利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量
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利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量

镜湖区教研室 王俊


芜湖市的中考数学卷全卷满分利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量150分,包括选择题、填空题、解答题三种题型.试题以能力为立意,注重基础知识、基本技能、基本思想方法的考查,试题源于教材又高于教材.由于芜湖市将初中毕业考试与升学考试二合一,所以数学试题要有足够数量的基础题让大多数学生合格毕业,同时要有一定数量的较难题目,以利于高中选拔人才,而这些较难题目往往就放在选择题、填空题的最后两小题和解答题的最后一题. 由于芜湖市近几年的中考卷稳定而不乏创新,严谨而不乏活泼,已形成了自己的风格和特色,每年都有一些很有新意的题目,所以经常被期刊杂志转载.


作为一名初三数学教师,要加强利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量对题目的研究,特别是对学生的错题要更加重视,分析学生的错因,并以此为突破口,从而来提高初三毕业班数学教学质量.

教学中,教师讲题的时候,学生听得认真,可是一段时间之后,同样的题目让学生再做,依然会有学生在原有的地方出错.

学习的过程是一种渐进、尝试错误的过程,在学习过程中试图让学生完全避免错误是不可能的.有时候,正面的“灌输”未必有效,而通过学生的自我尝试,甚至走弯路、犯错误所体会到的,将会更加深入、更具体验性.当然,“试误”不是鼓励学生重蹈覆辙,而是进一步提高学生的自辩能力,提高学生的数学素质.


一、学生常见错题的剖析利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量

(一)数与代数

1.实数

例.在下列实数中,无理数是( ).

A.0.1010010001 B. C. D.

错解:D.

正解:B.

剖析:对无理数的概念理解不清,认为 除不尽就是无理数,其实无理数是无限不循环小数,不可以写成两个整数比的形式.


2.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量因式分解

例.分解因式:(1) ; (2) .

错解:(1) = ;

(2) .

正解:(1) ;

(2)因为 ,

所以不能分解因式.

剖析:没有弄清运用公式的条件,(1)中只注意字母,没有考虑系数的平方.正确的做法应是整体化为平方后,再分解因式;(2)中看到第二项前面是减号,就开始分解因式导致错误,没有认识到只有当两平方项的符号相反时,才能用平方差公式.


3.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量分式与二次根式

例1.化简:

错解1:

正解1:

正解2:设 .则有 .

去分母,解得

所以

剖析:这种错误,是把方程中的去分母误用在分式的计算上了.第2种解法很新颖,能帮助学生突破思维障碍,引导学生灵活地纠错,带领学生从错误中学习.


利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量2.已知 与 是同类二次根式,则 的值是( ).

A.3 B.15 C.无数个 D.不存在

错解:因为 与 是同类二次根式,所以 , 即 ,故选A.

正解:C

剖析:对同类二次根式认识不深刻,由于本题未说明是最简二

次根式,可设 ( 为不等于零的整数),则

,可取无数个数.


4.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量一元一次不等式组

例.若不等式组 的解集为 >2,则 的取值范围是( ).

A. <2 B. ≤2 C. >2 D. ≥2

错解:A.

正解:B.

剖析:考虑不全面而致错,原不等式组可化为 ,根据

“同大取大”的规律,得 <2,而错选A,事实上 可以取2.


5.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量函数的图象

例.某班同学在研究弹簧的长度与外力的变化时,实验记录了得到的相应数据如下表.

则 关于 的函数图象是( ).

错解:根据表格知当 取 300(包括300)后面的数时, =7.5恒不变,故选B.

正解:因为当 =0时, =2,当在此基础上每增加50千克,弹簧的长度便增加1

厘米,由此可知该函数的关系式为 ,为确定弹簧长度发生变化的范围,

根据表中的数据,再令 =7.5,求出此时 =275,可知当 >275时,弹簧的长度不再发生变化,据此可知本题应选的函数图象为D.

