ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์

1. ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์ หน่วยที่ 2ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ รองศาสตราจารย์ ดร. สาคร บุญดาว

2. หน่วยที่ 2ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ • ระบบพิกัดฉากและ ระยะห่างระหว่างจุด • เส้นตรง • ภาคตัดกรวย

3. ระบบพิกัดฉากและระยะห่างระหว่างจุดระบบพิกัดฉากและระยะห่างระหว่างจุด คู่อันดับของจำนวนจริง หมายถึง จำนวนจริงสองจำนวน ให้จำนวนหนึ่งเป็นจำนวนแรก และอีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนที่สอง

4. สัญลักษณ์ (a, b) แทนคู่อันดับของจำนวนจริง a และ b เมื่อ a เป็นจำนวนแรก และb เป็นจำนวนที่สอง ถ้า abแล้ว (a, b) จะต่างจาก (b, a)

5. Y 0 X ระนาบคาร์ทีเซียน หรือระนาบ xy จตุภาคที่ 2 จตุภาคที่ 1 x  0, y  0 x  0, y  0 จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4 x  0, y  0 x  0, y  0

6. P(x, y) y Y 0 x X แทน P ด้วยจุด (x, y) เรียก x และ y ว่า พิกัดคาร์ทีเซียน หรือพิกัดของจุด P เรียกการแทนจุดในระนาบด้วยคู่อันดับของจำนวนจริงในลักษณะนี้ว่า ระบบพิกัดฉาก

7. P(x, y) y Y 0 x X ใช้สัญลักษณ์ P(x, y) แทนจุด P ที่มี (x, y) เป็นพิกัด เมื่อคู่อันดับ (x, y) แทนจุด P ในระนาบ เรียก x ว่า พิกัดที่หนึ่งของจุด P เรียก y ว่า พิกัดที่สองของจุด P

8. A(5, 4) 4 B(-3, 2) 2 -3 -1 4 Y 0 -2 D(4, -2) -4 C(-1, -4) X พิจารณาพิกัดของจุด A, B, C และจุด D 5

9. กำหนดให้จุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) อยู่บนระนาบ xy จงหาระยะห่างระหว่างจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5)

10. จะได้ว่า c = c b a จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส c2 = a2+b2 เมื่อ c คือด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากa และ b เป็นด้านประชิดมุมฉาก

11. เมื่อ AB = Y B(x2, y2) y2 – y1 C(x1, y2) A(x1, y1) X x2 – x1 0 ระยะห่างระหว่างจุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) คือ AB

12. กำหนดให้จุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) อยู่บนระนาบ xy จงหาระยะห่างระหว่างจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) เมื่อAB หน่วย

13. กำหนดจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) บนระนาบ xy จงหาจุดที่แบ่งครึ่งจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5)

14. B(x2, y2) Y P(x, y) A(x1, y1) x O ถ้าจุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) อยู่บนระนาบ xy จุดที่แบ่งครึ่งจุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) คือจุด P(x, y) P(x, y) =

15. เมื่อ P(x, y) = กำหนดจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) บนระนาบ xy จงหาจุดที่แบ่งครึ่งจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) ให้ P(x, y) เป็นจุดที่แบ่งครึ่งจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) ดังนั้น P(x, y) =

16. Y x O เส้นตรง ความชันของเส้นตรง m  0 m  0 m = 0 ความชันคือ m =

17. Y B(x2, y2) y2 y1 R(x2, y1) A(x1, y1) x2 x1 x ความชันคือ m = O

18. สมการเส้นตรง กำหนดจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) อยู่บนระนาบ xy จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5)

19. y – y1 = (x – x1)เมื่อ x2 – x1  0 หรือ y – y1 = m(x – x1) เมื่อ m = และ x2 – x1 0 ถ้า A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) บนระนาบ xy สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) คือ

20. y – 1 = y – 1 = y – 1 = กำหนดจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) บนระนาบ xy สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, 1) และจุด B(3, 5) คือ 5(y – 1) = 4(x + 2) 5y – 5 = 4x + 8 4x – 5y + 13 = 0

