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クイックソートと オーダー記法

クイックソートと オーダー記法. 第 12 講 : 平成 20 年 12 月 18 日 ( 金 ) 4 限 E252 教室. 今日の講義の内容. 整列アルゴリズム クイックソートの復習 オーダー記法の復習. 整列（ソーティング）問題とは. ソーティング： Sorting ，整列，並べ替え n 個のデータ列をある基準に従って 順に並べ替える処理 昇順ソート（ Ascending Sort ） 単調増加に整列（小さいもの順に整列） 一般的にソートといえばこちらを指す 降順ソート（ Descending Sort ） 単調減少に整列（大きいもの順に整列）

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Presentation Transcript

  1. クイックソートとオーダー記法 第12講: 平成20年12月18日 (金) 4限 E252教室

  2. 今日の講義の内容 • 整列アルゴリズム • クイックソートの復習 • オーダー記法の復習 第12講 クイックソートとオーダー記法

  3. 整列（ソーティング）問題とは • ソーティング： Sorting，整列，並べ替え • n個のデータ列をある基準に従って順に並べ替える処理 • 昇順ソート（Ascending Sort） • 単調増加に整列（小さいもの順に整列） • 一般的にソートといえばこちらを指す • 降順ソート（Descending Sort） • 単調減少に整列（大きいもの順に整列） • 昇順と降順は比較に用いる不等号を逆にする • ソーティングにおける時間計算量は比較の回数を基準として考える • if 文を用いた大小比較 第12講 クイックソートとオーダー記法

  4. 整列問題の分類 • 安定性 • 安定ソート • ソートの際，同等なデータには元の並び順が保存されているソート法 例） 元々学籍番号順に並んでいたデータをその成績順にソートしたとき，同じ点数の生徒は学籍番号順に並んでいるようなソート法 • 記憶領域 • 外部ソート • ソートの際，定数個より多くの外部記憶領域を必要とするソート法 例） 現在操作中の配列の他に，その長さに応じた別のデータ格納用の配列が必要なソート法 • 内部ソート • ソートの際，定数個の記憶領域で十分なソート法 例）現在操作中の配列の内部の入れ替えだけで十分なソート法 第12講 クイックソートとオーダー記法

  5. 準備 • 入力は長さ nの数値の列 • {a1, a2, a3, a4, … , an} で表す • 数値の大小関係には推移律が成り立つ • a < bで b < cなら a < c • Swap 手続き • 配列中の 2 つの要素の値を入れ替える手続き • 実際には以下のようにテンポラリ（一時的）の変数を準備して入れ替えする swap (a, b) { temp ← a ; a ← b ; b ← temp ; } 第12講 クイックソートとオーダー記法

  6. クイックソート • クイックソート：Quick Sort • Charles A. R. Hoare が考案 • 内部ソートでは最も速いアルゴリズム • 平均計算量：O(n log n) 第12講 クイックソートとオーダー記法

  7. クイックソート： 概要 • アルゴリズム • 基準値 a*を選ぶ • 基準値 a*以下のデータを左側，残りを右側に分割 • 分割された 2 つの部分に同様の操作を，分割部分の要素数が 1 になるまで繰り返す • 再帰アルゴリズムで実装（しない方法もある） • 分割統治法： Divide and Conquer a* a* a*以下のデータ a*以上のデータ 第12講 クイックソートとオーダー記法

  8. クイックソート： 概念図 a* a* 以下のデータ a* 以上のデータ b* a* c* x < b* b* > x x < c* c* < x e* f* c* g* b* a* d* 整列済みデータ 第12講 クイックソートとオーダー記法

  9. クイックソート： partition手続き • 基準値（ピボット）によってデータを 2 つの部分に分割 • partition( a* , left , right ) • 手順 • 基準値を a[right]とする（簡単のため） • 左から走査し基準値より大きい要素を探索： 位置 i • 右から走査し基準値より小さい要素を探索： 位置 j • 両者の位置関係が i < jならば交換 • i≧jとなるまで繰り返す a[left] a[right] 第12講 クイックソートとオーダー記法

  10. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i a* < 6なので飛ばす i j 1 3 2 7 9 5 6 8 10 4 j i どんどん飛ばして 最後は a*と交換 1 3 2 4 9 5 6 8 10 7 i 第12講 クイックソートとオーダー記法

  11. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 クイックソート： partition手続き a* 右端の値 a[right]を a*として採用 第12講 クイックソートとオーダー記法

