Il momento di dipolo elettrico
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E 2. . E 2. E 1. E 1. . . . Il momento di dipolo elettrico. assorbimento. emissione stimolata. emissione spontanea.  2.  2.  2. | M 21 |. | M 21 |. | M 21 |.  1.  1.  1. accoppiamento: M 21. StrII- trans2-1. E 0a. E 0s.  0a.  0s. V(x). la molecola NH 3.

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Il momento di dipolo elettrico

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Il momento di dipolo elettrico

E2

E2

E1

E1

Il momento di dipolo elettrico

assorbimento

emissione stimolata

emissione spontanea

2

2

2

|M21|

|M21|

|M21|

1

1

1

accoppiamento: M21

StrII-trans2-1


La molecola nh 3

E0a

E0s

0a

0s

V(x)

la molecola NH3

equazione di Schroedinger:

separatamente, 0s e 0a hanno uguale probabilità per la buca di destra che per quella di sinistra  il loro momento di dipolo elettrico è nullo  come si ottiene un dipolo elettrico non nullo?

funzioni d’onda per un potenziale armonico

StrII-trans2-2


Il dipolo elettrico della molecola nh 3

0a

il dipolo elettrico della molecola NH3

per ottenere un dipolo elettrico non nullo occorre che siano presenti sia 0s che 0a:

0s

evoluzione temporale:

dipolo

dipolo

dipolo

StrII-trans2-3


Calcolo del momento di dipolo elettrico della molecola nh 3

x

0a

Calcolo del momento di dipolo elettrico della molecola NH3

x

0s

x è l’operatore che trasforma la funzione d’onda 0snella funzione d’onda0a

l’integrando

-è sempre positivo, perché 0se 0a hanno “parità opposta” (0sè pari, mentre 0a è dispari )

- è grande per quei valori di x per i quali 0se 0a sono entrambe diverse da zero

0a

 regola di selezione:

il momento di dipolo elettrico è diverso da zero solo se gli stati hanno parità opposta

0s

StrII-trans2-4


Transizioni permesse e transizioni vietate

1a

1s

1a

x

1s

0a

x

x

0a

x

0s

0s

transizioni permesse e transizioni vietate

Permesse:

0s  0a

0s  1a

0a  1s

1s  1a

Proibite:

0s  1s

0a  1a

StrII-trans2-5


Atomi idrogenoidi descrizione quantistica

Potenziale:

atomi idrogenoidi: descrizione quantistica

Hamiltoniana:

Numeri quantici:

- nenergia totale En= - ERZ2/n2

- l momento angolare L2 = l(l+1) 2

- mlcomponente di L lungo l’asse z Lz= ml

- mscomponente dello spin lungol’asse z Sz= ms

sono permessi solo i valori di E, L2, Lz corrispondenti ai valori interi dei numeri quantici

n1 ; 0  l < n ; -l mll

StrII-trans2-6


Il momento di dipolo elettrico

n=3

n=2

n=1

Atomo di idrogeno: livelli energetici ed energia potenziale l=0

ER=energia di Rydberg=13,6 eV

StrII-trans2-7


Atomo di idrogeno equazione di schr dinger

z

r

y

x

Atomo di idrogeno: equazione di Schrödinger

probabilità di trovare l’elettrone nell’elemento di volume r2drd intorno al punto (x,y,z)

StrII-trans2-8


Livelli energetici dell atomo di idrogeno

E (eV)

rappresentazionen,l,ml ,ms>

4

-0.85

3

-1.5

2

-3.4

1

-13.6

ml

-2 -1 0 +1 +2

-1 0 +1

0

0

1

2

l

n

s

p

d

Livelli energetici dell’atomo di idrogeno

numeri quantici

StrII-trans2-9


Orbitale atomico 1s

“orbitale” atomico 1s

funzione d’onda simmetrica per inversione degli assi:

x  - x

y  - y

z  - z

z

segno della funzione d’onda in questa zona, non della carica elettrica!

StrII-trans2-10


Orbitale atomico 2s

z

“orbitale” atomico 2s

funzione d’onda simmetrica per inversione degli assi:

x  - x

y  - y

z  - z

segni della funzione d’onda nella zona, non della carica elettrica!

StrII-trans2-11


Orbitale atomico 2p o

“orbitale” atomico 2po

funzione d’onda antisimmetrica per inversione degli assi:

x  - x

y  - y

z  - z

z

segno della funzione d’onda nella zona, non della carica elettrica!

StrII-trans2-12


Transizione di dipolo elettrico 2p z 1s

E (eV)

4

-0.85

3

-1.5

2

-3.4

1

-13.6

ml

-2 -1 0 +1 +2

-1 0 +1

0

0

1

2

l

n

s

p

d

transizione di dipolo elettrico 2pz 1s

2po

|M21|

1s

StrII-trans2-13


Calcolo del momento di dipolo elettrico 2p o 1s

2po

ez

1s

e z

calcolo del momento di dipolo elettrico 2po 1s

z = r cos 

2po

z è l’operatore che trasforma la funzione d’onda 2ponella funzione d’onda1s

l’integrando

-è sempre positivo, perché 1se 2po hanno “parità opposta” (1sè pari, mentre 2po è dispari )

- è grande per quei valori di z per i quali 1se 2po sono entrambe diverse da zero

1s

StrII-trans2-14


Calcolo del momento di dipolo elettrico 2p o 1s1

2po

1s

z è l’operatore che trasforma la funzione d’onda 2ponella funzione d’onda1s; in coordinate sferichez = r cos 

calcolo del momento di dipolo elettrico 2po 1s

z = r cos 

ez

- il momento di dipolo elettrico è diverso da zero solo se gli integrali sugli angoli  e  sono diversi da zero

- ciò si realizza in questa transizione perché

l = 1 nello stato 2po , l = 1 nello stato 1s

ml = 0 in entrambi gli stati

regola di selezione:

 l =  1

 ml = 0

StrII-trans2-15


Altre transizioni permesse per dipolo elettrico 2p 1s e 2p 1s

E (eV)

4

-0.85

3

-1.5

2

-3.4

1

-13.6

ml

-2 -1 0 +1 +2

-1 0 +1

0

0

1

2

l

n

s

p

d

altre transizioni permesse per dipolo elettrico: 2p+ 1s e 2p- 1s

2p-

2p+

er+

er-

1s

StrII-trans2-16


L operatore di dipolo elettrico

Per indurre la transizione 2p+ 1s oppure2p- 1s occorre un “operatore” diverso da z, perché l’elemento di matrice z2p+,1s è nullo:

l’operatore di dipolo elettrico

l’integrazione sull’angolo  dà risultato nullo:

occorre quindi ricorrere a uno degli altri componenti dell’operatore di dipolo elettrico, che è un “operatore vettoriale” , cioè è composto da 3 operatori:

StrII-trans2-17


L operatore di dipolo elettrico1

in coordinate sferiche:

l’operatore di dipolo elettrico

r- è l’operatore che trasforma la funzione d’onda 2p+nella funzione d’onda1s:

l’integrazione sull’angolo  dà 2; anche l’integrazione su cos è diversa da zero, perché l’integrando è una funzione pari in cos

regole di selezione:

 l =  1

 ml = 0,  1

StrII-trans2-18


Esempio di transizione proibita 2s 1s

e z

esempio di transizione proibita: 2s  1s

l’integrazione su cos dà risultato nullo, perché l’integrando è una funzione dispari in cos , come atteso in base alla

regola di selezione:

 l =  1

2s

1s

StrII-trans2-19


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