剖析:只是从图象的表象进行分析,而忽略了表格中的数据的实际意义.要确定关于的函数图象,须先依据题意写出关于之间的函数关系式,同时还应求出弹簧长度发生变化的范围,这一点对确定函数图象至关重要,对实际问题我们不能忘记考虑它的实际意义.


6.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量一元二次方程

例1.已知关于 的方程 有两个不相等的实数根,

求 的取值范围.

错解1:因为方程有两个不相等的实数根,所以 >0,

即 > 0 .解得 > .

错解2:此方程是一元二次方程,还必须保证二次项系数 ≠0,即 ≠ ,故 的取值范围是 > ,且 ≠ .

错解3:因为 ≠ 不在 > 的范围内,因此 的取值范围是 > .

正解:因为 的取值范围应同时满足 > ,且 ≠ ,且 ≥ 0,所以此题最终 的取值范围是 ≥0.

剖析:教师不要轻易地判断对与错,让学生自己在出现错误、发现错误、纠正错误的过程中,感受到知识的魅力和学习的快乐.


利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量2.已知方程 的两实根的平方和为4,求 的值.

错解:由题意得 , ,

则 ,

即 ,解得 .

正解:由题意可知△≥0,即△= = ≥0,

得 ≥ 或 ≤ ,而 , ,

= ,解得 (舍去).

剖析:学生拿到题目就做,没有认真审题,忽略了一元二次方程有实根的条件.


7.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量二次函数

例.已知:二次函数 ,且 ≤ ≤6,求函数的最大值或最小值.

错解1:∵ ≤ ≤6,当 = 时, =8;当 =6时, =18,

∴ =8, =18.

错解2:∵ >0,抛物线开口向上, 有最小值,当 =0时, =0,没有最大值.

正解:如图,当 =0时, =0;当 =6时, =18.

剖析:错解1没有结合二次函数的图象与性质进行分析,误认为 两端的取值为最小、最大值;错解2是忽略了自变量的取值范围.对于给定了取值范围的二次函数求最值问题,应分别求出 的两个端点所对应的函数值,然后求出顶点的纵坐标,最后比较这三个值的大小来确定最值.


(二)空间与图形利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量

8.三角形

例.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( ).

A.1、2、3 B. C. D.

错解:B

正解:因为 ,故选C.

剖析:未能彻底区分勾股定理及其逆定理,对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足 的形式.


9.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量四边形

例.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,已知BC=CD=AC= ,AB= ,求BD的长.

错解:6.

正解: .如图,延长BC到E,使CE=BC,连接DE,又BC=CD,

所以CD= BE,不难得出,△BDE是直角三角形,又可得DE=AB= ,则

利用勾股定理求出BD= .

剖析:误认为四边形ABCD是平行四边形,从而得到△ACD是等边三角形,或认为AC⊥BD,且∠ACB=60°,从而致错.


10.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量圆

例.下列命题中正确的个数有( ).

①在同一个圆中,如果弦相等,那么所对的弧也相等;②顶点在圆上的角叫做圆周角;③直径所对的角一定是直角;④相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

A.0 B.1 C.2 D.3

错解:D.

正解:A.

剖析:对圆的有关概念中的关键字有所忽略,或理解不透彻. ①圆的每一条弦(除直径外)都对着两条弧,一条是优弧,另一条是劣弧.显然,在同一个圆中,优弧和劣弧是不相等的;②圆周角必须满足两个条件:顶点在圆上以及角的两边都和圆相交;③这里没有强调直径所对的角是“圆周角”,直径所对的角很多,只有是圆周角时,才是直角.


11.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量相似

例1.如图1,在△ABC中,DE∥BC,AD︰DB=1︰3,

DE=5,则BC=.

错解:∵△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴ ,即 ,故BC=15.

正解:∵△ABC中,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴ .而AD︰DB=1︰3,∴AD︰AB=1︰4,

即 ,故BC=20.

剖析:运用相似三角形对应边成比例的性质时,需找准对应边.错解中将△ADE边AD对应成DB了,应该是△ABC的边AB.


利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量2.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C,以4cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.