  12. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 クイックソート： partition手続き a* i a[i] > a*なる iを探索たまたま 1 つ目で当たる 第12講 クイックソートとオーダー記法

  13. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 クイックソート： partition手続き a* j i a[j] < a*なる jを探索 またもや 1 つ目で当たる 第12講 クイックソートとオーダー記法

  14. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i というわけで交換 第12講 クイックソートとオーダー記法

  15. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i i a[i] > a*なる iを探索 次から探していることに注意 第12講 クイックソートとオーダー記法

  16. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i a[j] < a*なる jを探索 こちらも同様 第12講 クイックソートとオーダー記法

  17. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i 見つかったので交換 第12講 クイックソートとオーダー記法

  18. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i a[i] > a*なる iを探索 第12講 クイックソートとオーダー記法

  19. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j a[j] < a*なる jを探索 これは条件に当てはまらない 第12講 クイックソートとオーダー記法

  20. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j 見つかるまでずらす ここで見つかった ただし終了条件に注意 第12講 クイックソートとオーダー記法

  21. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j 1 3 2 7 9 5 6 8 10 4 交換 第12講 クイックソートとオーダー記法

  22. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j 1 3 2 7 9 5 6 8 10 4 i a[i] > a*なる iを探索 第12講 クイックソートとオーダー記法

  23. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j 1 3 2 7 9 5 6 8 10 4 j i 最後まで見つからないこともある！　　　　　 a[j] < a*なる jを探索 見つかったけれど j < i 第12講 クイックソートとオーダー記法

  24. 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 1 8 5 7 9 2 6 3 10 4 1 3 5 7 9 2 6 8 10 4 クイックソート： partition手続き a* j i j i i j 分割完了！ 1 3 2 7 9 5 6 8 10 4 j i 最後なので a*と交換 1 3 2 4 9 5 6 8 10 7 i 第12講 クイックソートとオーダー記法

  25. 左 1 3 2 4 9 5 6 8 10 7 まず左から 左 1 2 3 4 9 5 6 8 10 7 再帰はスタックを 利用することに注意！さらに左から 左 1 2 3 4 9 5 6 8 10 7 右 といっても長さが １ なので即座に終了 1 2 3 4 9 5 6 8 10 7 右 1 2 3 4 9 5 6 8 10 7 即座終了が発生したらやっと右 右 1 2 3 4 9 5 6 8 10 7 クイックソート 左右で再帰的に クイックソートを行う 1 3 2 4 9 5 6 8 10 7 第12講 クイックソートとオーダー記法

  26. 小の配列，基準値，大の配列の順でつなぎ合わせる小の配列，基準値，大の配列の順でつなぎ合わせる 2 3 1 4 10 8 5 7 9 6 • 外部に長さ n に比例した記憶領域が必要（マージソートと同じ欠点） 何故こんなややこしい交換をするのか • 内部ソートにするため • 外部ソートにしていいなら，もう少し簡単 基準値より大きいか小さいかで 2 つの配列を用意し，前から順番に振り分ける 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 基準値より小さい値用配列 2 3 1 基準値より大きい値用配列 10 8 5 7 9 6 第12講 クイックソートとオーダー記法

  27. クイックソート： 計算量 • 最良の場合 • 基準値によって左側の列と右側の列が半分に別れていくとき • 再帰の繰り返しは log n回 • 全体は O(n log n) • 最悪の場合 • 基準値が最大値，または最小値のとき • 列の大きさが 1 つずつしか減っていかない • 再帰の繰り返しは n回 • 全体は O(n2) 第12講 クイックソートとオーダー記法

  28. クイックソート： 高速化の知恵 • 基準値（ピボット）の選び方 • 今までは右端の値（a[right]）を基準値にしたが，三数値を取って（a[left]，a[(left+right)/2]，a[right]），その真ん中の値を基準値 a*に採用 • こうすると最悪の状況になる可能性が小さくなる • 規模が小さい等，クイックサーチが不適であることがわかれば挿入法にスイッチ（そのほうが早い） 第12講 クイックソートとオーダー記法

  29. クイックソートのまとめ • 平均計算量 O(n log n) • 最悪計算量 O(n2) • 安定ソートではない • 整列されていない列でのデータの入れ替えでは元の順番が保存されない • 内部ソート • 外部記憶を必要としない • 最悪計算量は悪いが，実際の使用状況では最速のソーティングアルゴリズム （マージソートより速い） • さまざまなところで使用されている 第12講 クイックソートとオーダー記法

