Čísla v počítači

1. Čísla v počítači Přednáška z předmětu Počítače I Dana Nejedlová Katedra informatiky EF TUL

2. Celá čísla • Jejich jiný název je čísla s pevnou řádovou čárkou (fixed-point numbers). • Mají pevný maximální počet míst před i za desetinnou čárkou. • Když je tento maximální počet míst dostatečně nízký, je nejvýhodnější čísla v počítači ukládat jako celá čísla. • Číslo v desítkové soustavě se vynásobí konstantou rovnou 10 na maximální počet desetinných míst. • Například pro maximálně 4 desetinná místa • 1,23 se uloží jako 12300. • 0,456 se uloží jako 4560. • Pro zobrazení čísla použijeme konstantu 104. • Dělíme uložené číslo 10000, tedy • umístíme desetinnou čárku pevný počet míst od konce uloženého čísla. • Aritmetické operace lze provádět s takto uloženými čísly bez využití informace o maximálním počtu desetinných míst. • Takže se dál budeme bavit jen o celých číslech.

3. Reprezentace kladných celých čísel • Uchovávají se v určitém počtu bajtů. • 1 bajt (byte) má 8 bitů. • Číslo se převede do dvojkové (binární) soustavy a z levé strany se doplní nulami. • 11 v desítkové soustavě je 1011 binárně. • V 8 bitech se uloží jako 0000 1011. • Převod čísla c do binární soustavy • Využijeme vzorec c = 2 ∙ d + z, kde • d je výsledek celočíselného dělení (kolikrát se 2 vejde celé do c), • z je zbytek po celočíselném dělení. • 11 = 2 ∙ 5 + 1 – binárně 1011 = 10 ∙ 101 + 1 • 5 = 2 ∙ 2 + 1 – binárně 101 = 10 ∙ 10 + 1 • 2 = 2 ∙ 1 + 0 – binárně 10 = 10 ∙ 1 + 0 • 1 = 2 ∙ 0 + 1 – binárně 1 = 10 ∙ 0 + 1 • 1110 = 10112 • Převod zpět: 1110 = 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 8+2+1

4. Sčítání • Procesor má pro jeho provedení obvod. • 11 = 0000 1011 • 7 = 0000 0111 • 18 = 0001 0010 • 11 = 0000 1011 • 24 = 0001 1000 • 35 = 0010 0011

5. Odčítání • Má v matematice jiný algoritmus než sčítání. • 11 = 0000 1011 • –7 = – 0000 0111 • 4 = 0000 0100 • Procesor by pro odčítání dle algoritmu shodného s matematickým musel mít jiný obvod. • Efektivnější je ale využít i pro odčítání sčítací obvod. • Je to možné? • Ano, pokud budeme záporná čísla správně reprezentovat. • Jak má v počítači vypadat záporné číslo? • Může se od kladného odlišovat tím, že by mělo nejvyšší bit roven 1 místo 0. • Potom by se ale pro odčítání nemohl použít stejný algoritmus jako pro sčítání. • Záporná čísla lze reprezentovat tak, aby odčítání A – B bylo v počítači realizováno jako A + (reprezentace záporného B). • Výsledky budou zase buďto kladná čísla nebo reprezentace záporných čísel.

6. Reprezentace záporných celých čísel • Nejefektivnější vzhledem k algoritmizaci je takzvaný dvojkový doplněk (two'scomplement). • Jeho teoretickým základem je modulární aritmetika, kde se čísla v řadě periodicky opakují. • V následující řadě se cyklicky opakují poslední 3 bity po 8 hodnotách.

7. Binární čísla a cyklická řada • Souvislá řada binárních čísel • Každému binárnímu číslu přiřadíme dekadickou hodnotu jeho nejnižších 3 míst. • Každému binárnímu číslu přiřadíme záporné číslo, pokud je jeho 3. nejnižší bit roven 1, tak, aby vznikla souvislá řada od nejnižšího čísla (-4) k nejvyššímu číslu (3).

