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基于 MATLAB 的概率统计数值实验 三、数理统计

基于 MATLAB 的概率统计数值实验 三、数理统计. 本科生必修课：概率论与数理统计. 主讲教师 ：董庆宽 研究方向 ：密码学与信息安全 Email ： qkdong@mail.xidian.edu.cn 个人主页： http://web.xidian.edu.cn/qkdong/. 内容介绍. 三、数理统计 1. Matlab 统计工具箱中常见的统计命令 2. 直方图和箱线图实验 3. 抽样分布实验 4. 参数估计和假设检验实验. Matlab 统计工具箱中常见的统计命令. 1 、基本统计量 对于随机变量 x ，计算其基本统计量的命令如下：

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基于 MATLAB 的概率统计数值实验 三、数理统计

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  1. 基于MATLAB的概率统计数值实验三、数理统计 本科生必修课：概率论与数理统计 主讲教师：董庆宽 研究方向：密码学与信息安全 Email ：qkdong@mail.xidian.edu.cn 个人主页：http://web.xidian.edu.cn/qkdong/

  2. 内容介绍 三、数理统计 1. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 2. 直方图和箱线图实验 3. 抽样分布实验 4. 参数估计和假设检验实验

  3. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 • 1、基本统计量 • 对于随机变量x，计算其基本统计量的命令如下： • 均值：mean(x) 标准差：std(x) • 中位数：median(x) 方差：var(x) • 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x) • 2、频数直方图的描绘 • A、给出数组data的频数表的命令为： [N,X]=hist(data,k) • 此命令将区间[min(data),max(data)]分为k个小区间(缺省为10)，返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X。 • B、描绘数组data的频数直方图的命令为： hist(data,k)

  4. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 • 3、参数估计 • A、对于正态总体，点估计和区间估计可同时由以下命令获得： • [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) • 此命令在显著性水平alpha下估计x的参数（alpha缺省值为5%），返回值muhat是均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值，muci是均值的区间估计，sigmaci是标准差的区间估计。 • B、对其他分布总体，两种处理办法：一是取容量充分大的样本，按中心极限定理，它近似服从正态分布，仍可用上面估计公式计算；二是使用特定分布总体的估计命令，常用的命令如： • [muhat,muci]=expfit(x,alpha) • [lambdahat, lambdaci]=poissfit(x,alpha) • [phat, pci]=weibfit(x,alpha)

  5. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 • 4、正态总体假设检验 • A、单总体均值的z检验： • [h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) • 检验数据x关于总体均值的某一假设是否成立，其中sigma为已知方差，alpha为显著性水平，究竟检验什么假设取决于tail的取值： • tail=0，检验假设“x的均值等于m” • tail=1，检验假设“x的均值大于m” • tail=-1，检验假设“x的均值小于m” • tail的缺省值为0， alpha的缺省值为5%。 • 返回值h为一个布尔值，h=1表示可拒绝原假设， h=0表示不可拒绝原假设，sig为假设成立的概率，ci为均值的1- alpha置信区间。

  6. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 • B、单总体均值的t检验： • [h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail) • C、双总体均值的t检验： • [h,sig,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail)

  7. Matlab统计工具箱中常见的统计命令 • 5、非参数检验：总体分布的检验 • Matlab统计工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令： • A、 h=normplot(x) • 此命令显示数据矩阵x的正态概率图，如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。 • B、h=weibplot(x) • 此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图，如果数据来自于Weibull分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。

  8. 例1 在同一坐标轴上画box图，并对两个班的成绩进行初步的分析比较。两个教学班各30名同学，在数学课程上，A班用新教学方法组织教学，B班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下。A：82，92，77，62，70，36，80，100，74，64，63，56，72，78，68，65，72．70，58，92，79,92，65，56，85，73，61，71，42，89 B：57，67，64，54，77，65，71，58，59，69，67，84，63，95，81，46，49, 60, 64，66，74，55，58，63，65，68，76，72，48，72 2. 直方图和箱线图实验 解 >> clearx=[82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61,71,42,89;57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72]; boxplot(x')

  9. 从图中直观地看出，两个班成绩的分布是正态（对称）的，A班成绩较为分散(方差大)，B班成绩则较集中(方差小)。A班成绩明显高于B班(均值比较．并且A班25％低分段上限接近B班中值线，A班中值线接近B班25％高分段下限)。A班的平均成绩约为70分(中值)，B班约为65分(中值)。A班有一名同学的成绩过低(离群)，而B班成绩优秀的只有一人(离群)。从图中直观地看出，两个班成绩的分布是正态（对称）的，A班成绩较为分散(方差大)，B班成绩则较集中(方差小)。A班成绩明显高于B班(均值比较．并且A班25％低分段上限接近B班中值线，A班中值线接近B班25％高分段下限)。A班的平均成绩约为70分(中值)，B班约为65分(中值)。A班有一名同学的成绩过低(离群)，而B班成绩优秀的只有一人(离群)。 需要注意的是，从图中我们不能得出新教学方法一定优于传统教学方法的结论，因为我们并不知道两个班级原有的数学基础是怎样的。

