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第七章 圆

第七章 圆. 珠海市夏湾中学 林仕尧. 7.11 弦切角（一）. C. B. A. C. C. A. B. A. 弦切角 的定义：. 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角. BC 和圆相切于点 C. 对比圆周角和弦切角，弦切角可由圆周角得到吗？你能否从运动的观点描述它的形成过程？. B. 弦切角也可以看作圆周角的 一边绕顶点旋转到与圆相切 时所成的角. 【 小试牛刀 】. 1 、请判断下图中的各角是否弦切角？为什么？. 2 、如图，直线 AB 和⊙ O 相切于点 P ， PC 和 PD 为弦，指出图中 所有 的弦切角？.

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Presentation Transcript

  1. 第七章 圆 珠海市夏湾中学 林仕尧 7.11 弦切角（一）

  2. C B A C C A B A 弦切角的定义： 顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 BC和圆相切于点C 对比圆周角和弦切角，弦切角可由圆周角得到吗？你能否从运动的观点描述它的形成过程？ B 弦切角也可以看作圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角

  3. 【小试牛刀】 1、请判断下图中的各角是否弦切角？为什么？ 2、如图，直线AB和⊙O相切于点P，PC和PD为弦，指出图中所有的弦切角？ 利用定义直接可判定 ∠APC、∠APD、∠BPD、∠BPC 【注意】弦切角的三个条件要牢牢把握，角的顶点也是切点。

  4. 想一想？ 试一试 弦切角可以是直角、锐角、钝角吗？请分别画出图形并观察此时圆心和弦切角的位置关系。 m m m (1)圆心在角的边上 (2)圆心在角外 (3)圆心在角内 你能说出此时弦切角∠BAC所夹的弧吗？

  5. C P · m O B A 弦切角和圆周角间有何联系呢？让我们从最特殊的弦切角研究起 （1）当∠BAC为直角时：圆心O在∠BAC的边AC上 已知：如图，AC是⊙O的直径，AB切⊙O于点A，在半圆AC上任取一点P，连结AP、CP。 ①∠BAC、∠P与弧AmC有怎样的关系？为什么？ ②请说出弦切角与圆周角之间关系的一个数学命题？ ①显然有：∠BAC=∠P=90° ②弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 当∠BAC分别为锐角、钝角时，“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”这一结论还成立吗？

  6. C · P O B A C · O P B A （2）当∠BAC为锐角时：圆心O在∠BAC外部，此时∠BAC =∠P吗？ 分析：要证明∠BAC =∠P，关键在于找其它的角作为“桥梁”，如何去构造既与∠P有联系，也与∠BAC有联系的角呢？ Q （提示：从特殊的点去考虑） 2 作⊙O的直径AQ，连结PQ 则∠BAQ=∠APQ=90 °， ∠1= ∠2 1 （想一想为什么？） 故∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC （3）当∠BAC为钝角时：圆心O在∠BAC内部，此时∠BAC =∠P吗？ Q 你能按照上面的方法证明吗？ 作⊙O的直径AQ，连结PQ 则∠BAQ=∠APQ=90 °， ∠1= ∠2 2 1 故∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC 注意哦 故∠BAC=∠BAQ+∠1=∠APQ+∠2=∠APC 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

  7. Q Q C C C · · · 2 O O O 2 P P P 1 1 B A B A B A （1） （2） （3） 证明方法回顾：将情形（2）、（3）都归至情形（1），利用角的合成，对三种情形进行完全归纳，从而证明了上述的猜想。要注意这种从特殊情况入手，再把一般情况转化为特殊情况，即“特殊---- 一般---- 特殊”的思想方法。 课后比一比：书本上关于定理的证明与我们现在的证法有何异同？ 根据弦切角定理易得： 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 （对此推论的证明作为作业，请课后证明）

  8. 【例题分析】 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D。 求证：AC平分∠BAD B · O A E C D 分析： 欲证AC平分∠BAD，可证∠BAC= ∠DAC，即转化为证两角相等的问题， ∠BAC是一边为直径的圆周角，比较特殊， ∠DAC是Rt⊿ACD的一个锐角，另一锐角是弦切角∠ACD，而根据本节定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，可以此作为“突破口” 问：弦切角∠ACD所夹的弧是什么？这条弧所对的圆周角又是什么？下一步该如何做？ 证明过程如下：

  9. B B · · O O A A E E C C D D 证明：连结BC ∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B + ∠CAB=90 ° ∵AD⊥CE， ∴ ∠ADC + ∠DAC = 90° ∵AC是弦，且CE和⊙O切于点C， ∴ ∠ACD = ∠B（弦切角定理） ∴ ∠BAC= ∠DAC 即AC平分∠BAD 思考：如上图，连结BC后，还有什么方法证∠BAC= ∠DAC 不连结BC呢？有无更快的方法？

  10. 思考：如图，由例题我们已经证明： AC平分∠BAD，若作BF ⊥CE，垂足为F，还能得到什么结论？ B B O A A E E C C D D 试一试：如下图，如果我们把例题的条件和结论互换，即： · 如图，已知AB、AC、BC是弦，直线CE和圆切于点C，AD⊥CE， BF ⊥CE，垂足分别为D、F且 （可添加一个或两个条件）则： AB是圆的直径 F BC平分∠FBA F 注意：开放性的题型在中考中屡见不鲜，要留意！

  11. 【巩固练习】 1、PQ是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，则与∠C相等的角是（） A、∠P B、∠CAQ C、∠PAB D、以上都不对 2、DE切⊙O于点A ，AB、AC是⊙O的弦，若AB=AC，且∠DAB=45°，则∠BAC= （） A、45° B、50° C、60° D、90°

  12. 【课堂小结】 1、弦切角定义： 顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切 2、定理的发现 3、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 4、4、定理的证明（完全归纳法） 5、应用与推论 【作业】 1、证明弦切角定理的推论； 2、书本108页第2题；118页5、6

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