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13.3 角的平分线的性质

13.3 角的平分线的性质. 白山市第五中学 彭秀荣. 复习. A. D. 1. P. O. 2. C. E. B. 1 、会用尺规作角的平分线. 2 、角的平分线的性质 :. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表述 :. ∵ OC 是∠ AOB 的平分线. PD ⊥ OA , PE ⊥ OB. ∴ PD = PE. 思考. 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?. 已知:如图 ,QD⊥OA , QE⊥OB , 点 D 、 E 为垂足, QD = QE . 求证:点 Q 在∠ AOB 的平分线上..

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13.3 角的平分线的性质

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Presentation Transcript


  1. 13.3角的平分线的性质 白山市第五中学 彭秀荣

  2. 复习 A D 1 P O 2 C E B 1、会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述: ∵OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE

  3. 思考 • 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? 已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.

  4. 已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上. 证明: ∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知),  ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义)在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO=QO(公共边)QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)  ∴ ∠ QOD=∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

  5. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为: ∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

  6. D N M A F P E B C 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

  7. 如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F, 求证:点F在∠DAE的平分线上. 证明: 过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M G ∵点F在∠BCE的平分线上,     FG⊥AE, FM⊥BC M ∴FG=FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上,     FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上   

  8. A E F B C D 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。求证:AD是△ABC的角平分线。

  9. 利用结论,解决问题 练一练1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的? 想一想

  10. 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 拓展与延伸 分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。

  11. 课堂小结 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用数学语言表示为: ∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

  12. M C D F N E B A A A A A A A A 拓展与延伸 3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.

  13. 再见

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