פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

1. פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך רוזה לייקין הפקולטה לחינוך, אוניברסיטת חיפה 19-10-2007, כנס מט"ח

2. פתור את הבעיה בדרכים רבות ככל האפשר משימות מתמטיות עם ריבוי פתרונות פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

3. דוגמא מס' 1 פתרון 1: x ו- y – צלעות המלבן נגזרת של הפונקציה... פתרון 2: S(a)=2R2sina , 2R y 2R x 2R h פתרון 3: h – גובה לקוטר h 2R a 2R במעגל עם רדיוס R חסום מלבן. מצאו את אורכי הצלעות ואת שטח המלבן בעל השטח המקסימאלי. בני גורן (2001). אנליזה: חשבון דיפרנציאלי, טריגונומטריה, חשבון אינטגראלי/ עמוד 403, #41. פתרון 4: השוואה עם ריבוע פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

4. תלמידים מה הם אומרים? חכם, מה הוא אומר: מדוע לא מלמדים אותנו כך? כך (פתרון 1) אני יודע לעשות, כך (פתרון 3) אני מבין מדוע התשובה מתקבלת. רשע, מה הוא אומר: מה העבודה הזאת לכם? (לא לו) תם, מה הוא אומר: מה זה? ושאינו יודע לשאול, מה הוא אומר : אני לא מבין כלום. פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

5. מורה מה הוא אומר? חכם, מה הוא אומר: מתי לשלב כל הפתרונות? האם זה תמיד אפשרי? כיצד זה יתרום לתלמידים? האם זה מתאים לכל התלמידים? האם יקבלו זאת בבגרות? איפה אמצא זמן? רשע, מה הוא אומר: מה העבודה הזאת לכם? תם, מה הוא אומר: בשביל מה זאת? וזה שאינו יודע לשאול, מה הוא אומר: זה יבלבל תלמידים פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

6. חוקר מה הוא שואל? • איך לגשר בין תלמיד לבין מורה? • איך לגשר בין אנשי חינוך מתמטי לבין מורים? • מה זאת אומרת לדעת לעומת להבין? ... • האם ואם כן כיצד פתרון בעיות בדרכים שונות מפתח ידע • של תלמידים? • של מורים? פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

7. לפתרון בעיות בדרכים שונות שמוביל לתוצאות זהות תפקיד מהותי בהתפתחות הבנה מתמטית המבוססת על קשרים בין מושגים ותכונות מתמטיות (NCTM, 2000; Polya, 1973, Schoenfeld, 1985; Charles & Lester, 1982). פתרון בעיות בדרכים שונות דורש ידע מתמטי מתקדם(Polya, 1973) פתרון בעיות בדרכים שונות דורש חשיבה יצירתית. פתרונות מסוימים יכולים להיות יותר אלגנטיים מאשר פתרונות אחרים(Polya, 1973; Krutetskii, 1976; and later Ervynck, 1991; and Silver, 1997) פתרון בעיות בדרכים שונות צריך להוות חלק בלתי נפרד בבניית תכניות לימודים יישום פתרון בעיות בדרכים שונות מאפשר ניתוח וטיפוח של ידע יצירתיות אנשי חינוך מתמטי, מה הם אומרים? פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

8. יצירתיות – הגדרות בסיסיות Torrance (1974) Krutetskii (1976), Ervynck (1991), Silver (1997) מספר פתרונות יצירת פתרונות שונים מאלה שנלמדו קודם לכן מהירות יצירת פתרונות ומעברים בין הפתרונות השונים From: Lev-Zamir, 2007, Leikin, 2007 פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

9. Tall, what does he say? From: Tall (2007). Teachers as Mentors to encourage both power and simplicity in active mathematical learning. Plenary at The Third Annual Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics and Computing, 17–19 March 2007, Abu Dhabi פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

