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镜湖区教研室 王俊

利用错误解题资源，提高初三毕业班数学教学质量. 镜湖区教研室 王俊.

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  1. 利用错误解题资源，提高初三毕业班数学教学质量利用错误解题资源，提高初三毕业班数学教学质量 镜湖区教研室 王俊

  2. 芜湖市的中考数学卷全卷满分150分，包括选择题、填空题、解答题三种题型.试题以能力为立意，注重基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，试题源于教材又高于教材.由于芜湖市将初中毕业考试与升学考试二合一，所以数学试题要有足够数量的基础题让大多数学生合格毕业，同时要有一定数量的较难题目，以利于高中选拔人才，而这些较难题目往往就放在选择题、填空题的最后两小题和解答题的最后一题. 由于芜湖市近几年的中考卷稳定而不乏创新，严谨而不乏活泼，已形成了自己的风格和特色，每年都有一些很有新意的题目，所以经常被期刊杂志转载.

  3. 作为一名初三数学教师，要加强对题目的研究，特别是对学生的错题要更加重视，分析学生的错因，并以此为突破口，从而来提高初三毕业班数学教学质量.作为一名初三数学教师，要加强对题目的研究，特别是对学生的错题要更加重视，分析学生的错因，并以此为突破口，从而来提高初三毕业班数学教学质量. 教学中，教师讲题的时候，学生听得认真，可是一段时间之后，同样的题目让学生再做，依然会有学生在原有的地方出错. 学习的过程是一种渐进、尝试错误的过程，在学习过程中试图让学生完全避免错误是不可能的.有时候，正面的“灌输”未必有效，而通过学生的自我尝试，甚至走弯路、犯错误所体会到的，将会更加深入、更具体验性.当然，“试误”不是鼓励学生重蹈覆辙，而是进一步提高学生的自辩能力，提高学生的数学素质.

  4. 一、学生常见错题的剖析 （一）数与代数 1.实数 例.在下列实数中，无理数是（ ）. A.0.1010010001 B. C. D. 错解：D. 正解：B. 剖析：对无理数的概念理解不清，认为 除不尽就是无理数，其实无理数是无限不循环小数，不可以写成两个整数比的形式.

  5. 2.因式分解 例.分解因式：（1） ； （2） . 错解：（1） = ； （2） . 正解：（1） ； （2）因为 ， 所以不能分解因式. 剖析：没有弄清运用公式的条件，（1）中只注意字母，没有考虑系数的平方.正确的做法应是整体化为平方后，再分解因式；（2）中看到第二项前面是减号，就开始分解因式导致错误，没有认识到只有当两平方项的符号相反时，才能用平方差公式.

  6. 3.分式与二次根式 例1.化简： 错解1： 正解1： 正解2：设 .则有 . 去分母，解得 所以 剖析：这种错误，是把方程中的去分母误用在分式的计算上了.第2种解法很新颖，能帮助学生突破思维障碍，引导学生灵活地纠错，带领学生从错误中学习.

  7. 例2.已知 与 是同类二次根式，则 的值是（ ）. A.3 B.15 C.无数个 D.不存在 错解：因为 与 是同类二次根式，所以 ， 即 ，故选A. 正解：C 剖析：对同类二次根式认识不深刻，由于本题未说明是最简二 次根式，可设 （ 为不等于零的整数），则 ，可取无数个数.

  8. 4.一元一次不等式组 例.若不等式组 的解集为 ＞2，则 的取值范围是（ ）. A. ＜2 B. ≤2 C. ＞2 D. ≥2 错解：A. 正解：B. 剖析：考虑不全面而致错，原不等式组可化为 ，根据 “同大取大”的规律，得 ＜2，而错选A，事实上 可以取2.

  9. 5.函数的图象 例.某班同学在研究弹簧的长度与外力的变化时，实验记录了得到的相应数据如下表. 则 关于 的函数图象是（ ）. 错解：根据表格知当 取 300（包括300）后面的数时， =7.5恒不变，故选B. 正解：因为当 =0时， =2，当在此基础上每增加50千克，弹簧的长度便增加1 厘米，由此可知该函数的关系式为 ，为确定弹簧长度发生变化的范围， 根据表中的数据，再令 =7.5，求出此时 =275，可知当 ＞275时，弹簧的长度不再发生变化，据此可知本题应选的函数图象为D. 剖析：只是从图象的表象进行分析，而忽略了表格中的数据的实际意义.要确定关于的函数图象，须先依据题意写出关于之间的函数关系式，同时还应求出弹簧长度发生变化的范围，这一点对确定函数图象至关重要，对实际问题我们不能忘记考虑它的实际意义.

