1 / 22

等差数列前 n 项和公式及其应用

等差数列前 n 项和公式及其应用. 复习回顾. (1) 等差数列的通项公式 : 已知首项 a 1 和公差 d, 则有 : a n = a 1 + (n-1) d 已知第 m 项 a m 和公差 d, 则有 : a n =a m + (n-m) d, d= （ a n -a m ） / （ n-m ） (2) 等差数列的性质 : 在等差数列 ﹛a n ﹜ 中 , 如果 m+n=p+q (m,n,p,q∈N), 那么 : a n +a m =a p +a q.

mareo
Download Presentation

等差数列前 n 项和公式及其应用

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 等差数列前n项和公式及其应用

  2. 复习回顾 (1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq

  3. 例：如图为一堆八层钢管，起每一层的数目分别 为：4，5， 6，7，8，9，10，11，求这堆钢管的数目中总和？ 解：方法(1) 由累加法可得： sn =4+5+6+7+8+9+10+11=60 方法(2) 4+11=5+10=6+9=7+8=15 满足等差数列的性质 sn =4 ×15=8/2（4+11） =60

  4. 假设1+2+3+ +100=x, (1) 那么100+99+98+ +1=x. (2) 由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x, x=5050. 所以 问题2：1+2+3+…+100=？ 这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？） 100个101 这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…，n，…的前100项的和。

  5. 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.. 即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？ 因为 an= a1+（n-1）d 所以Sn=na1+n (n-1)d/2

  6. 由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 由此得到等差数列的{an}前n项和的公式 即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

  7. 迅速作答 n（n+1）/2 （1） 1+2+3+……+n= n2 （2） 1+3+5+……+（2n-1）= n（n+1） （3）2+4+6+……+2n= 上面习题的答案在以后会经常用到。

  8. 例1如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得 答：V形架上共放着 7 260支铅笔。

  9. 例2：在等差数列{an}中， （1）a3= -2，a8=12，求S10 （2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn 解：（1）a1+a10 = a3+a8 = 10 （2）由等差数列的通项公式，得 14.5+(n-1)0.7=32  n=26

  10. 练一练 已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=? 例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和? 分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式 解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。 由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.

  11. 例4等差数列 -10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn， 则a1= -10，d= -6-(-10) = 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得 n1=9，n2=-3 (舍去) 等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。

  12. 巩固练习 1:在等差数列{an}中，d=2,an=1,Sn=-8.求n. 2、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10º，最小内角为 100º，则n等于（） （A）7（B）8（C）9（D）8或 9 B 由题意，得 : 解得 n=8或 n=9 (舍)

  13. 3：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP,求这10个数的和。3：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成AP,求这10个数的和。 已知一个梯形梯子，两底边分别长为a,b.中间还有10蹬，且蹬之间距离相等。求这中间10级的长度的之和

  14. 小结 本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式： ① s n=n（a1+an）/2 ② s n=na1+n（n-1）d/2 ③ 以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用 公式,要灵活变通.

  15. 梯形面积公式 等差数列的{an}前n项和的公式

  16. 等差数列前n项和再认识: 观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形如: y = Ax2+ Bx y = Ax+ B

  17. sn n a1<0, d>0,极小值 a1>0,d<0,极大值 sn n 等差数列前n项和再认识: 将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:

  18. 例2:一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等 于前11项的和的.问此数列前多少项的和最大? 分析：S3=S11, 这里可以找出a1与d的关系,则Sn是d的函数 若条件改为S3=S12呢？

  19. 练习1:已知一个等差数列前4项的和为21，末4项的和为67，前n项的和为286.求项数n.练习1:已知一个等差数列前4项的和为21，末4项的和为67，前n项的和为286.求项数n. 2.已知两个等差数列前n项和的比为4n+6:2n+5,求它们相应第8项的比。 3.等差数列{an}中，S12=354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为33：27，求公差d. 4.项数为奇数的等差数列{an}中，S奇=60，S偶=45，求中间项及项数.

  20. 若Sn=16n2+12n-1呢？ 结论：P85

  21. |MA|=1000， |MB|=1050， a1=|MC|=1100 … … a10=a1+1509 a2=|MF|= a1+150=1250, 故 (km) 6、有30根水泥电线杆，要运往1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米。 50 50 50 50 50 E D B A F C 1000 M a1=1100 a2=1250 解：如图，假定30根电线杆均在点M处， 由于一辆汽车每次只能装3根，所以每次运输只能到达 C、F…这些地方，这样组成公差为 150、首项为 1100的等差数列，再考虑往返， 所以行程共35.5 km

More Related