Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles

1. Variables Aléatoires&Lois de Probabilités Usuelles

2. II- Distribution de Poisson

3. I- Définition: On dit qu’une Variable Aléatoire X suit une Loi de Poisson: ♣Si sa distribution est discontinue ( V.A. Discrète) pouvant prendre toutes les valeurs possible {0, 1, 2, …i, …... n} Loi de Poisson & ♣Si les probabilités de réalisation de X sont très faibles.

4. La rareté du phénomène dans une Distribution de Poisson ne peut être défini que lorsque l’effectif étudié est très élevé. Poisson a montré que la probabilité pour qu’un événement de cette catégorie se réalise k fois est: Loi de Poisson Où m représente la moyenne de cette distribution et e = 2,71828.

5. II- Paramètres d’une distribution de Poisson: La rareté du phénomène (p très petit, et q tend vers 1, nous conduit à une valeur moyenne: Et une variance s2: Loi de Poisson

6. La loi de poisson est considérée comme la limite de la loi binomiale lorsque le phénomène est très rare et l’effectif est très élevé. Dans ce cas m=np et n tend vers l’infini. D’une manière générale, on admet qu’une distribution suit une loi de Poisson dès que: Loi de Poisson

7. Le tableau suivant se rapporte au cas d’une distribution discontinue où p = 0,1 et n = 10. Loi de Poisson Cf. Lecture à partir des tables théoriques

8. Le tableau montre que même si on n’atteint pas des valeurs de n >= 50, les valeurs de probabilité p(X=k) obtenues par les 2 lois sont très proches. La représentation graphique d’une distribution de poisson montre généralement une dissymétrie à gauche ( puisque p <<<< q). Loi de Poisson Cependant, si la valeur moyenne augmente ( si n augmente) , la distribution devient de + en + symétrique

9. P(X=k) 4,00E-01 3,50E-01 p=0,1 3,00E-01 2,50E-01 2,00E-01 1,50E-01 1,00E-01 5,00E-02 X 0,00E+00 3 0 1 3 2 2 0 1 2 3 4 5 3,67E-01 3,68E-01 1,84E-01 6,10E-03 1,50E-02 3,00E-03 m=1 1,35E-01 2,71E-01 2,70E-01 1,81E-01 9,00E-02 3,60E-02 m=2 Loi de Poisson

10. P(X=k) m=10 10 12 14 16 18 20 2 6 8 9 11 13 15 17 19 1 4 5 7 0 3 Pour m=10, p=0,1, on aura une distribution relativement symétrique. Loi de Poisson

11. m = np K K III- Utilisation des Tables théoriques: L’utilisation des tables théoriques facilite le calcul des probabilités Loi de Poisson

12. II- Distribution Normale

13. I- Introduction à la variation continue: Si l’effectif d’un échantillon augmente infiniment, l’étendue des classes tend vers zéro. De là, la représentation graphique des probabilités prend une allure caractéristique, appelée distribution en cloche. Loi de normale Cette forme particulière de la distribution des probabilité est caractéristique de la variation continue.

14. En effet, si l’on considère une V.A. X, très nombreuse et classée par ordre croissant; La différence entre deux valeurs élémentaires successives (x2 – x1) tend vers une quantité infiniment petite dx. Loi de normale L’ensemble des valeurs de x est représenté par la fonction y = f (x) où y représente la densité de probabilités ou de fréquences relatives.

15. La probabilité de la quantité dx étant par définition très réduite et tend vers zéro. La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant: Dans ces conditions, toute probabilité ne peut être définie que par un intervalle donné et non pour une valeur particulière de x. La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant: Loi de normale

16. a a’ b DX Compte tenu de la continuité de y=f(x) dans l’intervalle [a-b], la surface totale sous la courbe est: La probabilité d’un intervalle [a-a’] est: Loi de normale

