Oszthat s g
Download
1 / 24

Oszthatóság - PowerPoint PPT Presentation


  • 140 Views
  • Uploaded on

Oszthatóság. Legyenek az a és b egész számok. Az a szám akkor osztója a b -nek, ha van olyan k egész szám, amelyre b = k ۰ a . Jelölése: a | b. Az oszthatóság tulajdonságai. tulajdonság Minden egész szám osztója önmagának. a | a , mert 1 ۰ a = a. Az oszthatóság tulajdonságai.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Oszthatóság' - makara


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Oszthat s g

Oszthatóság

Legyenek az a és b egész számok.

Az a szám akkor osztója a b-nek, ha van olyan k egész szám, amelyre b = k۰a.

Jelölése: a|b


Az oszthat s g tulajdons gai

Az oszthatóság tulajdonságai

tulajdonság

Minden egész szám osztója önmagának.

a|a, mert 1۰a = a


Az oszthat s g tulajdons gai1

Az oszthatóság tulajdonságai

2. tulajdonság

Ha a osztója b-nek, akkor a osztója a b többszöröseinek is.

Ha az a|b, továbbá nϵZ, akkor a|n۰b is teljesül,

mert a|b→b=k۰a, vagyis n۰b = n۰(k۰ a) = (n۰k)۰a,

tehát a|nb is teljesül.


Az oszthat s g tulajdons gai2

Az oszthatóság tulajdonságai

3. tulajdonság

Ha a osztója b-nek, b osztója c-nek, akkor a osztója a c-nek is.

Ha az a|b, és bIc→aIc,

mert a|b→b = n۰a, b|c→c = m۰b

tehát c =m۰b = (m۰n)۰a is teljesül, vagyis aIc.


Az oszthat s g tulajdons gai3

Az oszthatóság tulajdonságai

4. tulajdonság

Ha a osztója b-nek, a osztója c-nek, akkor a osztója (b±c)-nekis.

Ha az a|b, és aIc→aI(b±c),

mert a|b→b = n۰a, a|c→c = m۰a

tehát b ± c = n۰a ± m۰a = (n±m)۰a is teljesül, vagyis aI(b±c).


Az oszthat s g tulajdons gai4

Az oszthatóság tulajdonságai

5. tulajdonság

Ha a osztója (b + c)-nek, és a osztója b-nek, akkor a osztója c-nekis.

Ha az a|b+c és aIb,→aIc,

mert a|b+c→b+c = n۰a, a|b→b= m۰a,

tehátc = n۰a – b = n۰a – m۰a =

= (n - m)۰a is teljesül, vagyis aIc.


Az oszthat s g tulajdons gai5

Az oszthatóság tulajdonságai

6. tulajdonság

Ha a osztója b-nek, továbbá a nem osztója c-nek, akkor a nem osztója (b+c)-neksem.

Ha az a|b, és a łc→ał(b+c),

mert ha a|(b+c) teljesülne, akkor az 5. tulajdonság miatt aIc is teljesülne, ami a feltétel miatt nyilván nem lehet.


Az oszthat s g tulajdons gai6

Az oszthatóság tulajdonságai

7. Tulajdonság

(Legyenek a és b természetes számok)

Ha a osztója b-nek, továbbá b osztója az a is teljesül, akkor

a = b.

Ha az a|b, továbbá b|a ,

akkor az 1. tuljadonság miatt a ≤ b, illetve b ≤ a is teljesül,amelynek a = blesz a következménye.


Az oszthat s g tulajdons gai7

Az oszthatóság tulajdonságai

8. tulajdonság

A 0-nak minden egész szám osztója, a 0-nak csak a 0 a többszöröse.

a|0, mert 0۰a = 0

Vigyázz!Az oszthatóság és osztás fogalmát ne keverd, mert 0:0 nincs értelmezve, de 0I0 teljesül!


Alkalmaz s
Alkalmazás

Mutasd meg, ha 11I 2a+3b, akkor teljesül a 11I 15a+6b is! a,b ϵZ

Mivel 15a+6b = 11a+2(2a+3b), ezért a 2. és 4. tulajdonságok együttes alkalmazásával teljesül az állítás.


Alkalmaz s egy retts gi szint feladatban
Alkalmazásegy érettségi szintű feladatban

Mutasd meg, ha a,bϵZ, 5|2a-3b, továbbá

5|7a-2b, akkor teljesül az 5|a-10b is!

a-10b = 4۰(2a-3b) - (7a-2b)

5|

Megjegyzés: az eredményből 5|a is következik (sőt!??).


Oszthat s gi szab lyok

Oszthatósági szabályok

2-vel osztható számok a páros számok.

5-tel oszthatók a 0-ra, vagy 5-re végződő számok.

10-zel oszthatók a 0-ra végződő számok.