  10. 例2 用模拟试验的方法直观地验证教材§6.3抽样分布定理一的结论。 假定变量 ，用随机数生成的方法模拟对 的500次简单随机抽样，每个样本的容量为16。利用这500×16个样本数据直观地验证样本均值 的抽样分布为均值等于60、方差等于25／16的正态分布，即

  11. 解 >> %1、用随机数生成的方法模拟简单随机抽样 • x=[];%生成一个存放样本数据的空表（维数可变的动态矩阵） • for byk=1:500 %循环控制，循环执行下面的指令500次，本例中相当于500次抽样 • xx=normrnd(60,5,16,1);%生成一个来自N(60,25)的容量为16 的样本（列向量） • x=[x,xx]; %将样本数据逐列存入数表x，可从matlab的变量浏览器（workspace）中观察这个数表 • end %2、计算每个样本的样本均值（1~500） • xmean=mean(x);%可从变量浏览器中观察这500个数据 %3、绘制500个样本均值数据的直方图k=ceil(1.87*(length(x)-1)^(2/5));%确定分组数 • h=histfit(xmean,k);%绘制附正态参考曲线的数据直方图 • set(h(1),'FaceColor','c','EdgeColor','w')%修饰，设置直方图线条颜色与填充色 %4、用这500个样本均值数据验证样本均值的均值和方差 • M=mean(xmean) %求（1~500）样本的样本均值的均值 • V=var(xmean)%求（1~500）样本的样本均值的方差

  12. M = 59.9879 • V = 1.4129 • M = 60.0117 • V = 1.3900 • M = 59.9749 • V = 1.5158 • M = 59.9929 • V = 1.5757 • M = 59.8809 • V = 1.6855 • …… ……

  13. 例3 观察：用binornd模拟5000次投球过程，观察小球堆积的情况。 • >> clear;clf, • n=5;p=0.5;m=5000;x=[0:1:n] • rand('seed',3) • R=binornd(n,p,1,m);%模拟服从二项分布的随机数，相当于模拟 投球m次 • for I=1:n+1 %开始计数 • k=[ ]; • k=find(R==(I-1));%find是一个有用的指令，本语句的作用是找出R中等于(I-1)元素下标，并赋予向量k中 • h(I)=length(k)/m;%计算落于编号(I-1)的格子中的小球频率 • end • bar(x,h),axis([-1 6 0 1])%画频率图 • title('\fontsize{18}\fontname{华文新魏}5000次投球小球堆积的频率图')

  14. >> f=binopdf(x,n,p), • bar(x,f), • axis([-1 6 0 1]) • title('\fontsize{18}\fontname{华文新魏}B(5,0.5)理论分布图')

  15. 三、MATLAB也为常用的三大统计分布提供了相应的pdf、cdf、inv、stat、rnd类函数，具体分布类型函数名称如下：分布类型 MATLAB名称 3. 抽样分布 2分布 chi2 t分布 t F分布 f 非中心2分布 ncx2 非中心t分布nct 非中心F分布 ncf

  16. 例4 2分布的密度函数曲线 解：>> %绘制不同自由度的卡方分布概率密度曲线 • clear,clf • X=linspace(0,20,100); • Y1=chi2pdf(X,1);%自由度等于1 • Y2=chi2pdf(X,3);%自由度等于3 • Y3=chi2pdf(X,6);%自由度等于6 • plot(X,Y1,'-g',X,Y2,'-b',X,Y3,'-k') • title('\fontsize{18}\fontname{华文新魏}不同自由度的{\chi}^2分布概率密度曲线的比较') • text(0.6,0.6,'\fontsize{12}df:n=1') • text(2.6,0.2,'\fontsize{12}df:n=3') • text(8.6,0.09,'\fontsize{12}df:n=6') • legend('df:n=1','df:n=3','df:n=6')

  17. 例5 t分布的密度函数曲线。 解：>> %绘制t分布概率密度曲线 • clear,clf • X=linspace(-4,4,100); • Y0=normpdf(X,0,1);%标准正态分布 • Y1=tpdf(X,45);%自由度为45 • Y2=tpdf(X,4);%自由度为4 • Y3=tpdf(X,2);%自由度为2 • YY0=normpdf(0,0,1); • plot(X,Y0,'.b',X,Y1,'-c',X,Y2,'-m',X,Y3,'-k',[0,0],[0,YY0],':r') • title('\fontsize{18}\fontname{华文新魏}不同自由度的t分布概率密度曲线') • legend('N(0,1)','df:n=45','df:n=4','df:n=2')