8. Binární čísla a cyklická řada • Budeme počítat v cyklické aritmetice s 8 možnými hodnotami 0 až 7 nebo -4 až 3. • Bude to tedy aritmetika modulo 23. • Stejný výpočet uvedeme nejdřív v periodické řadě nezáporných čísel a potom v něm nahradíme všechny hodnoty hodnotami na stejném řádku v řadě znaménkových čísel. • 2 + 4 = 6 • 2 – 4 = –2 • 2 + 7 = 1 (Ne 9, protože to je mimo náš rozsah.) • 2 – 1 = 1 • 6 + 7 = 5 (Ne 13, protože to je mimo náš rozsah.) • –2 – 1 = –3 • Pokud byla čísla v rozsahu, tak výsledky byly správné. • Máme tedy systém, kde odčítání realizujeme sčítáním. V tomto systému se dá i násobit. • Sčítají se nebo násobí binární vyjádření čísel. • Periodicita je vyjádřena ignorováním 1. bitu (neboli 4. nejnižšího bitu). • Zbývá dořešit převod kladného čísla na záporné.

9. Převod na dvojkový doplněk čísla • U všech bitů kladného čísla změníme (přehodíme) hodnotu a k výsledku přičteme 1. • V následujících příkladech budeme počítat s 3 nejnižšími bity. • 5 = 101 → 010 + 1 = 011 = 3. • 4 = 100 → 011 + 1 = 100 = –4. • 3 = 011 → 100 + 1 = 101 = –3. • 1 = 001 → 110 + 1 = 111 = –1. • 0 = 000 → 111 + 1 = 000 = 0.

10. Dvojkový doplněk v počítači • 8 bitové celé číslo –11 • 1111 0101 = dvojkový doplněk čísla 11 • + 0000 1011 = číslo 11 • 1 0000 0000 = 28 • 16 bitové celé číslo –11 • 1111 11111111 0101 = dvojkový doplněk 11 • + 0000 00000000 1011 = číslo 11 • 1 0000 000000000000 = 216 • Záporné číslo je uloženo jako • 2 na počet bitů – kladné číslo. • Dvojkový doplněk čísla c v n bitech = 2n – c.

11. Výpočty s dvojkovým doplňkem • Na příkladech s 8 bitovými čísly • 0001 1000 = 24 • + 1111 0101 = –11 neboli dvojkový doplněk 11 • 1 0000 1101 = 13 + 28, 28 není součástí výsledku • 0000 1011 = 11 • + 1110 1000 = –24 neboli dvojkový doplněk čísla 24 • 0 1111 0011 = –13 neboli dvojkový doplněk čísla 13 • 1111 0101 = –11 neboli dvojkový doplněk čísla 11 • + 1110 1000 = –24 neboli dvojkový doplněk čísla 24 • 1 1101 1101 = –35 neboli dvojkový doplněk čísla 35 + 28, 28 není součástí výsledku. • Takže vše můžeme počítat v 8 bitech a bity, které se do nich při součtech nevejdou, můžeme zahodit.

12. Detekce chyb při výpočtech • Je založena na tom, že čísla ve dvojkovém doplňku mají nejvyšší bit roven 1. Podle něj lze chybu detekovat. • Chyba může vzniknout jen při součtu 2 čísel se stejným znaménkem. • Přetečení (overflow) • 0110 0100 = 100 • + 0011 0010 = 50 • 0 1001 0110 = 150 • Pokud je výsledek interpretován neznaménkově, je výpočet správně. • Pokud je výsledek interpretován znaménkově, vyjde záporné číslo, dvojkový doplněk čísla 106, protože 8. bit je roven 1. • Součet dvou kladných čísel vyjde záporně. • 150 + 106 = 256 = 28 = modulo tohoto sčítání. • Podtečení (underflow) • 1001 1100 = –100 • + 1100 1110 = – 50 • 1 0110 1010 = 28 + 106, 28 není součástí výsledku. • Součet dvou záporných čísel vyjde kladně. • –150 – 106 = –256 = –28.

13. Rozsah dvojkového doplňku v 8 bitech • Maximální číslo 127 = 27 – 1 = 0111 1111 • 1 1 = 20 = 0000 0001 • 0 0 = 20 – 1 = 0000 0000 • –1 –1 = 28 – 1 = 1111 1111 • Minimální číslo –128 = 27 = 1000 0000 • Čísla ve více bitech jsou tomu analogická.

