algebra di Boole può assumere solo due valori: vero o falso

  • Rappresentando vero con “1” e falso con “0” un bit può rappresentare un operando o il valore di una formula in algebra di Boole

  • Tavole di verità: rappresentano il valore di una espressione logica(ottenuta a partire dai tre operatori logici) in funzione del valore degli operandi

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Operatori booleani l.jpg

Operatori booleani

  • Tavole di verità:

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Operatori booleani propriet l.jpg

Operatori booleani: proprietà

  • Commutativa:

    • A OR B = B OR A

    • A AND B = B AND A

  • Distributiva di uno verso l’altro:

    • A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C)

    • A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C)

  • Leggi di De Morgan:

    • A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B))

    • A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B))

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Espressioni booleane l.jpg

Espressioni booleane

  • Regole di precedenza:

    • NOT ha la massima precedenza

    • poi segue AND

    • infine OR

  • Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza)

  • Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità

  • Due espressioni booleane sono equivalenti se e solo se le tabelle della verità sono identiche

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Dalla formula alla tabella l.jpg

Dalla formula alla tabella

  • Vediamo un esempio, per l’espressione:D = A AND NOT (B OR C)

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Dalla tabella alla formula l.jpg

NOT A AND B

A AND NOT B

A AND B

Dalla tabella alla formula

  • Se conosco la tabella della verità, posso ricostruire la formula logica. Partiamo dalla tabella:

  • C1 = (NOT A AND B) OR (A AND NOT B) OR (A AND B)

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Gli operatori logici e le porte logiche l.jpg

Gli operatori logici e le porte logiche

  • OR

    (xy)

  • AND

    (xy)

  • NOT

    ( x )

    La composizione opportuna di porte logiche consente di realizzare circuiti elettronici che realizzano varie funzioni, in particolare i circuiti sommatori

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