10. דוגמה 2: ניתוח יצירתיות פתרון ב' (איור) פתרון ד' (סימבולי) פתרון ב' (גרפי) דור תום s v2 v2 v1 s/2 t x t 1/2T 1/2T v1 v2 משה v1 v2 דני 1/2S 1/2S דור ותום יצאו מהרכבת והלכו באותה דרך לאותו מלון. דור הלך במחצית הראשונה של הזמן במהירות v1ובמחצית השנייה של הזמן במהירות v2. תום הלך במחצית הראשונה של הדרך במהירות v1 ובמחצית השנייה של הדרך במהירות v2. מי הגיע למלון ראשון: דור או תום? פתרון ד' (מילולי) אם דור הולך מחצית הזמן במהירות v1 ומחצית הזמן במהירות v2 ונניח ש- v2<v1, אזי במהלך המחצית הראשונה של הזמן הוא עובר דרך ארוכה יותר מאשר במהלך המחצית השנייה של הזמן. כלומר הוא הולך עם מהירות גבוהה יותר v1 דרך ארוכה יותר.תשובה:דור יגיע לפני תום. פתרון ה': הליכה בכיתה פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

11. הבדלים בין מחוננים לבין מומחים • ממצאי המחקר הראו הבדלים בגמישות ובחדשנות של פתרונות של מחוננים לעומת פתרונות של מומחים • התוצאות היו תלויות משימות מתמטיות: פרוצדורות vs. תהליכים (From Leikin, 2006; Leikin& Lev, 2007) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

12. כדי לפתח גמישות מתמטית של תלמידים מוריהם צריכים להיות גמישים בהוראה Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

13. דוגמה 3: שיעור בכיתה ז' III I II מכון להרזיה החליט לצאת במסע פרסום בעיתון "לאישה". איזו מתמונות מדדי השינוי הייתם ממליצים לו לפרסם בעיתון כדי להשיג מספר לקוחות מרבי? נמקו. מתוך: "לספר וצייר" / פעילויות לתלמיד, עמ' 52 , לראות מתמטיקה, מט"ח 1996 פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

14. תכנון השיעור ענת בחנה את הגרפים המקבילים לכל אחת מהמדידות של השינויים הנתונים בבעיה, ובנתה גרף לכל פונקציה Dinur (2003), Leikin & Dinur (in press) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

15. במהלך השיעור מאיה- פתרון צפי: אם הציר המאוזן מסמן את הזמן והציר המאונך מסמן את המשקל הרי שמישהו מוריד משקל אם המדידה של השינוי הינה שלילית. בהתחלה הורדת המשקל מהירה יותר ולאחר מכן איטית יותר. (הגרף המתאים לירידה במשקל שורטט על הלוח) אביב- פתרון לא צפוי: בחרתי את השני (מדידת השינוי) בגלל שאתה עשוי להתייחס לקצב איבוד המשקל במקום לקצב השינוי במשקל. הם (בבעיה) לא אמרו שזה בהכרח המשקל. תלמידים אחרים (ביחד): זה מספר הקילוגרמים שמאבדים. טעות צפויה התגלתה להיות התשובה הנכונה! Dinur (2003), Leikin & Dinur (2007) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

16. On the complexity of teaching On the one hand, the teacher follows students' ideas and questions, departing from his or her own notions of where the classroom activity should go. On the other hand, the teacher poses tasks and manages discourse to focus on particular mathematical issues. Teaching is inherently a challenge to find appropriate balance between these two poles. (Simon, 1997, p. 76) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

17. Why being flexible? From Leikin & Dinur (in press) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

18. מורים לומדים כאשר מלמדים פתרון בעיות בדרכים שונות ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים עידוד יצירת פתרונות שונים לבעיות מתמטיות ידע של תלמידים ונורמות כיתתיות יצירת פתרונות שונים על ידי התלמידים תשומת לב וסקרנות המורים הבנה של שפת התלמידים שכנוע התפתחות של ידע מתמטי ואמונות פדגוגיות של המורים פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