14. Co je třeba umět do testu • Převést konkrétní celé číslo na jeho dvojkový doplněk. • Jaké chyby vznikají při výpočtech s celými čísly?

15. Reálná čísla • Jejich jiný název je čísla s pohyblivou řádovou čárkou (floating-point numbers). • Potřebujeme jediným datovým typem reprezentovat čísla s velkým rozsahem počtu míst před nebo za desetinnou čárkou. • čísla blížící se nekonečnu, neboli s velkou vzdáleností od nuly na reálné ose • čísla blížící se nule, neboli s velkým záporným řádem • Datový typ • Je určitý formát, ve kterém je uložena informace v počítači. • Určuje • přípustné hodnoty informace a • přípustné operace, které se s informací mohou provádět. • Celá čísla v určitém počtu bitů a s určitým rozsahem (znaménková, neznaménková) jsou určitým datovým typem neboli formátem. • Reálná čísla mají také své formáty. • Je záležitostí dohody mezi výrobci technologií neboli standardem. • Nejrozšířenější standard pro reprezentaci reálných čísel ve výpočetních systémech je IEEE 754.

16. Teoretické základy standardu IEEE 754 • Semilogaritmický tvar (vědecká notace) čísla • Počítače nebo kalkulačky tak zobrazují příliš malá nebo velká čísla. • Zápis čísla se skládá ze • znaménka, • mantisy (significand), • exponentu a • základu umocňování. • 23,125 = 2,3125 ∙ 101 = 2312,5 ∙ 10–2 = 0,23125 ∙ 102 … • Číslo může být zapsáno mnoha způsoby. • Může být různé umístění čárky a různý základ exponentu. • Tyto různé možnosti mohou být standardizovány. • IEEE 754 • Před čárkou je 1 místo. • normalizace • Základ exponentu je 2.

17. Mantisa (significand) v IEEE 754 • Když je základ exponentu 2, tak se mantisa skládá z řetězce nul a jedniček a vždy začíná na 1. Proto se vynechá, aby se ušetřil 1 bit. • leading bit convention, implicit bit convention, hidden bit convention • Převedeme číslo 3,8125 do binární soustavy: • Bude se převádět zvlášť část čísla před čárkou a za čárkou. • 3 = 2 ∙ 1 + 1 • 1 = 2 ∙ 0 + 1 • Před čárkou je 11. • Zlomková část binárního čísla se řídí vzorcem • c = k–1 ∙ 2–1 + k–2 ∙ 2–2 + k–3 ∙ 2–3 + k–4 ∙ 2–4 + ... • k = {0, 1} • Násobení číslem 2 způsobí, že před desetinnou čárku se dostane koeficient čísla 2–1. • 0,8125 ∙ 2 = 1,625 • 0,625 ∙ 2 = 1,25 • 0,25 ∙ 2 = 0,5 • 0,5 ∙ 2 = 1 • Za čárkou je 1101. • 3,8125 = 11,1101 = 1,11101 ∙ 21. Zelené hodnoty se uloží.

18. Znaménko a exponent v IEEE 754 • Znaménko je uloženo v prvním bitu čísla. • 1 znamená mínus, 0 znamená plus. • Exponent je celé číslo, které může být kladné nebo záporné. • Neukládá se jako dvojkový doplněk, aby šla jednodušeji porovnávat jeho velikost. • K jeho skutečné hodnotě se připočte kladné celé číslo dané standardem IEEE 754 zvané posunutí (bias) a potom se zakóduje jako kladné celé číslo. • Exponenty v přípustném rozsahu tak jsou vždy kladné. • Vyšší exponent je vyšší neznaménkové číslo než nižší exponent. • Maximální exponent určuje rozsah čísla neboli jeho maximální vzdálenost od nuly. • Komponenty formátu IEEE 754 jsou v pořadí znaménko, exponent, mantisa, což umožňuje porovnávání čísel se stejným znaménkem pomocí obvodů pro celočíselnou aritmetiku.

