4.2 連立非線形方程式
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 16

4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法 PowerPoint PPT Presentation


  • 143 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法. n 個の変数からなる非線形方程式を考える。. これをベクトル表記して次のように表す。. 繰返し法による方法. 1変数の場合と同様,以下のようにして解く. ただし, 単純な繰返し法では, 収束するとは限らない !!. 使えない!!. (2)ニュートン・ラプソン法 ニュートン・ラプソン法の考え方(1). としてベクトル表記すると. 真の解との誤差を. これは,次のような式をベクトル表記したものである。. ニュートン・ラプソン法の考え方(2). テーラ展開し,1次の項まで近似すると.

Download Presentation

4.2 連立非線形方程式 (1)繰返し法による方法

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


5036997

4.2 連立非線形方程式(1)繰返し法による方法

n個の変数からなる非線形方程式を考える。

これをベクトル表記して次のように表す。


5036997

繰返し法による方法

1変数の場合と同様,以下のようにして解く

ただし,

単純な繰返し法では,収束するとは限らない!!

使えない!!


5036997

(2)ニュートン・ラプソン法ニュートン・ラプソン法の考え方(1)

としてベクトル表記すると

真の解との誤差を

これは,次のような式をベクトル表記したものである。


5036997

ニュートン・ラプソン法の考え方(2)

テーラ展開し,1次の項まで近似すると


5036997

ニュートン・ラプソン法の考え方(3)

ベクトル表記すると


5036997

ニュートン・ラプソン法の考え方(4)

:ヤコビアンと呼ばれる。

 (Jacobian)


5036997

ニュートン・ラプソン法の考え方(5)

適当な初期値

を決め(k=0)

を求め

を解いて,

とする。これを繰り返せば,解に収束する。


5036997

発展

行列が大きくなると,

近似値の計算のたびに

連立方程式を解く必要があるので

計算量が多くなる。

実際には,

非線形連立偏微分方程式の数値解法に

応用されることが多いので,

それに合わせた数値解法が提案されている。


5036997

簡単な例題を手計算で進めてみると

初期の近似値を

とすると


5036997

簡単な例題

(以降,省略)


5036997

Excelでの定義

例題を Excel でやってみよう


5036997

収束の様子

グラフを描いて確かめよう


5036997

Sub setJACOBI(JACOBI, A)

JACOBI(1, 1) = 2 * A(1) + A(2)

JACOBI(1, 2) = A(1) + 2 * A(2)

JACOBI(2, 1) = 1

JACOBI(2, 2) = -1

' - f(X)

JACOBI(1, 3) = -(A(1) * A(1) + A(1) * A(2) + A(2) * A(2) - 1)

JACOBI(2, 3) = -(A(1) - A(2))

End Sub

Sub setInitial(A)

A(1) = 1: A(2) = 1

End Sub

Sub ボタン2_Click()

Dim A(2)

EPS = 0.0000001

N = 連立非線形Newton(A, EPS, 2)

MsgBox " 繰返し回数" & N & " 結果=(" & A(1) & " " & A(2) & ")"

End Sub

Jacobianの設定

VBAでのプログラム   

①Jacobianの設定,関数値の設定,ボタンのClickイベントハンドラ

関数値の設定

(連立方程式の解法で掃出し法を用いる)


5036997

Function 連立非線形Newton(A, EPS, N)

Dim JACOBI() As Double: ReDim JACOBI(N, N + 1)

setInitial A

iter = 0: itermax = 100: E = EPS * 100

Do While E > EPS And iter < itermax

iter = iter + 1

setJACOBI JACOBI, A ‘ Yacobian,関数値の設定

If 掃出法(JACOBI, N, ESP) Then Exit Do

E = 0 ‘補正値の加算,収束判定

For i = 1 To N

D = A(i) - JACOBI(i, N + 1)

E = E + D * D

A(i) = A(i) + JACOBI(i, N + 1)

Next

Loop

連立非線形Newton = iter

End Function

VBAでのプログラム  ②連立非線形方程式の解法


5036997

(3)その他の方法

①ベアストウ・ヒッチコック法(Bairstow-Hitchcock method)

非線形代数方程式に特化した繰返し計算による方法

②DKA法(Durand-Kerner-Aberth method)

ニュートン法に対してデュランとカーナーが修正を行い,

アバースの修正を用いる方法であり,

非線形代数方程式を対象とする方法。

   (N個の解をまとめて計算する)

なお,DKA法については,4.3節で

複素根を対象とした方法として示す。


5036997

(4)演習

① 以下の連立方程式の収斂の様子をExcelを使って観察せよ。

② 上記連立方程式をサンプルプログラムを用いて解け。


  • Login