Frozen Development in Graph Coloring

1. Frozen Development in Graph Coloring Sarah Tauscher 16. Juni 2008

2. Gliederung • Motivation • Vorstellung des Verfahrens • Vergleich der Implementierungsvarianten • Ergebnisse • Weiterführende Untersuchungen • Einfluss freier Paare • Entwicklung der Äquivalenzklassen • Minimale Graphen • Konstruktion kritischer Graphen • Ausblick

3. Motivation • Average-Case-Analyse np-vollständiger Probleme • Ziel: Eigenschaften zu identifizieren die Einfluss auf die Schwierigkeiten der Lösung einzelner Instanzen haben • Untersuchung von Zufallsinstanzen mit Methoden aus der statistischen Mechanik • Phasenübergang von färbbaren zu unfärbaren Graphen in Zufallsgraphprozessen bei Erhöhung des Durchschnittsgrads • Schwellwert: Wert des Durchschnittsgrads zu dem der Phasenübergang erfolgt • Ordnungsparameter: Eigenschaften die Veränderung beim Phasenübergang charakterisieren

4. Full Frozen Development • Zufallsgraphprozess in dessen Verlauf nur Kanten hinzugefügt werden, falls der Graph färbbar bleibt • Bestimmung der Paartypen • fixierte Paare, sind diejenigen die in allen gültigen Färbungen gleich gefärbt sind • freie Paare sind in allen gültigen Färbungen unterschiedlich gefärbt, obwohl sie nicht verbunden sind • Paare die weder frei noch fixiert sind, sind effektiv • Die Bestimmung erfolgt durch Widerspruch • Bestimmung der Kristallisationsindices • Backbone wird als Approximation des Ordnungs-parameters verwendet

5. Vorwärtsscan (VS) bei jedem Index, werden alle Paare mit größeren Index kontrolliert, ob ihr Typ bestimmt ist Anzahl der Aufrufe des Graphfärbeprogramms O(n4) es werden hauptsächlich färbbare Graphen getestet Rückwärtsscan (RS) zu dem aktuellem Paar wird sein Typ und Kristallisations-index bestimmt O(n2log(n2)) Verhältnis von färbbaren zu unfärbbaren Graphen ist ungefähr gleich Implementierungsvarianten

6. Optimierungen • Wiederverwenden schon erstellter gültiger Färbungen • Reduzierung gültiger Aufrufe • Beim RS muss gespeichert werden bis zu welchem Index die Färbung gültig ist • Ausnutzen der Äquivalenzrelation • Reduzierung ungültiger Aufrufe bei beiden Varianten • Bei RS auch Einsparung gültiger Aufrufe bei der Bestimmung des Kristallisationsindex • Vorrausberechnung des Schwellwertes • Alle Paare mit kleinerem Index als der Schwellwert sind nicht fixiert

7. Experimente für den Vergleich der Varianten • je 30 Zufallsgraphprozesse der Ordnungen 50,75,..., 225 • VS, RS ohne und mit Ausnutzen der Äquivalenzfunktion und diese wiederum mit und ohne Schwellwertvorraus-berechnung • gesammelte Daten: • Anzahl der Aufrufe und Suchknoten, getrennt nach färbbar und unfärbbar • Anzahl der durch die Äquivalenzrelation bestimmbaren Paartypen • Aufrufe für die Schwellwertvorausberechnung • Für RS die Anzahl der Färbungen die durch Wiederverwenden von Färbungen eingespart werden • Laufzeit

8. Anzahl der Aufrufe

9. Eigenschaften der untersuchten Graphen • Anzahl der Knoten pro Farbe in vollständigen Graphen annähernd gleich • Verteilung der Typen abhängig vom Zufallsgraphprozess

10. Kantentypen • Kantenmaximaler Graph ist eindeutig färbbar, aber nicht minimal • Zwei Kantentypen: • effektive Kanten: Wird dies Kante entfernt können ihre Knoten gleich gefärbt werden • freie Kanten: Nach Entfernung der Kante bilden die Knoten ein freies Paar • Untere Schranke: 2* (n-3) + 3 • Bestimmung der Kantentypen nicht eindeutig • Anteil freier Kanten liegt bei ca17%

11. Ergebnisse • Anzahl fixierter Paare steigt beim Phasenübergang stark an • Anstieg wird für Graphprozesse höherer Ordnung steiler