19. IEEE 754 a aritmetické operace • Jsou výpočetně náročnější a proto by se měly reálné datové typy využívat jen, když jsou opravdu nutné. • Vznikají při nich zaokrouhlovací chyby. • Řádově nejnižší číslice výsledku výpočtu nejsou správné. • Nemůžeme testovat rovnost reálných čísel. • Místo (a = b) se musí testovat stylem abs(a – b) < 0,00001. • Počet bitů vyhrazený pro exponent je konečný, takže může vzniknout i přetečení. • Podtečení znamená, že číslo se blíží nule. • Čísla, která mají v jiné třeba desítkové soustavě konečný počet desetinných míst, nemusí mít konečný počet míst ve dvojkové soustavě.

20. IEEE 754 a zaokrouhlovací chyby • Převedeme číslo 0,1 v desítkové soustavě do dvojkové soustavy: • 0,1 ∙ 2 = 0,2 • 0,2 ∙ 2 = 0,4 • 0,4 ∙ 2 = 0,8 • 0,8 ∙ 2 = 1,6 • 0,6 ∙ 2 = 1,2 • 0,2 ∙ 2 = 0,4 Odtud se to opakuje. • 0,4 ∙ 2 = 0,8 • 0,110 = 0,0 0011 0011 …2 • Když číslo opakovaně násobíme 2 a ztratí se z něj desetinná část, tak je číslo ve dvojkové soustavě vyjádřitelné bez chyb. • Násobení nebo dělení • Vynásobí se mantisy a sečtou nebo odečtou se exponenty. • Sčítání a odčítání • Dochází při něm k větším zaokrouhlovacím chybám než u násobení. • Číslo s nižším exponentem se musí denormalizovat. • 1,2345 ∙ 105 + 6,78 ∙ 10–2 = • = 1,234500000 ∙ 105 • + 0,000000678 ∙ 105 • = 1,234500678 ∙ 105 • Výsledek se nemusí vejít do mantisy, takže se uříznou řádově nejnižší číslice. • Může se stát, že číslice řádově nižšího sčítance se uříznou všechny.

21. Rozdíl mezi sousedními hodnotami reálných čísel • V matematice je nekonečně malý. • Formát IEEE 754 má fixní počet bitů pro mantisu. • Máme například mantisu, kam se vejde jen 5 číslic: • 1,2345 ∙ 105 má sousední vyšší číslo 1,2346 ∙ 105. • Rozdíl je 0,0001 ∙ 105. • 1,2345 ∙ 10–5 má sousední vyšší číslo 1,2346 ∙ 10–5. • Rozdíl je 0,0001 ∙ 10–5. • Na rozdíl od celočíselných datových typů je rozdíl mezi sousedními reálnými čísly různý. • Reálná čísla by se neměla používat jako řídící proměnná cyklu nebo index prvku pole. • Čím větší je počet bitů vyhrazený pro mantisu, tím blíže se může číslo uložené v počítači přiblížit teoretické matematické hodnotě čísla. • Velikost mantisy určuje přesnost čísla.

22. Co je třeba umět do testu • Jaké chyby vznikají při výpočtech s reálnými čísly? • Jaká část formátu IEEE 754 určuje • rozsah čísla a • přesnost čísla? • Rozpoznat, zda je dané reálné číslo v desítkové soustavě reprezentovatelné v počítači ve formátu IEEE 754 bez ztráty přesnosti. • Jak se liší rozdíl mezi sousedními možnými hodnotami čísla ve formátu IEEE 754 od čísla ve formátu dvojkového doplňku?

23. Znaky • Znak (character) je počítačová reprezentace jednotlivého písmena tak, aby byla možná práce s textem, například vyhledávání. • Abeceda znaků, znaková sada (character set), mapuje množinu znaků na množinu celých čísel. • Čísla jsou kódy znaků. • Stejný znak může být počítačem zobrazen různou velikostí, tvarem, fontem (například tučně, kurzívou…). • Na světě je spousta abeced a spousta mapování znaků na čísla, neboli kódování.