  18. 例6 F分布的密度函数曲线。 • 解：>> %绘制F分布概率密度曲线 • clear,clf • X=linspace(0,6,100); • Y=fpdf(X,10,5);%自由度为10,5 • plot(X,Y) • text(1.5,0.55,'\fontsize{14}df:n1=10,n2=5')

  19. 例7 自由度对F分布的密度函数曲线的影响。 • 解：>>clear,clf • X=linspace(0,6,100); • Y11=fpdf(X,100,10);%自由度为100,10 • Y12=fpdf(X,5,10);%自由度为5,10 • Y21=fpdf(X,10,100);%自由度为10,100 • Y22=fpdf(X,10,5);%自由度为10,5 • subplot(2,1,1) • plot(X,Y11,X,Y12) • legend('df:n1=100,n2=10','df:n1=5,n2=10') • title('\fontsize{18}\fontname{华文新魏}不同自由度的F分布概率密度曲线') • subplot(2,1,2) • plot(X,Y21,X,Y22) • legend('df:n1=10,n2=100','df:n1=10,n2=5')

  20. 例8 机械零件的可靠度计算问题。 设计一个拉杆，其所受外力均值为20000N，标准差为2000N，拉杆半径D均值为20mm，标准差为0.5mm，材料强度δ均值为412MPa，标准差为15.6MPa，计算其可靠度。

  21. 问题分析： • 拉杆应力表达式： ，其中拉力P和尺寸公差d是影响S的独立正态分布随机变量，其均值和标准差皆已知： 拉杆材料强度（许用应力）δ亦是服从正态分布的随机变量，均值和标准差皆已知： • 根据材料力学中的应力强度理论进行分析计算（过程略），得可靠度的结果为：0.9999999约等于1。

  22. 设定零件总数N=100000，可靠零件数St=0；令P_mean=20000;P_sigma=2000; D_mean=20;D_sigma=0.5; Q_mean=412*10^6;Q_sigma=15.6*10^6; i=1; 根据已知分布产生随机数p,d,q; 计算应力s=(4*p)/(pi*d^2); s<=q St=St+1,i=i+1; Y N i<=N 计算可靠度St/N • 通过多次蒙特卡洛试验，统计可靠零件个数，求出其占总零件数的比值，即为可靠度。

  23. >> N=100000;St=0; • P_mean=20000;P_sigma=2000; • D_mean=20;D_sigma=0.5; • Q_mean=412*10^6;Q_sigma=15.6*10^6; • for i=1:N • p=P_mean+P_sigma*randn(1); • d=D_mean+D_sigma*randn(1); • q=Q_mean+Q_sigma*randn(1); • s=(4*p)/(pi*d^2); • if s<=q • St=St+1; • end • end • St_p=St/N; • fprintf('可靠度为：%f\n',St_p) • 可靠度为：1.000000

  24. 3. 参数估计和假设检验 • 例9一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障。故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同，工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的。现积累有100次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下： • 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 • 试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布？

  25. >> %数据输入 • x1=[459 362 624 542 509 584 433 748 815 505]; • x2=[612 452 434 982 640 742 565 706 593 680]; • x3=[926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844]; • x4=[527 552 513 781 474 388 824 538 862 659]; • x5=[775 859 755 49 697 515 628 954 771 609]; • x6=[402 960 885 610 292 837 473 677 358 638]; • x7=[699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120]; • x8=[447 654 564 339 280 246 687 539 790 581]; • x9=[621 724 531 512 577 496 468 499 544 645]; • x10=[764 558 378 765 666 763 217 715 310 851]; • x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10]; • %作频数直方图 • hist(x,10) • [N,X]=hist(x,10) • %分布的正态性检验 • normplot(x)

  26. N = 3 3 7 14 24 22 14 8 3 2 X = 1.0e+003 * 0.1042 0.2146 0.3250 0.4354 0.5458 0.6562 0.7666 0.8770 0.9874 1.0978

  27. >> %参数估计 • [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x) • muhat = 594 • sigmahat = 204.1301 • muci = 553.4962 634.5038 • sigmaci = 179.2276 237.1329 • 刀具寿命服从正态分布，均值估计值为594，方差估计值为204.1301，均值的95%置信区间为[553.4962，634.5038]，方差的95%置信区间为[179.2276，237.1329]

  28. >> %假设检验 • [h,sig,ci]=ttest(x,594)%已知刀具寿命服从正态分布，方差未知的情况下，检验寿命均值是否等于594。 • h = 0 • sig = 1 • ci = 553.4962 634.5038 • 检验结果：布尔变量h=0，表示不可拒绝原假设，说明假设寿命均值等于594是合理的。 • 95%置信区间为[553.4962，634.5038]完全包括594，估计精度较高。 • sig = 1远超过0.05，不可拒绝原假设 • 所以可以认为刀具平均寿命为594（件）

  29. 作业 • 画出例4、例5和例6中2分布的图形 • 自由度为1,3,5,7,100

  30. 谢谢！

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