1. Classificazione dei sistemi e dei modelli
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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli. La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze. Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made.

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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli

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1. Classificazione dei sistemi e dei modelli

La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze.

Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made.

Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza dell’occorrenza di eventi.

Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.


Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc.

L’evoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dall’occorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente all’interno del sistema vengono ignorati.

Sistemi ad eventi discreti


Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dall’occorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido.

Sistemi ibridi

Sis. ad avanzamento temporale

Sis. ad eventi discreti


Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo

Nozione fondamentalesistema

Dizionario Webster: Un sistema è un’unità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune.

Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.


  • Per procedere ad un’analisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema.

  • Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo:

  • cause esterne al sistema ingressi del sistema

  • effetti uscite del sistema

u

y

S

S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.


Kw

u

m

y

K

b

Esempio: pantografo

Y: posizione di equilibrio di m

u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria


In generale l’uscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema.

Lo stato di un sistema all’istante di tempo 0 è la grandezza che contiene l’informazione necessaria in0 per determinare univocamente l’andamento dell’uscita y(), per   0, sulla base della conoscenza dell’andamento dell’ingresso u(),   0 e dello stato in 0.


I sistemi ad eventi discreti

La ricerca nell’abito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dall’uomo.

La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo  concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.


Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dall’occorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto.

Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi.

L’evoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare.


  • Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dall’accadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da:

  • insieme degli eventi E

  • spazio di stato X (insieme discreto)

  • evoluzione dello stato regolata dagli eventi

  • xk+1=(xk,ek) kN

funzione di transizione di stato


Esempio: il sistema a coda

  • Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali:

  • le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti)

  • le risorse (servitori o serventi)

  • lo spazio in cui si attente (coda)

partenza clienti

arrivo clienti

coda

servitore


I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc.

I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc.

Insieme degli eventi E={a,p}

a : evento di arrivo di un cliente

p : evento di partenza di un cliente


a

a

a

0

1

2

3

p

p

p

Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda

Spazio di stato X={0,1,2,…}=N

Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo


inizio

F

L

fine

rottura

riparazione

G

Esempio: macchina soggetta a guasti

  • X = {F (macchina ferma),

    • L (macchina che lavora),

    • G (macchina guasta)}spazio di stato

  • E = {inizio,fine,rottura,riparazione}spazio degli eventi


  • s

    l1

    d

    l2

    s

    s

    s

    s

    d

    d

    d

    d

    Esempio: circuito elettrico

    L’interruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro.

    Ci sono 4 possibili posizioni


    d

    x1

    x4

    x1

    s

    x2

    s

    d

    s

    d

    x3

    d

    x2

    x3

    x4

    s

    • Possiamo individuare 3 insiemi:

    • X = {x1,x2,x3,x4}posizioni dell’interruttore

    • U = {s,d}rotazioni

    • Y = {l1,l2,b}condizioni delle lampade

    Tale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo.


    s,d

    s,d

    l1

    l2

    b

    s,d

    s,d

    Se assumiamo l’insieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo

    l

    Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce

    s,d

    s,d

    b


    X

    s

    d

    s

    s

    x4

    x3

    s

    x2

    x1

    t

    d

    x1

    x4

    t1

    t2

    t3

    t4

    t5

    s

    s

    d

    s

    d

    d

    x2

    x3

    s

    A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale


    Modellazione di sistemi ad eventi discreti

    Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare l’insieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema.

    In generale l’insieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito.

    A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie:

    Modelli logici e Modelli temporizzati


    Modelli logici

    La traccia è una sequenza di eventi {e1,e2,e3…} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}.

    Modelli temporizzati

    La traccia è una sequenza di coppie {(e1,t1),(e2,t2),(e3,t3),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x0,x1,x2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente l’istante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.


    I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema  analisi strutturale.

    I modelli temporizzati permettono di studiare l’evoluzione temporale di un sistema  analisi prestazionale.

    • I modelli temporizzati possono essere:

    • deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti)

    • stocastici (gli intervalli sono variabili casuali)

    Una trattazione analitica diventa estremamente complessa  simulazione


    Sistemi ibridi

    Sistemi ad eventi discreti (SED)

    Sistemi ad avanzamento temporale (SAT)

    SAT a tempo discreto

    SAT a tempo continuo

    SED temporizzati

    SAT a t. continuo lineari

    SAT a t. discreto lineari

    SED logici

    SED deterministici

    SAT a t. continuo non lineari

    SAT a t. discreto non lineari

    SED stocastici


    ad
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