  30. 整列問題の計算量の下限 • いままで勉強した整列アルゴリズム • 大きく分けて O(n2)のアルゴリズムと O(n log n)のアルゴリズム • O(n log n)より早いアルゴリズムはあるか? • ないなら，既に2つの O(n log n)のアルゴリズム（マージソートとクイックソート）は勉強したので問題ない • あるなら，最も早いアルゴリズムも勉強せねばならない・・・・というか知りたいよね? 第12講 クイックソートとオーダー記法

  31. [8] [5] [7] [9] [2] [6] [3] [1] [4] [0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 整列問題の計算量の下限の証明 • 並べ替える問題＝元の要素を適切に置き換える問題 • 配列の添字を並べ替えて，配列の内容を整列させる • 添字の並べ方は 10×9×8×…×2×1=10! 通り • つまり n!通り（nの階乗）の組合せのうち，正解は 1 通り • ここで，n! = O(nn)であることがわかっている [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 10 8 5 7 9 2 6 3 1 4 第12講 クイックソートとオーダー記法

  32. 整列問題の計算量の下限の証明 • if 文では2つに分岐できる ＝場合の数を半分に減らせる • m回 if 文で判定すると 2mの組合せを分けられる • n! 通りの組合せから正解の 1 つを選ぶには最低でも 2m=O(nn)回の比較が必要 • 両辺を底が 2 の対数を取るとlog2 2m = m = O(log2nn) = O(nlogn) • つまり，比較回数 mは少なくとも O(nlogn) • よって，最良の計算量は O(nlogn) 第12講 クイックソートとオーダー記法

  33. アルゴリズムのオーダー • f (n)のオーダーである：O( f (n) )と書く • ある正定数 c ,n0が存在し，n0 <nである nに対して常に g(n)< c・f (n) が成立するならg(n) = O( f(n) )である • 実行時間が関数 f(n)の増加率を超えない 係数は考えない （cはいくらでも良い） c・f (n) 実際の計算量 g (n) n n0 第12講 クイックソートとオーダー記法

  34. オーダーの見積もり • 計算量のオーダー表現： • きわめて大雑把な評価尺度 • 大雑把な見積もりで導出することができる • アルゴリズムを小さな操作単位に分割 • 各操作単位のオーダーを評価 • 操作単位のオーダーを合成して，全体のオーダーを得る 第12講 クイックソートとオーダー記法

  35. アルゴリズムの分割 search(key) /* 配列 perm の中から値 key の位置を探す */ int key; { int i = 0; while (i < MAX) { if (perm[i] == key) return(i); i++; } return(-1); } 実行時間が入力サイズに依存しないステップ （基本ステップ） ループ回数が入力サイズに依存するループ構造

  36. オーダーの評価 (1) • ルール 1：基本ステップのオーダーは O(1) • 基本ステップ • 実行時間が入力サイズに依存しないステップ • 変数への代入 • 数値の演算 • ポインタ操作 etc. • 一般に，以下は基本ステップでないことに注意 • （入力サイズに依存した）配列のコピー • 関数呼び出し

  37. オーダーの評価 (2) • ルール 2： O(f(n)) の操作と O(g(n)) の操作を連続して行う場合，操作全体のオーダーは O(max(f(n), g(n))) O(f(n)) O(max(f(n), g(n))) O(g(n)) ただし，関数の大小比較は増加率により行う 1 < log n < n < n log n < n2 < n3 < … 2n

  38. オーダーの評価 (3) • ルール 3： O(f(n)) 回だけまわるループの内部で O(g(n)) の操作を実行する場合，全体のオーダーは O(f(n) × g(n)) O(f(n)) 回ループ O(f(n) × g(n)) O(g(n)) • 係数は無視してよい • 最高次の項以外は無視してよい

  39. ポイント (1/3) • 係数は無視する • 2n→n，3n→n，10n2→n2，5logn→logn • 足し算は足し算でなくなる • O(n)+O(n) → O(n+n) → O(2n) → O(n) • O(1)+O(1) → O(1+1) → O(2) → O(1) 仮に元の係数が 100 だとしても，定数 cはいくらでも大きく決められるので，cを 100 倍にすれば問題ない 係数と増加率は関係ない（係数大きくしても関数の増加率は変わらない） 第12講 クイックソートとオーダー記法