12. Auftreten freier Paare • Auftreten analog zu dem fixierter Paare • Alle Nachbarn eines Knoten eines fixierten Paares bilden ein freies Paar mit dem anderen Knoten • Freie Paare treten auch ohne fixierte Paare auf

13. Einfluss freier Paare auf die Kosten der Färbungen • Werden beim VS alle bekannten freien Paare als Kante hinzugefügt, werden die Färbungen „einfacher“ • Es treten deutlich mehr 4-Cliquen auf • Erhöhung des Durchschnittsgrades • Struktur der Graphen nach Hinzufügen freier Paare • Vereinfachung der Färbungen ist auch bei 4-COL zu beobachten

14. Beweise • F+(K-COL) ist np-vollständig • Graphen sind entweder k-färbbar, oder besitzen eine N4C mit Sehne s und ohne s ist der Graph k-färbbar und besitzt keine freien Paare • Reduktion: • Die Bestimmung eines freien Paares ist np-vollständig • Die Bestimmung, ob ein Paar frei ist, ist np-vollständig

15. Kollabierter Graph • Äquivalenzklassen werden zu einem Knoten zusammengefasst • Größe des kollabierten Graphen reduziert sich bei einem Index um ca 28% (min. 10%) • Index der die größte Reduzierung verursacht wird als Max-Drop bezeichnet

16. Äquivalenzklassen • Mögliche Ursachen für Max-Drop • Entstehung neuer Äquivalenzklassen • Hinzufügen von Knoten zu vorhandenen Klassen • Zusammenfall von Äquivalenzklassen • Anstieg der Anzahl der Äquivalenzklassen • Typischerweise stärker in Schwellwertnähe • Wachstum der Äquivalenzklassen • Großteil der Klassen wächst nur um wenige Knoten • Maximale Werte werden für Graphprozesse höherer Ordnung größer, treten sehr selten auf

17. Minimale Graphen (1) • Graphen enthalten mindestens ein freies oder fixiertes Paar • Nach Entfernung einer beliebigen Kante, weist der Graph weder freie noch fixierte Paare auf • Zur Konstruktion minimaler Graphen ist es hilfreich die Bedingungen die von den Nachbarn freier und fixierter Paare erfüllt sein müssen zu betrachten

18. Minimale Graphen (2)

19. Konstruktion minimale Graphen mit mehreren freien und fixierten Paaren • Ein Dreieck und ein Kreis dessen Länge durch 3 teilbar ist

20. Minimale Graphen (3) • Ein Dreieck und ein Kreis dessen Länge durch 3 teilbar ist • Verbinde die Knoten des Kreises abwechselnd mit einem Knoten des Dreiecks

21. Minimale Graphen (3) • Ein Dreieck und ein Kreis dessen Länge durch 3 teilbar ist • Verbinde die Knoten des Kreises abwechselnd mit einem Knoten des Dreiecks • Alle Knoten die mit dem gleichen Dreiecksknoten verbunden sind gehören zu einer Äquivalenz-klasse

22. Konstruktion kritischer Graphen • Ausgangspunkt ein kritischer Graph

23. Konstruktion kritischer Graphen • Ausgangspunkt ein kritischer Graph • Ersetzen einer Kante durch ein freies Paar, eines minimalen Graphen

24. Konstruktion kritischer Graphen • Ausgangspunkt ein kritischer Graph • Ersetzen einer Kante durch ein freies Paar eines minimalen Graphen • Ersetzen eines Knotens durch ein fixiertes Paar eines minimalen Graphen

25. Ausblick • Optimierung der Laufzeit des Full Frozen Developments • Testen der konstruierten kritischen Graphen • Entwicklung von Algorithmen zur Konstruktion kritischer Graphen aus minimalen Graphen • Bestimmung minimaler Strukturen für k > 3 • Anwendung des Frozen Developments zur Bestimmung minimaler Graphen • Testen anderer Färbeprogramme • Durchführen des Full Frozen Developments für k > 3

26. Vielen Dank für die AufmerksamkeitFragen ?

27. Berechnung der Anzahl der Färbungen ohne Optimierungen

28. Kristalisationsindices

29. Variablen-Gadgets

30. Klausel-Gadgets

31. Laufzeit

32. Kritische Graphen

33. Formeln

34. Kollabierter Graph