Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 48

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12 PowerPoint PPT Presentation


  • 94 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12. 1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta. Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen käyttöä Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18. Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta.

Download Presentation

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12


1 tunnin laskinharjoittelua ja kertausta

1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta

  • Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen käyttöä

  • Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18


Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta

Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta

  • Jotta funktion kuvaajan saisi skaalattua laskimen näyttöön kokonaan, pitäisi tietää ainakin funktion ääriarvot (MA07 asiaa) ja ns. kulkukaavio

  • Joutuu skaalaamaan x ja y –akselia, katso esimerkki 1 s. 19


Yht l n graafinen ratkaisu

Yhtälön graafinen ratkaisu

  • Piirrä molemmat funktiot graafisella laskimella ja määritä leikkauspisteiden koordinaatit. Esim. 3 sivulla 24.

  • Kaikki termit voi myös siirtää yhtälön vasemmalle puolelle ja ratkaista syntyvän funktion nollakohdat.


Kertausta

Kertausta

  • Määrittelyjoukko ja toisen asteen epäyhtälön ratkaisu

  • Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö ja kuvaajan piirtäminen. Esim. 4 s. 27.


Lukuj rjestelm t

Lukujärjestelmät

  • 10-järjestelmässä luvut esitetään 10 potenssin avulla ja käytössä on 10 lukua.

  • Esim. tietokoneissa on käytössä binäärijärjestelmä (kaksijärjestelmä), joten luvut esitetään kakkosen potensseina ja lukuina on vain 0 ja 1.

  • Esim.


Polynomien jakolasku

Polynomien jakolasku

  • Esim. (2x2+3x-2):(x+2)


Murtofunktion asymptootit

Murtofunktion asymptootit

  • Murtofunktio ei saa arvoja nimittäjän nollakohdissa, vaan funktion arvot ainoastaan lähenevät sitä

  • Toinen asymptootti tulee polynomin jakolaskun tuloksena

  • Esim. (x2+1):(x+2)


Polynomien jaollisuus

Polynomien jaollisuus

  • Jos jakolaskun P(x):S(x) osamäärä on Q(x) ja jakojäännös R(X), niin

    • P(x):S(X) = Q(X) + R(x):S(x) eli

    • P(x) = Q(x)S(x) + R(x)

  • Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla S(x), kun jakojäännös R(x) = 0

  • Huom! Jakojäännöksen asteluku on pienempi kuin jakajan asteluku


Binomilla x a jakaminen

Binomilla x-a jakaminen

  • Tällöin P(x) = (x-a)Q(x) + r

    • P(a) = (a-a)Q(x) + r = r

      Eli jakolasku P(x):(x-a) menee tasan eli x-a on polynomin P(x) tekijä joss P(a) = 0


Polynomien jaollisuus tekij ihin jako

Polynomien jaollisuus – tekijöihin jako

  • Esim. s 50.

  • Tekijöihin jako nollakohtien perusteella

    • päättele ensimmäinen nollakohta esim. kuvaajasta

    • jaa jakokulmassa, niin saat muut tekijät

  • Esim. s. 50.

  • s. 52 yleisesti

  • Esim. s. 53. Tehtävä 111.


Tekij ihin jako

Tekijöihin jako

  • Jos n. asteen polynomilla P on n nollakohtaa x1, x2, …, xn (ei voi olla enempää), niin

    • P = a(x - x1) (x – x2)…(x - xn), missä a on korkeimman asteen tekijä

  • Esim. ax2+bx+c = a(x - x1) (x – x2)

  • Kaksinkertainen juuri tarkoittaa sitä, että sama nollakohta toistuu.

    • Esim. x2+4x+4 = (x+2)(x+2)=(x+2)2


Korkeamman asteen yht l t

Korkeamman asteen yhtälöt

  • Ratkaisut voi päätellä kuvaajasta, kunhan toteaa, että ne myös ovat nollakohdat. S. 56.

  • Tulon nollasääntö. S. 57.

  • Jos nähdään selkeästi vain yksi nollakohta x1, niin muut saadaan jakamalla jakokulmassa tällä tekijällä (x – x1). S. 58.

  • Esim. s. 60. Aina ei tarvitse ”arvata”.


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Huom!


Huom nollakohdan voi arvata my s n in

Huom! Nollakohdan voi ’arvata’ myös näin.