  40. ポイント (2/3) • 次数の大きい項だけ残す • n2+n → n2，n3+100n2 → n3，n + n log n → n log n • 足し算すると次数の低い項は消える • O(n2)+O(n) → O(n2+n) → O(n2) • O(n2)+O(n2)+O(n3)+O(n2) → O(n3+3n2) → O(n3) -5 -25 n2+10nというのは n2+10n+25-25=(n+5)2-25であり， n2のグラフをただ x軸方向に -5， y軸方向に -25 ずらしただけ つまり増加率は n2となんら変わらないので 10nは無視できる 無限に大きな nを考えてみよう （例えば n = 100000000000000000000000000） そうすれば -5 も -25 もほとんど増加率的には無意味 第12講 クイックソートとオーダー記法

  41. ポイント (2/3) • ループは掛け算 • O(n)×O(n2) → O(n×n2) → O(n3) • 括弧の中の計算は先にやっておく • O(n)×{O(1)+O(n)} → O(n)×{O(n)} → O(n2) 内側から順番に計算していくとややこしくない 必ず 1 つの掛け算になる O(n) × {O(n) × {{O(1) + O(n)} × {O(1) + (1)}}} も括弧を1 つずつ外していけばやさしい 第12講 クイックソートとオーダー記法

  42. オーダー評価の例 search(key) /* 配列 perm の中から値 key の位置を探す */ int key; { int i = 0; while (i < MAX) { if (perm[i] == key) return(i); i++; } return(-1); } O(1) O(n) O(1) O(n) O(n) O(1) O(1) O(1) O(1) ループの回数： 平均時，最悪時とも O(n) ⇒　平均時間計算量，最大時間計算量とも O(n)

  43. O(1) O(n) O(1) O(1)×O(n) = O(n) O(1) O(1) 全体は O(1) + O(n) + O(1) = O(n) 練習問題 1 • 以下の手続きのオーダーを求めよ void maxmin(int a[], int n) { int i, max, min; max = min = a[0]; for (i = 1; i < n - 1; i++){ if (max < a[i]) max = a[i]; if (min > a[i]) min = a[i]; } printf(“%d, %d\n”, max, min); }

  44. O(1) O(n) O(1)×O(n) = O(n) O(1) O(n) O(1)×O(n) = O(n) O(1) O(1) 全体は O(1) + O(n) + O(n) + O(1) = O(n) 練習問題 2 • 以下の手続きのオーダーを求めよ void maxmin2(int a[], int n) { int i, max, min; max = min = a[0]; for (i = 1; i < n - 1; i++) if (max < a[i]) max = a[i]; for (i = 1; i < n - 1; i++) if (min > a[i]) min = a[i]; printf(“%d, %d\n”, max, min); }

  45. O(n)×O(n) = O(n2) O(n) O(1)×O(n) = O(n) O(n) O(1) 全体は O(n2) 練習問題 3 • 以下の手続きのオーダーを求めよ void bubble(int a[], int n) { int i, j, t; for (i = 0; i < n - 1; i++) for (j = n - 1; j > i; j--) if (a[j – 1] > a[j]) { t = a[j]; a[j] = a[j – 1]; a[j – 1] = t; } }

  46. オーダー評価：特殊ケース 1 • 条件分岐部の評価には要注意 if (x % 2 == 0) O(f(n))の処理 else O(g(n))の処理 計算量は O(max(f(n), g(n))) if (x % 2 == 3) O(f(n))の処理 else O(g(n))の処理 計算量は O(g(n)) 表現上の構造にとらわれず，実質的な振舞いの把握が必要

  47. オーダー記法に用いる関数 • n，nlogn，n2，n3： nの多項式 • 多項式時間アルゴリズム • Polynomial Time Algorithm • 現実的 • 2n，n!，nn： nの指数関数 • 指数時間アルゴリズム • Exponential Time Algorithm • 非現実的

  48. 多項式オーダーと指数オーダー • 計算速度向上の効果

  49. 再帰アルゴリズム • 処理手順が自身を用いて定義されているもの recursive (n) { if (自明なケース) { 自明なケースの処理 ; /* 終了条件 */ } else { recursive (m) ; /* m < n */ (処理) ; } } • 自身の引数より小さな引数で自身を呼び出す • 自明なケースの処理が存在 • 表面的にループが出現しない

  50. 再帰プログラムの例: 階乗の計算 • 階乗 • 例: 6! = 5×4×3×2×1 • ヒント • 6!=6×5!，5!=5×4!，･･･，2!=2×1!，1!=1 • プログラム int fact (int n) { int m; if(n = 1) return(1); else{ m = fact(n-1); return(n × m); } } ちょっとフローチャートでは書けない

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