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第 1 章 矩阵及其应用

第 1 章 矩阵及其应用. 第 10 章 矩阵及其应用. 10-1 矩阵的概念. 10-2 矩阵的运算. 10-3 矩阵行列式. 10-4 矩阵的初等行变换与矩阵的秩. 10-5 逆矩阵. 10-6 线性方程组. 10-1 矩阵的概念. 一、矩阵的概念. 如果把表中的数据取出且不改变数据的相关位置,那么就得到一个简明的 3 行 4 列矩形阵表,. 10-1 矩阵的概念. 10-1 矩阵的概念. 如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案,可以简记作. 10-1 矩阵的概念. 10-1 矩阵的概念. 10-1 矩阵的概念.

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第 1 章 矩阵及其应用

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  1. 第1章 矩阵及其应用

  2. 第10章 矩阵及其应用 10-1 矩阵的概念 10-2 矩阵的运算 10-3 矩阵行列式 10-4 矩阵的初等行变换与矩阵的秩 10-5 逆矩阵 10-6 线性方程组

  3. 10-1 矩阵的概念 一、矩阵的概念 如果把表中的数据取出且不改变数据的相关位置,那么就得到一个简明的3行4列矩形阵表,

  4. 10-1 矩阵的概念

  5. 10-1 矩阵的概念 如果我们用一个三行四列的数表表示该调运方案,可以简记作

  6. 10-1 矩阵的概念

  7. 10-1 矩阵的概念

  8. 10-1 矩阵的概念 定义10.1有m×n个数aij(i=1,2, …,m;j=1,2, … ,n)排列成一个m行n列的数表 称为m行n列矩阵,简称m×n 矩阵.矩阵通常用大写出字母A,B,C,表示,如上述矩阵可以记作A或Am×n ,或记作A=(aij)m×n ,aij称为矩阵A的第i行第j列元素.

  9. 当m=1时,矩阵只有一行,即 称之为行矩阵. 当n=1时,矩阵只有一列,即 称为列矩阵. 行数与列数都等于n的矩阵 , 称为n阶矩阵,或n阶方阵. 10-1 矩阵的概念

  10. 10-1 矩阵的概念   所有元素全为零的   矩阵,称为零矩阵,记作   或 .例如 在 阶矩阵中,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到左下角的对角线称为次对角线. 分别为二阶零矩阵和  零矩阵.

  11.   在矩阵     中各个元素的前面都添加上负号(即取相反数)得到的矩阵,称为  在矩阵     中各个元素的前面都添加上负号(即取相反数)得到的矩阵,称为  的负矩阵,记作  ,即      . 例如 那么  是 的负矩阵. 10-1 矩阵的概念

  12. 10-1 矩阵的概念 1.三角矩阵   主对角线下(或上)方的元素全都是零的n阶矩阵,称为n阶上(或下)三角矩阵.   上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角形矩阵.例如

  13. 10-1 矩阵的概念 分别是一个三阶上三角矩阵和一个四阶下三角矩阵.值得注意的是,上(或下)三角矩阵的主对角线下(或上)方的元素一定是零而其他元素可以是零也可以不是零. 2.对角矩阵   如果一个矩阵既是上三角矩阵,又是下三角矩阵,则称其为n阶对角矩阵,亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵.如

  14. 10-1 矩阵的概念 是一个三阶对角矩阵.   显然,由主对角线的元素就可以确定对角矩阵了.因此,经常把对角矩阵记作 . 当然允许元素a1 , a2 , …, an中某些为零.

  15. 全相等 10-1 矩阵的概念 3 数量矩阵 主对角线上元素都是非零常数k,其余元素全部是零的n阶矩阵,称为n阶数量矩阵.

  16. 10-1 矩阵的概念 4.单位矩阵   主对角线上的元素是1,其余元素全部是零的n阶矩阵,称为n阶单位矩阵,记作  或.   当n =2, 3时, 就是二阶、三阶单位矩阵.

  17. 10-1 矩阵的概念  由上述讨论可知,单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是三角矩阵,它们既是上三角矩阵,又是下三角矩阵.换句话说,如果一个矩阵 既是上三角矩阵,又是下三角矩阵,则 一定是对角矩阵,当然也可能是数量矩阵或单位矩阵,因为单位矩阵、数量矩阵是对角矩阵的特殊情况.

  18. 10-2 矩阵的运算 对从实际问题中抽象出来的矩阵,我们 经常将几个矩阵联系起来,讨论它们是否相 等,他们在什么条件下可以进行运算,这些 运算具有什么性质等问题,这就是本节要 讨论的主要内容.

  19. 定义10.2如果两个矩阵    ,   的行数和列数分别相同,而且各对应元素相 等,则称矩阵A与矩阵B相等,记作 . 即如果     和     ,且            ,那么   . 10-2 矩阵的运算 一、矩阵相等

  20.   解 根据定义10.2,由   ,即 , , , 得   ,  ,  ,   . 且   ,求 , , , . 10-2 矩阵的运算 例1 设矩阵

  21.   定义10.3设    ,   是两个 矩阵,规定: , 称矩阵   为A与B的和. 10-2 矩阵的运算 二、矩阵的加法   由定义10.3可知,只有行数、列数分别相同的两个矩阵,才能做加法运算.