21. พิจารณาเส้นตรง และ ซึ่งมีความชัน m1และ m2ตามลำดับ ถ้าเส้นตรง และ ตั้งฉากกันจะได้ว่า m1m2 = -1 l1 l2 l1 l2 Y l2 l1 m1 m2 X O

22. พิจารณาเส้นตรงที่มีความชัน mและผ่านจุด (x1, y1) คือ y – y1 = m(x – x1) หรือ y = mx + b จะพบว่า mคือความชันของเส้นตรง y = mx + b

23. จะได้ y = y = จะได้ m = จงหาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง2x – 3y + 1 = 0 และ ผ่านจุด (2, -3) พิจารณาเส้นตรง 2x – 3y + 1 = 0 จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูป y = mx + b

24. แสดงว่า สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง 2x – 3y + 1 = 0มีความชัน m = คือ สมการ y – (-3) = (x – 2) 2(y + 3) = -3(x – 2) 2y + 6 = -3x + 6 3x + 2y = 0

25. ภาคตัดกรวย • วงกลม • พาราโบลา

26. วงกลม บทนิยาม เซตของจุดบนระนาบ XY ที่เรียงกันเป็นวงกลม ประกอบด้วยจุดซึ่งมีเงื่อนไขว่า อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะคงที่เท่ากันเรียกจุดคงที่นั้นว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม และเรียกระยะคงที่ว่ารัศมีของวงกลม

27. สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด (h, k)และรัศมียาวrหน่วย คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด รัศมียาว r หน่วยคือ x2 + y2 = r2

28. Y (0, 3) P(x, y) X (3, 0) (-3, 0) O M (0, -3)

29. จากกราฟวงกลมที่กำหนดให้ จงหาสมการวงกลมจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) และวงกลมมีรัศมี 3 หน่วยถ้าให้ P(x, y) เป็นจุดใดๆ บนเส้นรอบวง โดยใช้สูตรระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

30. ให้ (x1 , y1) = (0, 0), (x2 , y) = (x, y) และ d = 3 จะได้ ยกกำลังสองนิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ 9 = x2 + y2ดังนั้น สมการวงกลมจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด รัศมี 3 หน่วย คือx2 + y2= 9

31. จงหาสมการวงกลม จุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด ( -2, 3) รัศมียาว 2 หน่วย สมการวงกลมจุดศูนย์กลางจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด (h, k) รัศมี r หน่วย คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 แทนค่า (h, k) และแทนค่า r ด้วย 2 จะได้ว่า (x – (-2))2 + (y – 3)2 = 22 จะได้ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4เป็นสมการวงกลมที่มีพิกัดของจุดศูนย์กลางอยู่ที่(-2, 3) และรัศมียาว 2 หน่วย

32. สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่พิกัด (h, k) รัศมียาว r หน่วย เขียนในรูป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 หรือเขียนในรูป x2 + y2 + Ax + By + C = 0เมื่อ A, B และ C เป็นค่าคงตัว

33. สมการวงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0 มีจุดศูนย์กลางที่พิกัด และรัศมียาว โดยที่ A2 + B2 – 4C  0

34. จงตรวจสอบว่าสมการ x2 + y2 - 4x + 8y + 11 = 0 เป็นสมการวงกลมหรือไม่ ถ้าใช่ จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมี สมการที่กำหนดให้อยู่ในรูป x2 + y2 + Ax + By + C = 0

35. โดยที่สัมประสิทธิ์ของ x2และ y2เป็นหนึ่ง และ A = -4 , B = 8 และ C = 11 ซึ่งทำให้ เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น สมการ x2 + y2 - 4x + 8y + 11 = 0 จึงเป็นสมการวงกลม

36. จุดศูนย์กลางอยู่ที่ = (2, -4) และรัศมียาว ดังนั้น สมการวงกลม x2 + y2 - 4x + 8y + 11 = 0 มีจุดศูนย์กลางที่ (2, -4) และมีรัศมี 3 หน่วย

