HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3

1. HÍRKÖZLÉSELMÉLET/3 Frigyes István 2006-07/II.

2. 3.Digitális jelek átvitele analóg csatornán: torzításmentes átvitel, lineáris torzítás-diszperzió hatása

3. Bevezető megjegyzések • Eddig egyedülálló jelek átvitelét vizsgáltuk. A valóságban, persze, mindig jelsorozatokat visznek át. Akkor egy újabb minőségrontó hatás léphet fel: a szomszédos jelek interferálhatnak egymással, (ISI: intersymbol interference, jelátlapolódás) ami megnövelheti a hibavalószínűséget

4. Bevezető megjegyzések • Lineáris csatornát fogunk vizsgálni: mi az ISI-mentes átvitel feltétele – az ilyen átviteli függvényű rendszert/szűrőt tekintjük torzításmentesnek. Ugyancsak megvizsgáljuk, hogy mi a hatása, ha a szűrő nem ilyen – torzít.

5. Vizsgálat • 1. Bináris alapsávi átvitel – Dirac-delta alakú jelek • 2. Bináris alapsávi átvitel – általános jelalakok • 3.M-állapotú alapsávi (PAM) • 4 RF átvitel, ASK • 5.QAM-PSK • 6. Zaj figyelembevétele – adószűrő-vevőszűrő • 7. Zaj és lineáris torzítás együtt

6. FORRÁS IMPULZUSGENE- RÁTOR LINEÁRIS ÁTVITELICSATORNA DÖNTŐ NYELŐ Időzítés C(ω)c(t) b(t)=δ(t) M=2; T y(t) z(t) ISI-mentes átvitel: a vizsgálandó modell • Egyelőre nem foglalkozunk a zajjal, az eredő átviteli csatornát vizsgáljuk. • 1. Első lépésben ezt a modellt nézzük: Láttuk: C(ω) legalább 3 szűrő eredője: adószűrő, frekvenciaszelektív csatorna, vevőszűrő

7. ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t) • Az eddigiektől eltérően: a forrás T- időnként egy új üzenetet ad ki. Így • A szomszédos bitek nem zavarják egymást, ha a döntés pillanatában csak az aktuális bit válasza nem 0 (Nyquist-feltétel); a 0-indexűt véve

8. C(ω) 1 ω0 ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t) De az ak-sorozat bármilyen lehet;így ezazonosságminden k-ra: c(-kT)=0, ha k0Milyen C(ω)? Legegyszerűbb: id. aluláteresztő:

9. ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t) Nyquist:

10. kT+ε ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t); kétségek • 3 probléma: • 1. nem kauzális – nem baj: késleltetés • 2. szakadásos átv. függv.: approximálható; de • 3. jitter: ha kT+ε • Itt már az ISI, persze, 0de, nem is korlátos

11. ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t); kétségek amely számsor – az ú.n. harmonikus sor - divergens

12. 1 C(ω) ω0 C(ω) 1 ω0 ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t); kétségek • Megoldás: lekerekítés. • Kimutatható (mindjárt látjuk): ha az ideális Nyquist-szűrőt szimmetrikusan kerekítik le, • a 0-helyek ott maradnak,de a sor tagjai k magasabb hatványa szerint csökkennek;az ilyen már konvergens • Vagyis: a lekerekített szűrő (kicsit)szélesebb sávot foglal el, de az ISI – időzítési hibánál – legalább korlátos. ½=-6 dB

13. ISI-mentes átvitel: 1. a Nyquist feltétel b(t)=δ(t)- általános eset Feltétel (a Nyquist-féle kritérium), általánosan: Vagyis az f= 1/T-vel eltolt spektrumok összege konstans

14. A Nyquist-kritérium bizonyítása Felbontva 2/T széles frekvenciasávokra:

15. A Nyquist-kritérium bizonyítása (2) véges tartományban érdekel, 2/T széles; előállítható Fourier-sorral : Mivel volt a követelmény:

16. Emelt Koszinuszos lekerekítésű szűrő Emelt

17. Emelt koszinuszos lekerekítésű szűrő

18. Koszinuszos lekerekítés

19. Időzítés DÖNTŐ NYELŐ FORRÁS LINEÁRIS ÁTVITELICSATORNA JELGENE- RÁTOR C’(ω)c’(t) b(t) M=2; T y(t) z(t) IMPULZUSGENE- RÁTOR B(ω) δ(t) b(t) C(ω) ISI-mentes átvitel: 2. a Nyquist feltétel, általános alapsávi b(t) Modell: Igy: C’(ω)=C(ω)/B(ω)