3-mal, vagy 9-cel azok a számok oszthatók, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal, iIletve 9-cel.*

6-tal azok a számok oszthatók, amelyek oszthatók 3-mal és párosak.


A 3 mal s 9 cel val oszthat s g igazol sa
A 3-mal és 9-cel való oszthatóság igazolása

?

Osztható kilenccel

Ha egy szám osztható 9-cel, akkor osztható 3-mal is.


Oszthat s gi szab lyok1
Oszthatósági szabályok

4-gyel azok a számok oszthatók, amelyek utolsó két számjegyéből alkotott szám osztható 4-gyel.

(Ezen a lapon a 4 helyett 25-öt is írhatsz.)

Az indoklás az alábbi példán leolvasható.

?

Osztható néggyel


Oszthat s gi szab lyok2
Oszthatósági szabályok

8-cal azok a számok oszthatók, amelyek utolsó három számjegyéből alkotott szám osztható 8-cal.

(Ezen a lapon a 8 helyett 125-öt is írhatsz.)

Az indoklás az alábbi példán leolvasható.

?

Osztható nyolccal


Oszthat s gi szab lyok3
Oszthatósági szabályok

11-gyel azok a számok oszthatók, amelyek páratlan helyen álló számjegyeinek összegéből kivonva a páros helyen állók összegét, 11-gyel osztható számot kapunk.


Oszthat s gi szab lyok4
Oszthatósági szabályok

7-tel azok a számok oszthatók, amelyekben a szám végéről indulva, hármasával csoportosítva a számjegyeket, majd egy ilyen hármas tömbben ez első jegy 2-szeresének és a második 3-szorosának összegéhez hozzáadjuk az utolsó jegyet, majd e hármas tömbökből képzett összegeket váltogatott előjellel összegezve 7-tel oszható számot kapunk.


7 tel val oszthat s g m sk ppen
7-tel való oszthatóság másképpen

7-tel (11-gyel, 13-mal) úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból (kivonjuk az utolsó számjegy 2-szeresét, 1-szeresét, hozzáadjuk az utolsó számjegy 4 szeresét).Ha az így kapott szám osztható 7-tel akkor az eredeti is. Ha még az így kapott számról sem tudjuk megállapítani, hogy osztható-e 7-tel, akkor ugyanezt az eljárást kell folytatni amíg olyan számot nem kapunk amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható 7-tel.


Indokl s az orient ci s csoportnak
Indoklás az orientációs csoportnak

7|abcdef→elegendő vizsgálni

7|100۰abcdef=98۰abcdef+2۰abcdef →

Mivel itt az első tag 7-tel osztható elegendő vizsgálni a 2. tagot. (Indulhatnánk innen is!)

2۰abcdef = 2۰(abcde0+f) = 2۰(abcde۰10+f)=

= 2۰(abcde۰7+abcde۰3+f) =

=14۰abcde + 6۰abcde + 2۰f =

=14۰abcde +7۰abcde –(abcde- 2۰f)


Pr msz mok s sszetett sz mok
Prímszámok és összetett számok

Azokat a pozitív természetes számokat, amelyeknek pontosan két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük.

Megjegyzés: az 1 nem prímszám és nem is összetett szám

Azokat a pozitív természetes számokat, amelyeknek kettőnél több pozitív osztója van, összetett számoknak nevezzük.


N h ny egyszer meg llap t s a pr msz mokkal kapcsolatban
Néhány egyszerű megállapítás a prímszámokkal kapcsolatban

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, 41, 43, 47, 53,59,61,67,71,73,79,83,89.97,101,103,

107,109,…..

A 2 az egyetlen páros prímszám.

Azokat a prímeket, amelyek különbsége kettő, ikerprímeknek nevezzük.

Egy p prímszám n-edik hatványának, pn–nek pontosan n+1 db. pozitív osztója van.

(1, p,p2,p3,p4,…pn-1, pn)


T tel v gtelen sok pr msz m van
Tétel: Végtelen sok prímszám van. kapcsolatban

Indirekt bizonyítás:

Tegyük fel, hogy az állítással ellentétbn véges sok , azaz n db. prímszám van, jelöljük ezeket p1,p2,p3,…pn-1, pn –nel.

Tekintsük azt az N természetes számot, amelyet a következőképpen állítunk elő:

N= p1۰p2 ۰p3 ۰… ۰ pn-1 ۰ pn +1 ,

ennek egyik pi sem osztója (6.tulajdonság), tehát N vagy új prím, vagy olyan összetett szám, amelynek egyik pi sem osztója.

Ellentmondás!Legalább n+1 prím van, ….


A sz melm let alapt tele nem bizony tjuk
A számelmélet alaptétele kapcsolatban(Nem bizonyítjuk)

Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára.


Az oszt k sz ma 252000
Az osztók száma: kapcsolatbanφ(252000)

φ(252000=(6+1)۰(2+1)۰(3+1)۰(1+1)=168 db