  10. 6.一元二次方程 例1.已知关于 的方程 有两个不相等的实数根， 求 的取值范围. 错解1：因为方程有两个不相等的实数根，所以 ＞0， 即 ＞ 0 .解得 ＞ . 错解2：此方程是一元二次方程，还必须保证二次项系数 ≠0，即 ≠ ，故 的取值范围是 ＞ ，且 ≠ . 错解3：因为 ≠ 不在 ＞ 的范围内，因此 的取值范围是 ＞ . 正解：因为 的取值范围应同时满足 ＞ ，且 ≠ ，且 ≥ 0，所以此题最终 的取值范围是 ≥0. 剖析：教师不要轻易地判断对与错，让学生自己在出现错误、发现错误、纠正错误的过程中，感受到知识的魅力和学习的快乐.

  11. 例2.已知方程 的两实根的平方和为4，求 的值. 错解：由题意得 ， ， 则 ， 即 ，解得 . 正解：由题意可知△≥0，即△= = ≥0， 得 ≥ 或 ≤ ，而 ， ， = ，解得 （舍去）. 剖析：学生拿到题目就做，没有认真审题，忽略了一元二次方程有实根的条件.

  12. 7.二次函数 例.已知：二次函数 ，且 ≤ ≤6，求函数的最大值或最小值. 错解1：∵ ≤ ≤6，当 = 时， =8；当 =6时， =18， ∴ =8， =18. 错解2：∵ ＞0，抛物线开口向上， 有最小值，当 =0时， =0，没有最大值. 正解：如图，当 =0时， =0；当 =6时， =18. 剖析：错解1没有结合二次函数的图象与性质进行分析，误认为 两端的取值为最小、最大值；错解2是忽略了自变量的取值范围.对于给定了取值范围的二次函数求最值问题，应分别求出 的两个端点所对应的函数值，然后求出顶点的纵坐标，最后比较这三个值的大小来确定最值.

  13. （二）空间与图形 8.三角形 例.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）. A.1、2、3 B. C. D. 错解：B 正解：因为 ，故选C. 剖析：未能彻底区分勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足 的形式.

  14. 9.四边形 例.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC=CD=AC= ,AB= ,求BD的长. 错解：6. 正解： .如图，延长BC到E,使CE=BC,连接DE，又BC=CD, 所以CD= BE,不难得出，△BDE是直角三角形，又可得DE=AB= ,则 利用勾股定理求出BD= . 剖析：误认为四边形ABCD是平行四边形，从而得到△ACD是等边三角形，或认为AC⊥BD，且∠ACB=60°，从而致错.

  15. 10.圆 例.下列命题中正确的个数有（ ）. ①在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的弧也相等；②顶点在圆上的角叫做圆周角；③直径所对的角一定是直角；④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. A.0 B.1 C.2 D.3 错解：D. 正解：A. 剖析：对圆的有关概念中的关键字有所忽略，或理解不透彻. ①圆的每一条弦（除直径外）都对着两条弧，一条是优弧，另一条是劣弧.显然，在同一个圆中，优弧和劣弧是不相等的；②圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上以及角的两边都和圆相交；③这里没有强调直径所对的角是“圆周角”，直径所对的角很多，只有是圆周角时，才是直角.

  16. 11.相似 例1.如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD︰DB=1︰3， DE=5，则BC=. 错解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ ，即 ，故BC=15. 正解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ .而AD︰DB=1︰3，∴AD︰AB=1︰4， 即 ，故BC=20. 剖析：运用相似三角形对应边成比例的性质时，需找准对应边.错解中将△ADE边AD对应成DB了，应该是△ABC的边AB.

