4.2 連立非線形方程式
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4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法 PowerPoint PPT Presentation


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4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法. n 個の変数からなる非線形方程式を考える。. これをベクトル表記して次のように表す。. 繰返し法による方法. 1変数の場合と同様,以下のようにして解く. ただし, 単純な繰返し法では, 収束するとは限らない !!. 使えない!!. (2)ニュートン・ラプソン法 ニュートン・ラプソン法の考え方(1). としてベクトル表記すると. 真の解との誤差を. これは,次のような式をベクトル表記したものである。. ニュートン・ラプソン法の考え方(2). テーラ展開し,1次の項まで近似すると.

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4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法

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Presentation Transcript


4.2 連立非線形方程式(1)繰返し法による方法

n個の変数からなる非線形方程式を考える。

これをベクトル表記して次のように表す。


繰返し法による方法

1変数の場合と同様,以下のようにして解く

ただし,

単純な繰返し法では,収束するとは限らない!!

使えない!!


(2)ニュートン・ラプソン法ニュートン・ラプソン法の考え方(1)

としてベクトル表記すると

真の解との誤差を

これは,次のような式をベクトル表記したものである。


ニュートン・ラプソン法の考え方(2)

テーラ展開し,1次の項まで近似すると


ニュートン・ラプソン法の考え方(3)

ベクトル表記すると


ニュートン・ラプソン法の考え方(4)

:ヤコビアンと呼ばれる。

 (Jacobian)


ニュートン・ラプソン法の考え方(5)

適当な初期値

を決め(k=0)

を求め

を解いて,

とする。これを繰り返せば,解に収束する。


発展

行列が大きくなると,

近似値の計算のたびに

連立方程式を解く必要があるので

計算量が多くなる。

実際には,

非線形連立偏微分方程式の数値解法に

応用されることが多いので,

それに合わせた数値解法が提案されている。


簡単な例題を手計算で進めてみると

初期の近似値を

とすると


簡単な例題

(以降,省略)


Excelでの定義

例題を Excel でやってみよう


収束の様子

グラフを描いて確かめよう


Sub setJACOBI(JACOBI, A)

JACOBI(1, 1) = 2 * A(1) + A(2)

JACOBI(1, 2) = A(1) + 2 * A(2)

JACOBI(2, 1) = 1

JACOBI(2, 2) = -1

' - f(X)

JACOBI(1, 3) = -(A(1) * A(1) + A(1) * A(2) + A(2) * A(2) - 1)

JACOBI(2, 3) = -(A(1) - A(2))

End Sub

Sub setInitial(A)

A(1) = 1: A(2) = 1

End Sub

Sub ボタン2_Click()

Dim A(2)

EPS = 0.0000001

N = 連立非線形Newton(A, EPS, 2)

MsgBox " 繰返し回数" & N & " 結果=(" & A(1) & " " & A(2) & ")"

End Sub

Jacobianの設定

VBAでのプログラム   

①Jacobianの設定,関数値の設定,ボタンのClickイベントハンドラ

関数値の設定

(連立方程式の解法で掃出し法を用いる)


Function 連立非線形Newton(A, EPS, N)

Dim JACOBI() As Double: ReDim JACOBI(N, N + 1)

setInitial A

iter = 0: itermax = 100: E = EPS * 100

Do While E > EPS And iter < itermax

iter = iter + 1

setJACOBI JACOBI, A ‘ Yacobian,関数値の設定

If 掃出法(JACOBI, N, ESP) Then Exit Do

E = 0 ‘補正値の加算,収束判定

For i = 1 To N

D = A(i) - JACOBI(i, N + 1)

E = E + D * D

A(i) = A(i) + JACOBI(i, N + 1)

Next

Loop

連立非線形Newton = iter

End Function

VBAでのプログラム  ②連立非線形方程式の解法


(3)その他の方法

①ベアストウ・ヒッチコック法(Bairstow-Hitchcock method)

非線形代数方程式に特化した繰返し計算による方法

②DKA法(Durand-Kerner-Aberth method)

ニュートン法に対してデュランとカーナーが修正を行い,

アバースの修正を用いる方法であり,

非線形代数方程式を対象とする方法。

   (N個の解をまとめて計算する)

なお,DKA法については,4.3節で

複素根を対象とした方法として示す。


(4)演習

① 以下の連立方程式の収斂の様子をExcelを使って観察せよ。

② 上記連立方程式をサンプルプログラムを用いて解け。


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