Rekenregels voor wortels
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 29

Rekenregels voor wortels PowerPoint PPT Presentation


  • 174 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Rekenregels voor wortels. √ A · √ B = √ AB met A ≥ 0 en B ≥ 0 √ A 2 = |A| Je kunt een factor voor het wortelteken brengen als het getal onder het wortelteken het product is van een kwadraat en een geheel getal. √ AB = √ A · √ B √ 54 = √ 9 · √ 6 = 3 · √ 6 = 3 √ 6

Download Presentation

Rekenregels voor wortels

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Rekenregels voor wortels

Rekenregels voor wortels

√A · √B = √AB met A ≥ 0 en B ≥ 0

√A2 = |A|

Je kunt een factor voor het wortelteken brengen als het getal onder het wortelteken het product is van een kwadraat en een geheel getal.

√AB = √A · √B

√54 = √9 · √6 = 3 · √6 = 3 √6

Een vorm met een breuk onder het wortelteken en een vorm met een wortel in de noemer van een breuk moet je herleiden.

√A√B

AB

= met A ≥ 0 en B > 0

√A√B

AB

=

4.1


Wortels en merkwaardige producten

Wortels en merkwaardige producten

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)(a – b) = a2 – b2

opgave 9a

(2a √2 - a √3)2 =

(2a √2 - a √3)·(2a √2 - a √3) =

4a2 · 2 – 2a2 √6 – 2a2 √6 + a2· 3 =

8a2 + 3a2 – 4a2· 6 =

11a2 – 24a2 =

-13a2

4.1


Rekenregels voor wortels

opgave 9d

√72

3 - √3

√72

3 + √3

=

3 + √3

3 - √3

√72(3 + √3)

=

9 - 3

√36 · √2(3 + √3)

=

6

6 √2(3 + √3)

=

6

18 √2 + 6 √6)

=

6

3 √2 + √6

=


Breuken

Breuken

  • Gelijknamige breuken optellen :

  • tellers optellen

  • noemers veranderen niet

5a

2a

7 a

+

=

1

5 a - 2

2 a

5a a(a – 2)

2(a – 2) a(a – 2)

5a + 2(a – 2) a(a – 2)

+

=

+

=

=

2

5a + 2a – 4 a(a – 2)

7a – 4 a(a – 2)

Om niet-gelijknamige breuken op te tellen moet je ze eerst gelijknamig maken.

=

a2 – 4 a2 + 6a + 8

(a – 2)(a + 2) (a + 2)(a + 4)

(a – 2) (a + 4)

-2 4

-1 2

=

=

=

=

3

Breuk vereenvoudigen  teller en noemer door dezelfde factor delen.


Opgave 21a

opgave 21a

x2 + 4x + 4 x2 - 4

10 x - 2

=

(x + 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2)

10 x - 2

=

x + 2 x - 2

10 x - 2

=

x + 2 = 10

x = -2 + 10

x = 8

voldoet


Opgave 21b

opgave 21b

x2 - 9x + 14 x2 + x - 6

3 - x 2x - 6

=

(x - 2)(x - 7) (x - 2)(x + 3)

3 - x 2x - 6

=

x - 7 x + 3

3 - x 2x - 6

=

-1(-3 + x) 2(x – 3)

x - 7 x + 3

=

2(x – 7) = -1(x + 3)

2x – 14 = -x – 3

3x = 11

x = 3

voldoet


Rekenregels van machten

Rekenregels van machten

a4 = a · a · a · a

a2· a3 = a · a · a · a · a = a5

= = a2

(a2)3 = a2· a2· a2 = a6

(ab)3 = ab · ab · ab = a3b3

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

a5 a · a · a · a · a

a3 a · a · a

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

4.3


Rekenregels voor wortels

Algemeen

ap· aq = ap + q

= ap – q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

4.3


Rekenregels voor wortels

Negatieve exponenten

4° = 1

a° = 1 (a ≠ 0)

2-1 = ½

8-1 = ⅛

a-n =  (a ≠ 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken

4.3


Voorbeeld 1

voorbeeld 1

= a3 --2

= a5

a3

a-2


Voorbeeld 2

voorbeeld 2

(3a)-2 · 2b-1


Rekenregels voor wortels

Machten met gebroken exponenten

x½ = √ x

x = √ x

4½ = √ 4 = 2

64 = √ 64 = 4

algemeen : a = n √ a

ook geldt : a = √a (a > 0)