  22. 如果     ,    ,由矩阵加法运算和负矩阵的概念,我们可以定义矩阵的减法: 称矩阵   为 与 的差. 10-2 矩阵的运算

  23.   例3 设矩阵        求 , .   解 , 10-2 矩阵的运算 , ,

  24. 10-2 矩阵的运算

  25.   设 , , , 都是   矩阵,根据定义6.3和负矩阵的概念,不难验证矩阵的加法满足以下运算规则: 1.加法交换律      ; 2.加法结合律            ; 3.零矩阵满足     ; 4.存在矩阵  ,满足         . 10-2 矩阵的运算

  26.   定义10.4设 是任意一个实数,    是一个   矩阵,规定:  定义10.4设 是任意一个实数,    是一个   矩阵,规定: , 称其为数 与矩阵 的数量乘积,或称之为矩阵的数乘. 10-2 矩阵的运算 三、矩阵的数乘   由定义10.4可知,数k乘一个矩阵A,需要用数k去乘矩阵A的每一个元素.

  27. 10-2 矩阵的运算

  28.   根据定义10.4容易验证,数 , 和矩阵      ,     满足以下运算规则: 1.数对矩阵的分配律        ; 2.矩阵对数的分配律        ; 3.数与矩阵的结合律         ; 4.数1与矩阵满足   . 10-2 矩阵的运算

  29. 10-2 矩阵的运算 四、矩阵的乘法   定义10.5设 是一个   矩阵, 是 一个  矩阵,则称 矩阵 为矩阵A与B的乘积,其中 . 记作    .   由定义10.5可知:

  30. (1)只有当左矩阵 的列数等于右矩阵 的行数时, , 才能作乘法运算    ; (2)两个矩阵的乘积    亦是矩阵, 它的行数等于左矩阵 的行数,它的列数等 于右矩阵 的列数; (3)乘积矩阵    中的第 行第 列的元素等于 的第 行元素与 的第 列对应元素的乘积之和,故简称行乘列法则. 10-2 矩阵的运算

  31. 说明:由于矩阵 有2列,矩阵 有3行,  即 的列数  的行数,所以  无意义. 10-2 矩阵的运算

  32. 10-2 矩阵的运算

  33. 10-2 矩阵的运算

  34. 3.数乘结合律           ,其中 是一个常数.3.数乘结合律           ,其中 是一个常数. 1.乘法结合律       ; 2.左乘分配律         ; 右乘分配律         ; 10-2 矩阵的运算

  35. 称 为矩阵 的 次幂,其中 是正整数. 10-2 矩阵的运算   对个矩阵的乘法运算可作类似讨论. 由于矩阵乘法满足结合律,故当是阶方阵时,我们规定

  36. 当   时,规定   .显然有 , , 其中 , 是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律,因此,一般地 . 10-2 矩阵的运算

  37. 10-2 矩阵的运算 五、矩阵的转置   定义10.6 将一个   矩阵 的行和列按顺序互换得到的 矩阵, 称为 的转置矩阵,记作 ,即 .

  38. 由定义10.6可知,转置矩阵  的第 行第  列的元素等于矩阵 的第 行第 列的元素,简记为   的  元  的  元. 10-2 矩阵的运算

  39. 1.    ; 2.        ; 3.     ( 为实数); 4.      . 10-2 矩阵的运算 矩阵的转置满足下列运算规则:

  40. 10-2 矩阵的运算

  41. 10-2 矩阵的运算

  42. (10.3.1) , 10-3 矩阵行列式 一、二阶行列式 对于二元线性方程组 , , 如果令

  43. 如果       ,那么(10.3.1)的解为 10-3 矩阵行列式 则该方程组可表示为矩阵方程的形式 , 其中称为方程组(10.3.1)的系数矩阵. 对于方程组(10.3.1)用加减消元法,得 , .

  44. (10.3.2) . 10-3 矩阵行列式 为了便于表示上述结果,我们引入记号 ,

  45. 称为矩阵 的行列式,也可记为 , 10-3 矩阵行列式 或 ,即 . 这样,二元线性方程组(10.3.1)的系数矩 阵 的行列式为 ,

  46. 10-3 矩阵行列式 如果把(10.3.2)式中的分子分别记为 故当方程组(10.3.1)系数矩阵行列式 时,它的解就可以简洁地表为

  47. 10-3 矩阵行列式

  48. 二、 阶矩阵行列式 10-3 矩阵行列式 定义10.8 对n阶矩阵 ,当n=1时,它的行列式定义为:   假设n -1阶矩阵的行列式已经定义,则n阶矩阵的行列式定义为

  49. 10-3 矩阵行列式

  50. 10-3 矩阵行列式

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