24. Kód ASCII • American Standard Code for Information Interchange • Vznikl v 60. letech 20. století. • Byl původně určen pro dálnopis a tiskárny. • Proto jsou jeho součástí řídící znaky s kódem 0-31. • Je 7 bitový. • Mapuje 128 znaků. • interpunkce • číslice (0-9) • znaky anglické abecedy • velké (uppercase letters) A-Z • malé (lowercase letters) a-z • Je to nejstarší kód rozšířený v informačních a komunikačních technologiích. • Omezení se na ASCII zaručí co nejmenší komplikace s kompatibilitou při sdílení dat na různých platformách. • jména souborů, adresy WWW stránek, adresáře SW projektů… • Při pojmenovávání souborů je třeba myslet i na pravidla operačních systémů. • Nepoužívat mezeru, otazník, hvězdičku, lomítko, dvojtečku …

25. Národní abecedy • Dle vzoru ASCII vznikaly kódové tabulky národních abeced, které se někdy také nesprávně nazývaly ASCII. • Původně se využívalo jen 7 bitů, takže národní abecedy musely přemapovat některé často užívané znaky původního amerického ASCII. • Vzniklo tak mnoho nekompatibilních kódování. • Kompatibilní řešení je to, kdy původní ASCII zůstane zachováno a přidají se k němu znaky národních abeced. • Tabulka národní abecedy by měla 8 bitů. • K původní ASCII tabulce s prvním bitem z 8 rovným nule se přidá dalších 128 kódů pro národní znaky s prvním bitem z 8 rovným jedné.

26. Tvůrci standardů pro kódování znaků • Národní organizace • například ANSI • Mezinárodní organizace • například ISO • Soukromé firmy • například IBM, Microsoft, Apple • proprietární standardy závislé na platformě (víceméně na určitém operačním systému) • Pro stejnou národní abecedu tak může existovat více nekompatibilních kódování. • Nekompatibilita se projeví, když mezi sebou komunikují různé systémy pracující s odlišným kódováním. • Například e-mail je zpracován různými servery a různými klientskými programy.

27. Problémy národních kódování • Moderní software • Vyrábí se pro mnoho národních prostředí. • lokalizace • Šíření informace přes Internet • Když na Internetu začínala služba WWW, byly nutné různé varianty stránek pro různá kódování nebo se požadovaná stránka před jejím zobrazením překódovala nějakým programem. • V současnosti je kód stránky součástí jejích metadat pro internetový prohlížeč. • Elektronické dokumenty odkudkoliv by mělo být možné číst kdekoliv. • Software pro jejich zobrazení by měl umět všechna kódování.

28. Unicode • Standard pro kódování všech národních abeced v jediné společné tabulce prvně publikován roku 1991 • Jeho tvůrce je společnost UnicodeConsortiumsdružující nejvýznamnější světové firmy z oblasti informačních technologií. • Poskytuje prostor pro více než milión kódů. • Má několik variant. • UTF-8 má proměnlivou délku kódu. • V současnosti je to nejpoužívanější kódování pro psaní WWW stránek. • ASCII znaky jsou kódovány pomocí 8 bitů s nulou na začátku. • zpětná kompatibilita s ASCII • Ostatní znaky jsou kódovány pomocí 2 až 4 bajtů. • UTF-32 má fixní délku kódu. • Kóduje každý znak pomocí 4 bajtů. • Reprezentace znaků není efektivní z hlediska potřebné paměti. • Znaky jsou indexovatelné. • Díky fixní délce kódu je n-tý znak přímo přístupný pomocí n-tého indexu. • Přístup k n-tému znaku při kódování s proměnlivou délkou musí být sekvenční, je tudíž výpočetně náročnější.

29. Řetězce znaků • vektory (jednorozměrná pole) znaků reprezentující text • Mají 2 nejčastější způsoby realizace. • řetězce ukončené nulou (null-terminatedstrings) • Mohou být libovolně dlouhé (omezeny jen dostupnou pamětí). • řetězce s předponou určující délku (length-prefixedstrings). • Délka je omezená maximálním číslem, které se vejde do fixního počtu bitů určeného pro předponu. • Řetězec může být binární. • Binární data mohou kdekoliv obsahovat libovolné hodnoty bajtů. • Na rozdíl od binárních dat textová data jsou tvořena jen znaky textu. Žádný znak textu nemá kód rovný nule. • Je-li předpona jiného (zpravidla delšího) datového typu než znak (element textu), je řetězec tvořen jako objekt.

30. Co je třeba umět do testu • Jaké problémy jsou spojeny s používáním různých kódovacích tabulek pro různé abecedy národních znaků? • Jak jsou tyto problémy v současnosti řešeny? • Jaké kódování má variabilní délku kódu? • Jak jsou v počítači reprezentovány řetězce?