Likiarvon tarkkuus

Likiarvon tarkkuus

  • Merkitseviä numeroita on kaikki muut paitsi ei kokonaisluvun lopussa olevat nollat ja desimaaliluvun alussa olevat nollat

    • Esim. 13000 on kaksi merkitsevää numeroa

    • Esim. 0,002340 on neljä merkitsevää numeroa

    • Esim. 1,00 on kolme merkitsevää numeroa

  • Tulos ilmoitetaan epätarkimman avulla

  • Monesti järkevä pyöristyssääntö on desimaalien lukumäärä tai mittayksikön tarkkuus


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

  • summassa ja erotuksessa käytetään epätarkinta desimaalilukua pyöristyssääntönä

  • tulossa ja osamäärässä käytetään epätarkinta merkitsevää numeroa pyöristyssääntönä


Virhe

Virhe

  • Esim. Jos suorakulmion mitat on 3 m ja 5 m, niin todelliset mitat voivat olla välillä

    • [2,5 ; 3,5[ tai [4,5 ; 5,5[

  • Tällöin todellinen pinta-ala voi olla

    • pienimmillään 2,5 * 4,5 =11,25 m2

    • suurimmillaan 3,5*5,5 = 19,25 m2

  • Absoluuttinen virhe on tällöin

    • 15 – 11,25 = 3,75 tai 19,25 – 15 = 4,25

  • Suhteellinen virhe on tällöin

    • 4,25 : 15 = 28 %


Jonot ja raja arvot

Jonot ja raja-arvot

  • Esim. 84. Miten laskimella?

  • Esim. s.78. Lukujonossa n on luonnollinen luku. Miten tableset nyt toimii, kun n lähestyy ääretöntä?

    • Eli lasketaan lukujonon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä. Tällöin lukujono suppenee.


Funktion nollakohdat

Funktion nollakohdat


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.

  • Osoita, että funktiolla f(x) = x3+2x2+2x-1 on tasan yksi nollakohta ja määritä sen likiarvo Bolzanon lauseen avulla haarukoimalla.


Derivointiesimerkkej

Derivointiesimerkkejä

  • Mikä oli derivaatta?

  • Miten derivaatta liittyy funktion kasvamiseen/vähenemiseen?


Newtonin menetelm

Newtonin menetelmä

  • Lasketaan derivoituvan funktion nollakohtia

  • Valitaan b nollakohdan likiarvoksi

  • Piste c on pisteeseen (b, f(b)) piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauspiste

  • Tällöin c on yleensä lähempänä nollakohtaa kuin b

  • Toistetaan toimenpidettä, jotta saadaan tarkempia likiarvoja


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

  • Itse prosessi on seuraava

  • Tangentin yhtälö on


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.


Iterointi

Iterointi

  • Pyritään ratkaisemaan yhtälö, joka on saatettu muotoon x = g(x)

  • Sijoitetaan funktioon g(x) alkuarvaus x0, josta saadaan uusi arvo x1, joka sijoitetaan takaisin funktioon g(x) jne. Alkuarvauksen voi katsoa kuvaajasta


Graafinen iterointi

Graafinen iterointi

  • Kuva tilanteesta on sivun 115 yläreunassa

  • Jos käy hyvin, niin xn lähestyy x:n ja g(x):n leikkauspistettä (x=g(x))


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.


Kiintopiste s 114

Kiintopiste s. 114

  • Äskeisessä esimerkissä x:n joutuu ratkaisemaan kahdella eri tavalla, jotta iterointi onnistuu.

  • Iterointi onnistuu, jos

    • |g’(a)|<1 ns. puoleensa vetävä piste

  • Iterointi ei onnistu, jos

    • |g’(a)|>1 ns. hylkivä piste

  • a voi käytännössä olla alkuarvaus


Derivaatta

Derivaatta

Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa


Erotusosam r

Erotusosamäärä


Derivaatan m ritelm osa i

Derivaatan määritelmä osa I


Derivaatan m ritelm osa ii

Derivaatan määritelmä osa II

  • Täsmälleen sama idea, mutta merkinnät hieman muuttuvat.

    • x – a = h, jolloin x = a + h ja derivaatan määritelmä on


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.

  • Laske molempien määritelmien avulla funktion f(x)= x – x3 derivaatta numeerisesti kohdassa -1.


Numeerinen derivaatta

Numeerinen derivaatta

  • Jos |h| on riittävän pieni, niin kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin on likimain


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.


Pinta alan numeerinen m ritt minen

Pinta-alan numeerinen määrittäminen


Ala suorakulmioiden avulla

Ala suorakulmioiden avulla

  • Määritetään pinta-alojen ns. ylä –ja alasummat

  • Jaetaan kysyttävä pinta-ala n:ään osaväliin. Mitä suurempi n on, sitä tarkempi ala on


Keskipistes nt

Keskipistesääntö

  • Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä pitkään osaväliin ja valitaan suorakulmion korkeudeksi välien keskipisteet


Puolisuunnikass nt

Puolisuunnikassääntö

  • Tehdään suorakulmiosta puolisuunnikas


T 289

t. 289


Simpsonin s nt

Simpsonin sääntö


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.

  • Laske yksikköympyrän pinta-ala Simpsonin säännöllä laskemalla ensin neljänneksen ala käyttämällä kuutta osaväliä


M r tty integraali

Määrätty integraali

  • Lasketaan funktion ja x-akselin väliin jäävää alaa.

  • Kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin tämän raja-arvon tuloksena saadaan alan tarkka arvo. (Simpsonin sääntö, puolisuunnikassääntö)


Numeerisia ja algebralllisia menetelmi ma 12

Esim.


  • Login