19. בעיה במבחן K C B A O M בעיה (בני גורן, הנדסה חלק ב', עמ' 353) AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O. KM הוא מיתר מאונך ל- AB שחותך אותו בנקודה C א. הוכח: SBOK=SAOM ב. נתון: AB=20 ס"מ, SBOK=40 סמ"ר,SACM = 24 סמ"רחשב: KM, BC פתרון:KC·OB/2 =5KC=40KC=8 המשך ב.זווית ACK – זווית ישרה KO2 = KC2 + CO2 CO = 6  100 = 64 + CO2 AC = 6 BC = OB+CO = 6 + 10 BC=16 המשך א.KM=16CM=8 AC = 6 MC·AC/2 = 4AC = 24 BC = AB–AC = 20 – 6 BC=14 לב, 2003 פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

20. דוגמה 6: בהירות או תחכום? On the face ABE of the quadrangular right pyramid ABCDE tetrahedron ABEF is built. All the edges of the tetrahedron and the pyramid are equal. This construction produces a new polyhedron. How many faces does the new polyhedron have? E F C B D A From: Applebaum & Leikin (submitted) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

21. פתרון פורמאלי E F K C B D A פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

22. Visual – Is it embodied? E C B D A F E C B D A F B1 A1 From: Applebaum & Leikin (submitted) פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

23. ב- פיתוח חומרים הוראה למידה מחקר לטיפוחוניתוח של ידע אמונות ומיומנויות יצירתיות חשיבה ביקורתית פתרון בעיות בדרכים שונות פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך

24. Publications related to MSTs -- Leikin R. Leikin, R., Berman, A. & Zaslavsky, O. (2000). Applications of symmetry to problem solving. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 31, 799-809. Leikin, R. (2000). A very isosceles triangle. Empire of Mathematics. 2, 18-22, (In Russian). Leikin, R. (2003). Problem-solving preferences of mathematics teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 6, 297-329. Leikin R. (2004). The wholes that are greater than the sum of their parts: Employing cooperative learning in mathematics teachers’ education. Journal of Mathematical Behavior, 23, 223-256. Leikin, R. (2005). Qualities of professional dialog: Connecting graduate research on teaching and the undergraduate teachers' program. International Leikin, R., Stylianou, D. A. & Silver E. A. (2005). Visualization and mathematical knowledge: Drawing the net of a truncated cylinder. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 4, 1-39. Leikin, R., Levav-Waynberg, A., Gurevich, I. & Mednikov, L. (2006). Implementation of multiple solution connecting tasks: Do students’ attitudes support teachers’ reluctance? FOCUS on Learning Problems in Mathematics, 28, 1-22. Levav-Waynberg, A. & Leikin R. (2006). Solving problems in different ways: Teachers' knowledge situated in practice. In the Proceedings of the 30th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, v. 4, (pp 57-64). Charles University, Prague, Czech Republic. Leikin, R. (2006). About four types of mathematical connections and solving problems in different ways. Aleh - The (Israeli) Senior School Mathematics Journal,36, 8-14. (In Hebrew). Levav-Waynberg, A. & Leikin, R. (2006). The right for shortfall: A teacher learns in her classroom. Aleh - The (Israeli) Senior School Mathematics Journal,36 (In Hebrew). Leikin, R. & Levav-Waynberg, A. (2007). Exploring mathematics teacher knowledge to explain the gap between theory-based recommendations and school practice in the use of connecting tasks. Educational Studies in Mathematics, 66, 349-371. Leikin, R. (2007). Habits of mind associated with advanced mathematical thinking and solution spaces of mathematical tasks. TheFifth Conference of the European Society for Research in Mathematics Education - CERME-5. Leikin, R. & Dinur, S. (in press). Teacher flexibility in mathematical discussion. Journal of Mathematical Behavior Leikin R. & Levav-Waynberg, A. (accepted). Solution spaces of multiple-solution connecting tasks as a mirror of the development of mathematics teachers' knowledge. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education. Applebaum. M. & Leikin, R. (submitted). Translations towards connected mathematics.. פתרון בעיות בדרכים שונות: ממתמטיקה לפדגוגיה ולהיפך