Introducción a los conceptos necesarios del álgebra lineal R. Meziat

1. Curso de Análisis Estadístico de Datos ComposicionalesICP-Piedecuesta, Santander Marzo-2007 Introducción a los conceptos necesarios del álgebra lineal R. Meziat Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes

2. Contenido • 1.Operaciones vectoriales • 2.Espacios vectoriales • 3.Espacios euclideos • 4.Producto interior • 5.Norma y distancia • 6.Subespacios vectoriales • 7.Espacios afines • 8.Dimensión y bases • 9.Bases ortogonales • 10.Proyecciones ortogonales • 11.Ejemplos

3. 1.Operaciones vectoriales • En un espacio vectorial priman dos operaciones denominadas • suma vectorial • multiplicación por escalar • Estas operaciones deben reproducir las mismas caracterísiticas de la suma de vectores en el plano cartesiano como se emplean en física y geometría

4. 2.Espacios vectoriales • Definiciones: • Conjunto V de elementos llamados vectores • Operación binaria VxVR:(x,y) x+y llamada suma vectorial • Operación binaria RxVR:(a,y) ax llamada multiplicación por escalares • Combinación lineal de los vectores x e y, con los escalares a y b : ax+by.

5. 2.Espacios vectoriales • Propiedades del espacio vectorial V • Suma: • conmutativa, asociativa, elemento identidad, inversas • Multiplicación por escalar: • distributiva: a(x+y)=ax+ay • distributiva: (a+b)x=ax+bx • (ab)x=a(bx) • 1x=x • 0x=0 • Clausura frente a combinaciones convexas: • ax+by є V, cuando x,y є V y a,b є R

6. 3.Espacios euclideos • Definiciones • V es la colección de n-tuplas ordenadas de números reales • La suma vectorial y la multiplicación por escalares se definen componente a componente: • Hay elemento identidad para la suma e inversos aditivos: • El conjunto V y las operaciones presentadas cumplen las propiedades, V se llama espacio euclideo de dimensión n y se representa como Rⁿ.

7. 4.Producto interior • Un producto interior en un espacio vectorial V es una operación binaria VxV R: (x,y) <x,y> con las siguientes propiedades: • bi-lineal (lineal por componente) • conmutativa <x,y> = <y,x> • <x,x>≥0, para cada x є V • <x,x>=0, si y sólo si x=0 • Desigualdad de Cauchy-Schwartz: • Ejemplo:

8. 4.Producto interior • Caracterización de productos interiores en espacios euclideos.

9. 5.Norma de vectores • Dado un producto interior en un espacio vectorial V, podemos definir la norma de cada vector como: • Las propiedades de la norma son: • Desigualdad Triangular: • Desigualdad de Cauchy:

10. 5.Norma y distancia • Norma en los espacios euclideanos Rⁿ • Dado el producto interior en un espacio euclideano definido como: la norma inducida en Rⁿ por este producto interior es: • Cualquier norma en el espacio euclideano Rⁿ está definda como: donde A es una matriz cuadrada, simétrica y definida positiva con dimensión nxn.

11. 5.Norma y distancia • Distancia inducida por una norma • Dada una norma en un espacio vectorial V podemos inducir una función distancia entre dos vectores como: • Las propiedades de la función distancia inducida de esta forma son: • La función distancia inducida por la norma natural del espacio euclideo Rⁿ es:

12. 6.Subespacios vectoriales • Dado un espacio vectorial V, un subespacio vectorial de V es un subconjunto W de V que es cerrado bajo la toma de combinaciones lineales. • Cuando A es un subconjunto de V, la familia de todas las combinaciones lineales formadas con vectores de A se denomina Span(A) y es evidentemente un subespacio vectorial de V. • V y {0} son subespacios vectoriales de V. • La forma más general de representar subespacios vectoriales en el espacio euclideo Rⁿ, es como los conjuntos de soluciones de sistemas lineales homogéneos descritos como Ax=0m donde A es una matriz de m x n.

13. 6.Subespacios vectoriales

14. 6.Subespacios vectoriales Subespacio lineal de Rⁿ - Nulidad de la matriz A Subespacio lineal de - Rango de la matriz A TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: NULIDAD + RANGO = n

15. 7.Espacios afines • Un espacio afín (variedad afín) en un espacio vectorial V es un conjunto L que se puede expresar como la traslación de un subespacio vectorial W, es decir: L=W+x. • En general, cada espacio afín L en un espacio euclideo Rⁿ se puede representar como el conjunto solución a un sistema lineal no homogéneo: Ax=b.

16. 7.Espacios afines • Ejemplo 1: rectas en el plano • Ejemplo 2: planos en el espacio • Ejemplo 3: hiperplanos • Ejemplo 4: intersecciones de éstos

17. 8.Dimensión y bases • Si para un espacio vectorial V podemos encontrar un subconjunto B tal que sus vectores son linealmente independientes y cuyo generado lineal coincide con V: Span(B)=V, decimos que B es una base para el espacio vectorial V. • Cada base de V tiene el mismo número de elementos al cual llamamos dimensión del espacio vecorial V. • Cuando B es base de V, cada elemento de V se puede expresar de una única forma comocombinación lineal de los vectores en la base B. • Cuando

18. 8.Dimensión y bases • La aplicación es una biyección entre V y Rⁿ que preserva las operaciones lineales: • T(ax+by)=aT(x)+bT(y) • T es un isomorfismo de espacio vectorial. • Empleando un sistema de coordenadas, cada espacio vectorial V de dimensión finita n se identifica con el espacio euclideo Rⁿ. • Esencialmente todo espacio vectorial de dimensión n corresponde al espacio euclideo Rⁿ. • Una base para Rⁿ es • La transformación T:V Rⁿ cumple:

19. 9.Bases ortogonales • Cuando V es un espacio vectorial con producto interior, decimos que dos vectores x e y son ortogonales cuando <x,y>=0. • Extiende la situación geométrica del Plano Cartesiano en la cual • Una base B del espacio vectorial V se llama ortogonal cuando sus vectores son ortogonales entre sí. • Una base B se llama ortonormal cuando sus vectores son ortogonales y unitarios entre sí. • Ejemplo: es una base ortonormal para Rⁿ.

20. 9.Bases ortogonales • Papel de las bases ortonormales: • caracterización de bases ortonormales • cálculo de coordenadas en bases ortonormales • cualquier base de V se puede transformar en una base ortonormal: proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

21. 10.Proyecciones ortogonales • Dado un subespacio W de un espacio vectorial V con producto interior, existe una aplicación natural P:V W, llamada proyección ortogonal de V sobre W que tiene las siguientes propiedades: x W P(x)

22. 10.Proyecciones ortogonales • Cuando W es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V podemos representar la proyección natural P:V W de la siguiente manera:

23. 11.Ejemplo: R y R+ • R=(-∞,∞) • Operaciones de suma y multiplicación forman un espacio vectorial de dimensión 1 • El número 1 es una base ortonormal • R+=(0,∞) • Operaciones vectoriales: • Producto interior: • Norma: • Distancia: • El número e es una base:

24. 11.Ejemplo: extensiones a Rⁿ+ • En el cuadrante generalizado Rⁿ+ • Suma vectorial: • Multiplicación por escalares: • Producto interno: • Norma: • Distancia: • Base: