第一章直线和平面两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标 1 ．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；

第一章直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标 1．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法； 2．通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力．教学重点和难点异面直线上两点间距离的推导过程．教学用具两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点．教学设计过程师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并且留下了两个思考题．首先看第一题：（板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1．

求证：截面A1EC⊥侧面AC1． 师；这道题的结论是面面垂直．要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另一平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题．分析已知，由正三棱柱可知：△ABC，△A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥面ABC．由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面ABC垂直．于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线．可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面AC1呢？这一点是从已知到未知的关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁．哪位同学解决了这个问题呢？

生甲：取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE．生甲：取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE．因为 FG∥AA1，F是AC中点，又因为正三棱柱ABC-A1B1C1，所以 AA1 BB1 ，所以 FG BE，所以四边形FGEB是平行四边形．所以 BF∥GE．又因为正△ABC，所以 BF⊥AC，又因为 AA1⊥面ABC 所以 AA1⊥BF 因此 BF⊥面AC1 所以 GE⊥面AC1 所以面AEC⊥面AC1．

师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得以解决．师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得以解决．生乙：还可以延展平面A1EC．分别延长CE，C1B1交于点D，连结A1D．因为正三棱柱ABC-A1B1C1 所以 AA1⊥面A1B1C1，所以 A1A⊥A1D．所以在△DCC1中，有DB1=B1C1．又因为正△A1B1C1，所以 A1B1=B1C1=DB1，所以 ∠A1C1B1=∠B1A1C1， ∠B1DA1=∠B1A1D，因此 ∠C1A1D=90°，即A1C1⊥A1D．故 A1D⊥面A1C．又 A1D 面A1EC，所以面A1EC⊥面A1C．

师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用．师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用．师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？” 生：有三种因素： 1．异面直线的距离； 2．两点在直线上的位置； 3．两条异面直线所成的角．师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了．（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决）师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制．

下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式．下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式．（板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d．在直线a，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF．师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下．生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平面．师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面α．师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF．

师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中．师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中．生：过E作EG⊥a′于G，连结GF．因为 a∥a′，所以 a，a′确定平面β．因为 AA′⊥α，所以 β⊥α．又 EG⊥α′，因此 EG⊥α，所以 △EFG为直角三角形，且 EG∥AA′，所以四边形A′AGE是平行四边形，所以 AG=A′E=m，EG=AA′=d．又 AF=n，所以在△GAF中，所以在Rt△EFG中

师：分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆．要利用公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计算．所以这个公式应用起来并不方便．而图形构造好后，公式的推导过程倒是简单自然．因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最终求出这两点的距离．所以对这个公式，把握的重点是推导的方法．师：分析公式，与平面几何中的余弦定理相类似，可类比记忆．要利用公式计算距离，需提供4个数据m，n，d，θ，要一一指实后再代入计算．所以这个公式应用起来并不方便．而图形构造好后，公式的推导过程倒是简单自然．因此，遇到具体问题时常常按推导过程逐一进行计算，最终求出这两点的距离．所以对这个公式，把握的重点是推导的方法．师：通过公式的推导，我们还可以得到几点启示．看直角△EFG，EG＜EF，而EG=AA′，所以异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．我们知道，求异面直线的距离很困难，原因是公垂线段难找．看图形，对于异面直线a，b公垂线段AA′不易作出，而EG=AA′．要作出EG则非常方便，只需过E作EG⊥α即可．所以要求两条异面直线的距离，过其中一直线作一平面与另一直线平行，将线线距离转化为线面距离，可直接在线上取一点作这个平面的垂线，为控制垂足的位置，作出这个平面的垂面，就是β，找到交线，垂足一定落在交线上，也就是再将线面距离转化为两条平行线间的距离，这个问题在平面几何中已经解决．由此我们得到一种求两条异面直线距离的方法，即将异面直线距离转化为线面距离，再转化为两条平行线间的距离，最终使问题得到解决．同时，由于直线b必与平面β相交于点A，（否则b∥a′∥a）所以总可以过A作AA′⊥a于A′，则AA′就是a，b的公垂线，说明两条异面直线的公垂线确实存在．

师：下面我们来看一道练习题，请同学打开书，看p．43练习3．师：下面我们来看一道练习题，请同学打开书，看p．43练习3．（在60°二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm．利用异面直线上两点距离公式求CD）师：依题意作出图形．要利用公式需要找清4个数据．请一位同学说一下．生：两条异面直线是AC，BD．由于AB⊥AC，AB⊥BD，所以AB是AC，BD的公垂线段，这三个数据都有了，只差AC，BD所成的角．师：应该怎样去求两条异面直线所成的角呢？生：首先作出这个角．师：好，回忆作异面直线所成角的方法是：选定一点，作平行线．结合已知，将点选在哪儿最好？

生：已知二面角的平面角为60°，所以选点A，过A在β内作AE∥BD，则AE⊥AB，又据AC⊥AB，所以∠CAE为二面角的平面角，也是这两条异面直线所成的角．生：已知二面角的平面角为60°，所以选点A，过A在β内作AE∥BD，则AE⊥AB，又据AC⊥AB，所以∠CAE为二面角的平面角，也是这两条异面直线所成的角．师：很好，求出了这个角应该是60°，四个数据都已指实，可以代入公式计算了．师：通过这道练习题，我们应该可以体会到，这个公式确实用起来不太方便，如果这道题没有要求利用公式，你会求解吗？生：在β内分别过D作AB的平行线，过A作BD平行线，两线交于G，连结CG．

因为 BD∥AG，BD⊥AB， 所以 AG⊥AB．又因为 AC⊥AB，所以 ∠GAC为二面角α-AB-β的平面角，所以 ∠GAC=60°，且AB⊥面AGC．又因为 BDGA中，所以 DG=AB=4，AG=BD=8，且DG⊥面AGC，所以 DG⊥CG．在△AGC中，在Rt△CGD中，

师：思路清楚．通过构造二面角的平面角将已知条件相对集中，最终通过解三角形求得结果，这是解决这类问题常用的方法，请同学注意理解掌握．师：思路清楚．通过构造二面角的平面角将已知条件相对集中，最终通过解三角形求得结果，这是解决这类问题常用的方法，请同学注意理解掌握．师：这一节课我们重点解决了异面直线上两点间距离的问题，得到了距离公式．同时通过例题的解决及公式的推导，再一次将线面垂直关系转化的思路和方法展示出来，目的是使同学能够熟练的进行线面位置关系的转化，以解决立体几何中的有关问题．课堂教学设计说明本节课是面面垂直的判定和性质的最后一节课．将有关垂直问题的小结放在上一节课，目的是使学生对线面的垂直关系有一总体的把握．本节由一个例题开始，正是为了使学生能够更深入的体会定理，熟悉线面关系是如何转化的，掌握解决这类问题的基本思路．异面直线上两点的距离公式是定理，可以直接给出证明．本节课从分析影响两点间距离的因素入手，既可以调动学生的积极性，又可以教会学生，如何寻找变量，然后加以控制，最终得到结论．这种方法是定量研究某一问题时，经常采用的科学方法．

第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三） 教学目标 1 ．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法；