错解:设经过t秒时,△PBQ与△ABC相似,则AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,

当△PBQ∽△ABC时,有 ,即 ,所以t=2.5.

正解:设经过t秒时,△PBQ与△ABC相似,则AP=2t,BQ=4t,BP=10-2t,

①如图1, 当△PBQ∽△ABC时,有 ,即 ,所以t=2.5.

图1 图2

②如图2,当△QBP∽△ABC时,有 ,即 ,所以t=1.

综上可知,经过2.5s或1s时,△PBQ与△ABC相似.

剖析:本题错解是由于考虑问题不完整,出现漏解.


12.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量解直角三角形

例.已知锐角A满足关系式 ,则 的值为( ).

A. B.3 C. 或3 D.4

错解:C

正解:A

剖析:学生只是将 当成未知数解这个一元二次方程,没有

考虑 的取值范围是0到1之间,所以应将3舍去,选A.


(三)统计与概率利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量

13.统计

例1.为了检查一批零件的长度是否符合要求,从中抽取10件,测量它们的长度如下:22.36,22.35,22.33,22.35,22.37,22.34,22.38,22.36,22.32,22.35.

问:这个问题中的总体、个体、样本、样本容量各指什么?

错解:总体:这批零件;个体:每件零件;样本:10件零件;样本容量:10件.

正解:总体:这批零件的长度;个体:每件零件的长度;样本:10件零件的长度;样本容量:10(不带单位).

剖析:仅从感觉上感知感念,对数据统计的概念理解不准确.


利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量2.小明同学将某班级升学体育测试成绩(满分30分)统计整理,得到下表,则分数的中位数为 ,原因是.

错解1:10,因为10处在第二横排的中间位置.

错解2:24,因为24介于20和28正中.

错解3:23,因为共有50人,中间的第25人为23分.

正解:第25位和第26位同学的分数为23分和24分,故中位数取它们的平均数为23.5分.

剖析:错解1是把分数中位数当成人数来找;错解2是将分数进行分类排序,而非将50位同学的分数全部依次排序;错解3是将50人按分数排序后,仅把第25位同学的分数当成中间数了,中间的分数应该是第25和第26两位同学的分数,取他们的平均数23.5作为中位数.


14.利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量概率

例.现有10张奖劵,其中两张有奖,随机抽取1张,中奖的概率有多大?随机抽取两张,中奖的概率有多大?

错解:.

正解:随机抽取1张,中奖的概率是 ;随机抽取两张,用T表示中奖,用F表示不中奖,随机抽取2张奖劵的树状图如下所示.

其中抽取2张中奖包括(T,T),(T,F)和(F,T),所以中奖的可能数为 ,总可能数 ,

故 (中奖)= .

剖析:随机抽取2张奖劵的概率不会是随机抽取1张奖劵的2倍.


二、对初三数学教学的启示利用错误解题资源,提高初三毕业班数学教学质量

1.要重视基础,回归教材,突出数学基本概念和基本原理的教学.

2.倡导积极主动、勇于探索的学习方式,切实提高学生独立获取知识和独立思考的能力.

3.在平时做好资料收集、整理工作,以便在教学时有针对性地进行纠错.

4.培养学生的数学阅读能力和自学能力,使学生养成认真审题、规范做答、认真书写、严谨推理、仔细检查的良好习惯.


错误是学生学习过程中的相伴产物,学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身错误是学生学习过程中的相伴产物,学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身.因此,对于学生出现的错误,不应轻易斥责、否定,要宽容地对待学生的错误,冷静地分析错误,多从学生的角度去理解学习的困难,让学生在纠错中感悟道理、领略方法,引导学生对错误进行分析评价,探究产生错误的内在原因,使学生从错误中体会成功,感受到自己的变化和成长.


学生的成长是老师的骄傲,一分耕耘一分获,错误是学生学习过程中的相伴产物,学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身

最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取

得辉煌的成绩!

学生的成长是老师的骄傲,一分耕耘一分收获,

最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取

得辉煌的成绩!


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