37. พาราโบลา บทนิยาม เซตของจุดบนระนาบ XY ที่เรียงกันเป็นพาราโบลา ประกอบด้วยจุดซึ่งมีเงื่อนไขว่า อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง และเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นั้นว่า จุดโฟกัส และเรียกเส้นตรงคงที่นั้นว่า เส้นไดเรกตริกส์

38. Y แกนสมมาตร จุดโฟกัส P(x, y) F(0 , c) P(x, y) P(x, y) X V(0, 0) จุดยอด B(x, -c) y = -c A(0, -c) เส้นไดเรกตริกซ์ สมการพาราโบลา จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และแกน Y เป็นแกนสมมาตร

39. ให้จุด P ซึ่งมีพิกัด (x, y) เป็นจุดใดๆ บนเส้นโค้งพาราโบลา จะได้ว่า ระยะ PF เท่ากับ PB โดยจุด B มีพิกัด (x, -c) ดังนั้น x2 + (y – c)2 = (y + c)2x2 + y2 – 2cy + c2 = y2 + 2cy + c2จะได้ x2 = 4cy

40. เป็นสมการพาราโบลา จุดยอดเป็นจุดกำเนิดจุดโฟกัสอยู่ที่พิกัด (0, c) และแกน Y เป็นแกนสมมาตรสมการพาราโบลา x2 = 4cyมีกราฟเป็นเส้นโค้งพาราโบลาหงายหรือคว่ำขึ้นอยู่กับค่าคงตัว c ถ้า c  0 กราฟเป็นโค้งพาราโบลาหงาย แต่ถ้า c  0 กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ

41. รูปมาตรฐานของสมการพาราโบลาจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและแกน Y เป็นแกนสมมาตรx2 = 4cyจุดโฟกัสอยู่ที่ (0, c) และสมการเส้นไดเรกตริกซ์คือ y = -c

42. Y Y y = -c (0, -c) F(0, c) X X F(0, c) y = -c (0, -c) กรณี c  0 กรณี c  0

43. กำหนดสมการพาราโบลา y = จงหาจุดโฟกัส และสมการเส้นไดเรกตริกซ์ จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน x2 = 4cy จะได้ x2 = -2y x2 = เปรียบเทียบกับรูปมาตรฐาน x2 = 4cy จะได้ c =

44. กราฟของพาราโบลา y =มีแกน Y เป็นแกนสมมาตร ดังนั้น จุดโฟกัสอยู่ที่พิกัดและสมการเส้นไดเรกตริกซ์ คือจะได้ เป็นสมการเส้นไดเรกตริกซ์เนื่องจาก c  0 กราฟของ y = เป็นพาราโบลาคว่ำ ดังรูป

45. Y X F (-2, -2) (2, -2) (-4, -8) (4, -8) กราฟของ y =

46. กราฟพาราโบลา จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และแกน X เป็นแกนสมมาตรให้จุดโฟกัส F อยู่ที่แกน X และมีพิกัด (c, 0)โดยบทนิยามของพาราโบลา เส้นไดเรกตริกซ์ตั้งฉากและตัดแกน X ที่ (-c, 0) และมีสมการเป็น x = -c

47. Y A(-c, y) X P(x, y) F(c, 0) (-c, 0) V(0, 0) x = c

48. สมการพาราโบลา y2 = 4cxมีกราฟเป็นเส้นโค้งพาราโบลาหันซ้ายหรือขวาขึ้นอยู่กับค่าคงตัว c ถ้า c  0 โค้งพาราโบลาหันขวา แต่ถ้า c  0 โค้งพาราโบลาหันซ้าย

49. รูปสมมาตรสมการพาราโบลาจุดยอดอยู่ที่ (0, 0)และแกน x เป็นแกนสมมาตร y2 = 4cx พิกัดของจุดโฟกัสที่ (c, 0)และสมการไดเรกตริกซ์คือ x = -c

50. Y Y x = -c x = -c X X O (-c, 0) (-c, 0) O F(c, 0) F(c, 0) กรณี c  0 กรณี c  0