17. II- Paramètres d’une distribution Normale: La moyenne: Loi de normale

18. x La variance: Loi de normale 1

19. II- Étude de la Loi Normale: • Avec: • e = 2,72 • p = 3,14 • s2 = Variance de X • s = Ecart – type de X Soit X, une variable aléatoire, continue. On dit que X suit une loi normale η(x,sx), ou loi de Laplace Gauss si: ♣ ses réalisations apparaissent dans l’intervalle: et Loi de normale ♣ Si la densité de probabilité associée à ces réalisations est définie par:

20. On dit que la variable X, suit une loi normale (ou loi de Laplace Gauss de moyenne x et d’écart type s. On résume cette loi par la notation η(x , sx) La nouvelle variable t est dite variable Centrée, réduite, da moyenne t = 0 et sa variance st2=1. Elle est notée ηt (0,1). En pratique, on procède à un changement de cette variable (on dit qu’on norme la variable). Loi de normale Pour cela, on pratique le changement de X par t tel que:

21. Y= f(t) :densité de probabilité 1 F(x) 0,8 0,6 f(t) ηt (0,1) 0,4 0,2 0 -t 0 +t L’allure de la fonction f(t) de la nouvelle variable ηt (0,1) centrée, réduite de moyenne nulle et d’écart type égal à l’unité est le suivant: Avec: Loi de normale t La fonction f(t) de la variable ηt (0,1) est toujours symétrique:

22. f(t) t ta tb t0 On démontre que: La fonction intégrale P(t) ou a(t) de la loi normale centrée réduite ηt (0,1) est: Loi de normale

23. f(t) P(t0) Õ = £ ( t ) P ( T t ) 0 0 t ta tb t0 Ainsi, la fonction intégrale P(t0) constitue la fonction de répartition de t, c’est-à-dire: On peut aussi calculer la probabilité associée à un intervalle. En effet, la surface P(t)comprise entre ta et tb est: Loi de normale

24. f(t) Õ = £ ( ) P ( T t ) t P(t0) 0 0 t ta tb t0 III- Utilisation des Tables théoriques: t P(1)=P(T<=1)=0,8413 On lit t en additionnant entête de ligne et de colonne. A l'intersection, on lit la probabilité P(T< =t). C'est à dire observer des valeurs inférieures ou égales à m + t * s pour des VA normales non centrées réduites. Table de la Loi de normale P(1<=T<=2)= P(T<=2)-P(T<=1) = 0,9777 – 0,8413 = 0,1364

25. IV- Exemples: 4-1. Exemple 1: Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =1) 1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7. 2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.

26. IV- Exemples: Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =3) 1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7. Réponse: Avant de chercher la probabilité demandée, il faut transformer la variable X en variable centrée et réduite:

27. IV- Exemples: Soit X une variable suivant une loi normale η (m = 1,s =1) 2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6. Réponse: D’où a =1,78

28. 4-2. Exemple 2: Soit la fonction de densité f(x) telle que: 1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité. 2. ♣ Calculer E(x) et V(x). 3. ♣ Déterminer la fonction de répartition F(x)

29. 4-2. Exemple 2: 1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité. Réponse: Pour que X soit une fonction de densité, il faut que: D’où k = 2/3

30. 4-2. Exemple 2: 2. ♣ Calcul de la moyenne E(x) =0 Or k = 2/3

31. 4-2. Exemple 2: 2. ♣ Calcul de la variance V(x) On sait que V(x) = E(x)2 – [E(x)]2, par conséquent on peut écrire: D’où V(x) = 2/3[16/4 – 1/4 ]-[14/9]2 = (30/12) – (14/9)2

32. 4-2. Exemple 2: 3. ♣ Fonction de répartition F(x)

33. F(x) 1 5/12 X 0 1 3/2 ≥2 … ♣ représentation graphique de la fonction de répartition ♠ si x < 1 : F(x) = 0 ♠ si 1 <= x < 2 : F(x) = 1/3 x2 – 1/3 (Ex: pour x=3/2, F(x)=5/8. ♠ si x >= 2 : F(x) = 1

34. Loi normale 1,2 1 F(x) 0,8 0,6 f(x) 0,4 0,2 0 -4 -2 0 2 4