  17. 例2.如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C，以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似.例2.如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C，以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似. 错解：设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t， 当△PBQ∽△ABC时，有 ，即 ，所以t=2.5. 正解：设经过t秒时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t， ①如图1, 当△PBQ∽△ABC时，有 ，即 ，所以t=2.5. 图1 图2 ②如图2,当△QBP∽△ABC时，有 ，即 ，所以t=1. 综上可知，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似. 剖析：本题错解是由于考虑问题不完整，出现漏解.

  18. 12.解直角三角形 例.已知锐角A满足关系式 ，则 的值为（ ）． A． B．3 C． 或3 D．４ 错解：C 正解：A 剖析：学生只是将 当成未知数解这个一元二次方程，没有 考虑 的取值范围是0到1之间，所以应将3舍去，选A.

  19. （三）统计与概率 13.统计 例1.为了检查一批零件的长度是否符合要求,从中抽取10件,测量它们的长度如下:22.36,22.35,22.33,22.35,22.37,22.34,22.38,22.36,22.32,22.35. 问:这个问题中的总体、个体、样本、样本容量各指什么？ 错解：总体：这批零件；个体：每件零件；样本：10件零件；样本容量：10件. 正解：总体：这批零件的长度；个体：每件零件的长度；样本：10件零件的长度；样本容量：10（不带单位）. 剖析：仅从感觉上感知感念，对数据统计的概念理解不准确.

  20. 例2.小明同学将某班级升学体育测试成绩（满分30分）统计整理，得到下表，则分数的中位数为 ，原因是. 错解1：10，因为10处在第二横排的中间位置. 错解2：24，因为24介于20和28正中. 错解3：23，因为共有50人，中间的第25人为23分. 正解：第25位和第26位同学的分数为23分和24分，故中位数取它们的平均数为23.5分. 剖析：错解1是把分数中位数当成人数来找；错解2是将分数进行分类排序，而非将50位同学的分数全部依次排序；错解3是将50人按分数排序后，仅把第25位同学的分数当成中间数了，中间的分数应该是第25和第26两位同学的分数，取他们的平均数23.5作为中位数.

  21. 14.概率 例.现有10张奖劵，其中两张有奖，随机抽取1张，中奖的概率有多大？随机抽取两张，中奖的概率有多大？ 错解：. 正解：随机抽取1张，中奖的概率是 ；随机抽取两张，用T表示中奖，用F表示不中奖，随机抽取2张奖劵的树状图如下所示. 其中抽取2张中奖包括（T,T），（T,F）和（F,T），所以中奖的可能数为 ，总可能数 ， 故 (中奖)= . 剖析：随机抽取2张奖劵的概率不会是随机抽取1张奖劵的2倍.

  22. 二、对初三数学教学的启示 1.要重视基础，回归教材，突出数学基本概念和基本原理的教学. 2.倡导积极主动、勇于探索的学习方式，切实提高学生独立获取知识和独立思考的能力. 3.在平时做好资料收集、整理工作，以便在教学时有针对性地进行纠错. 4.培养学生的数学阅读能力和自学能力，使学生养成认真审题、规范做答、认真书写、严谨推理、仔细检查的良好习惯.

  23. 错误是学生学习过程中的相伴产物，学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身.因此，对于学生出现的错误，不应轻易斥责、否定，要宽容地对待学生的错误，冷静地分析错误，多从学生的角度去理解学习的困难，让学生在纠错中感悟道理、领略方法，引导学生对错误进行分析评价，探究产生错误的内在原因，使学生从错误中体会成功，感受到自己的变化和成长.错误是学生学习过程中的相伴产物，学生学习过程中产生的错误是一种来源于学生学习活动本身.因此，对于学生出现的错误，不应轻易斥责、否定，要宽容地对待学生的错误，冷静地分析错误，多从学生的角度去理解学习的困难，让学生在纠错中感悟道理、领略方法，引导学生对错误进行分析评价，探究产生错误的内在原因，使学生从错误中体会成功，感受到自己的变化和成长.

  24. 学生的成长是老师的骄傲，一分耕耘一分获， 最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取 得辉煌的成绩！ 学生的成长是老师的骄傲，一分耕耘一分收获， 最后我衷心祝愿在座的每位教师在明年的中考中取 得辉煌的成绩！

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