20. 1 ω t C(ω) ω0 1 C(ω) ω0 ISI-mentes átvitel: 2. a Nyquist feltétel általános alapsávi b(t) Pl: „ablakfüggv” (NRZ)

21. ISI-mentes átvitel: 3. a Nyquist feltétel, általános alapsávi b(t);PAM, M>2 • Ha M>2, de a jeleknek csak az amplitúdója különbözik: persze ugyanaz a szűrő jó, mert az ISI-mentesség feltétele, hogy c(kT)=0. • (Persze: érzékenyebb az időzítési hibánál fellépő ISIre.)

22. ISI-mentes átvitel: 4. a Nyquist feltétel RF átvitelnél: ASK • Tudjuk: AM-nél az amplitudó lineárisan függ a moduláló jeltől. • Ha az ISI nélküli digitális jel,(vagyis Nyquist-aluláteresztőn ment át), az AM jelben sem lesz ISI. • Vagyis: tekintsük ezt a szűrőt ekvivalens aluláteresztőnek; az ilyen sávátersztő is Nyquist ω= ωc ω=0

23. ISI-mentes átvitel: 5. a Nyquist feltétel RF átvitelnél: QAM és PSK • QAM-nél azonos kvadratúra (sin vagy cos) külön-külön ugyanilyen. • De a két kvadratúra között sincs interf., mert aluláteresztőt transzformáltunk sávszűrővé – így az hivatalból konjugált szimmetrikus • A PSK egy fajtája a QAMnek, csak a két kvadr. nem független egymástól – így ugyanolyan • FSK jóval bonyolultabb – de azzal nem foglalkozunk

24. n(t) FORRÁS DÖNTŐ NYELŐ JELGENE- RÁTOR A(ω) H(ω) b(t) s(t) C’(ω)= A(ω). H(ω) C(ω)= B(ω). A(ω). H(ω) + 6. Jelsorozatok, zajban: C(ω), C’(ω) megosztása adó és vevő között

25. 7. Ha nem Nyquist: zaj és lineáris torzítás együttes hatása • Kisebb zaj okoz hibás döntést • Az utána következő és az előző bitekben is • Kauzalitás? τ

26. ZÓNASZŰRŐ DÖNTŐ+LOG. n(t) JELGENE- RÁTOR FORRÁS A(ω)(×T(ω)) H(ω) cos ωctsin ωct × × + ZÓNASZŰRŐ b(t) a(t) h(t) y1(t) z(t) r’(t) r(t)=y(t)+n(t) 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM) Modell: A feltüntetett jelek: komplex burkolók(hullám nélkül)

27. R-2 R-1 R0 R1 I-2 I-1 I0 I1 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM)

28. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM) • Itt most 3-féle jel van • a hasznos jel: s=a0R0+jq0R0 • ISI:(Σ’: a k=0 tagot kihagyjuk) • zaj: N (Gauss-zaj, E(N)=0, σ2) • Így:

29. ( ) = = + = + + r t 0 r jr s g N R I Mindegyiknek van R és I összetevője 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM) És mégegyszer:

30. D g N r si 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM): hibavalószínűség • Helyesen döntünk: ha r az si tartományában van • De: zaj ortogonális összetevői függetlenek • (Majdnem) független aiés qi. • Így

31. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM): hibavalószínűség • rfeltételesen gaussi; így • Segít a karakterisztikus függvény ↓?

32. Közbevetőleg: val.vált. karakterisztikus függvénye • Valószínűségi változó: x • Karakterisztikus függvény: • Ez x függvényének várható értéke, így • Vagyis: ha ismerjük a kar.fv.-t:

33. Közbevetőleg: val.vált. karakterisztikus függvénye • Ha x véletlenül független val. vált.-ok összege:

34. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása (QAM): hibavalószínűség • Független val. vált. összege: • Nálunk: • Ezek (nagyjából) függetlenek – tekintsük úgy • (Miért csak nagyjából?)

35. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása pl. 16QAM • De akkor: • és így a Πk-adik tényezője, általában: • Rk-t, Ik-tismerjük, ak-ra, qk-ra átlagolhatunk

36. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása pl. 16QAM

37. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása – QAM • Az utóbbi (szép) formulában a gc-szerinti integrál zárt alakban is elvégezhető: g csak a kitevőben van, így az kiegészíthető teljes négyzetté és integrálható (-,  határok között). Így legvégül • ami egy szép formula, de numerikusan integrálni kellene. Numerikusan nem nagyon előnyös, vannak jobb módszerek is, de azok nem ilyen szépek. (Longitudinális  transzverzális)

38. 7. Zaj és lineáris torzítás együttes hatása • A zajjal persze nem tudunk mit csinálni – a torzítást szeretnénk elkerülni • A szűrőket tudjuk (megpróbálhatjuk) jóra csinálni (A(ω) és H(ω)), de a közeg (esetleges) torzítását nem. • Csatornakiegyenlítés • EDDIG

39. 4. Analóg jelek átvitele – analóg modulációs eljárások

40. Analóg jelek • Analógnak nevezett jel olyan s(t) időfüggvényt-folyamatot reprezentál, amely bizonyos specifikáción belül tetszőleges lehet. Ilyen specifikációs adat lehet a jel tartója vagy Fourier-transzformáltjának tartója, teljesítménye, dinamika-tartománya vagy hasonlók.

41. Kétoldalsávos el-nem-nyomott vivőjű AM (AM-DSB-NSC) • Az amplitúdó a modulált jel lineáris függvénye: • (lineáris moduláció, mert…; (történetesen inhomogén lineáris)) • Ennek a Fourier-transzformáltja: • Az analitikus jelé:

42. S(ω) x(ω)=F[s(t)cosωct] Kétoldalsávos el-nem-nyomott vivőjű AM (AM-DSB-NSC) • Amiből a modulált jel • Van: vivőfrekvenciás vonal alatta-fölötte egy-egy oldalsáv • (Ilyet már láttunk: ) (kétszeresen pazarló)

43. Kétoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-DSB-SC) • Ez ilyen: • (Tk. Ilyet láttunk QAMnél, PSKnál) • Analitikus jelének Fou-trszf.-ja:

44. Egyoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-SSB-SC) • Minthogy az átviendő információt egy oldalsáv is teljes egészében tartalmazza, indokolt, a frekvencia-takarékosság érdekében, nem elfoglalni a másodikat. • Az eddigiek ismeretében ilyen egy-oldalsávos AM-hez jutunk, ha a vivőt nem a modulálójellel, hanem annak analitikusjelével moduláljuk • (so(t)-nek nincs negativ frekvenciájú összetevője, így x(t)-nek csak az egyik oldalsávja lesz meg.)

45. Egyoldalsávos elnyomott vivőjű AM (AM-SSB-SC) • Mi is ez?: • Persze, az így előállított moduláló jel nem valós, így nem létezik. De az AM jel: • analitikus: szorozva ejωct-vel • modulált jel: • De hogy csináljuk a H[x]-et? Szűrő vagy (frekifüggetlen) 90o-os fázistoló (Hilbert szűrő) (áramkörrel nem triviális megcsinálni)

46. AM demodulálsa – AM-DSB-NSC • Burkolódetektor kimenő jele: a komplex burkoló absz. értéke. • De tudjuk: a burkoló valós; és

47. AM demodulálsa – AM-DSB-SC • A burkoló absz. értéke most nem jó: koherens referenciajellel kell szorozni • Ha a referencia fázisa δ-val eltér: meg van szorozva cosδ val (pl cos[(Δω)t] vel). Koherensnek kell lenni! (nem könnyű –ellentétben a digitálissal) kiszűrhető

48. AM demodulálsa – AM-SSB-SC • Ehhez is kell referencia (szorozni a vivővel) • Ha most nem egészen koherens: • Ennek az absz négyzete (telj.) nincs eltorzítva:; (beszédhez jó)

49. Szögmoduláció • Emlékeztető: • Szögmodulációnál d(t) = 1 és θ elvileg tetszőlegesen, a gyakorlatban lineáris módon függ az s(t) moduláló jeltől. Gyakorlati alkalmazásban háromféle (t) függvény fordul elő: • Fázismoduláció:

50. Szögmoduláció Frekvenciamoduláció (FM): FM preemfázissal: Célszerű normalizálás: Általában: P(ω) kiemeli a nagyfrekvenciákat