3

3

pq

q

p

4.3


Opgave 33

opgave 33

ax1,6 = 50

x = 50

x ≈ 11,531

bx-4,1 = 5

x = 5

x ≈ 0,675

1

1,6

1

-4,1


Opgave 34c

opgave 34c

4 · x-1,8 + 16 = 5000

4x-1,8 = 4984

x-1,8 = 1246

x = 1246

x ≈ 0,019

- 16

: 4

1

-1,8


Rekenregels voor wortels

Berekeningen met sinus, cosinus en tangens

sinA = overstaande rechthoekszijde : schuine zijde

cosA = aanliggende rechthoekszijde : schuine zijde

tanA = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde

SOS/CAS/TOA

4.4


Rekenregels voor wortels

voorbeeld

Bereken AB

vanuit hoek A kijken

tan A = BC : AB

tan 19° = 5 : AB

C

5

tan 19°

5

19°

A

?

B

1

AB

AB = 5 × 1 : tan 19°

AB = 14,5 cm

4.4


Voorbeeld 21

voorbeeld 2

Bereken C

vanuit hoek C kijken

sin C = AB : AC

sin C = 9 : 11

C = 55°

C

11

A

9

B


Voorbeeld 3

voorbeeld 3

Bereken BC

vanuit hoek C kijken

cos C = BC : AC

cos 56° = BC : 11

C

56°

11

?

cos 56°

BC

1

11

A

B

BC = cos 56°× 11 : 1

BC = 6,2 cm


Rekenregels voor wortels

LEREN

Exacte waarden van goniometrische verhoudingen

hoek

30°

45°

60°

½

½√2

½√3

sinus

cosinus

½√3

½√2

½

√3

tangens

1

√3

R

C

60°

2

√2

1

1

45°

30°

P

Q

A

B

√3

1

4.4


Opgave 47a

opgave 47a

D

30°

BE = a

AE = a

AB = a√2

BD = 2a

ED = a√3

in ∆ACD  1 – 1 - √2

AD = a + a√3

AC = ·

AC = = ½a√2 + ½a√6

CD = AC = ½a√2 + ½a√6

BC = AC – AB = ½a√2 + ½a√6 - a√2 = -½a√2 + ½a√6

½a√2 + ½a√6

a √ 3

15°

a+a√3

2a

E

a

a

a+a√3 √2

√2 √2

60°

45°

45°

75°

a√2+a√6 2

A

a √ 2

B

C

½a√2 + ½a√6


Opgave 47b

opgave 47b

D

-½a√2 + ½a√6 2a

sin 15° = = -¼√2 + ¼√6

30°

½a√2 + ½a√6 a√3

cos 15° = = ¼√2 + ¼√6

15°

½a√2 + ½a√6

2a

E

60°

45°

45°

75°

A

B

C

½a√2 + ½a√6


Rekenregels voor wortels

De sinusregel

Als de driehoek niet gelijkbenig of rechthoekig is gebruik je de sinusregel.

In elke driehoek ABC geldt de sinusregel :

C

γ

b sin β

c sin γ

a sin α

=

=

b

a

α

β

A

B

c

4.4


Rekenregels voor wortels

De cosinusregel

Als je de sinusregel niet kunt gebruiken heb je de cosinusregel.

In elke driehoek ABC geldt de cosinusregel :

C

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

γ

b

a

α

β

A

B

c

4.4


Opgave 65

opgave 65

H

G

  • aAF =

  • bAG =

zijde

kwadraat

E

F

AB = 2a

4a2

M

BF = a

a2+

a

AF = ?

5a2

D

C

AF = √5a2 = a√5

a

A

2a

B

cAM =

zijde

kwadraat

zijde

kwadraat

AC = a5

5a2

AC = a5

5a2

AF = AC

CG = a

a2+

CM = ½a

¼a2 +

AG = ?

6a2

AM = ?

5¼a2

21 4

AM = √5¼a2 = a√ = a√¼·21 = ½a√21

AG = 6a2 = a√6


Driehoek

Driehoek

C

voorbeeld 1

hoogte loodrecht op zijde

hoogte tekenen

oppervlakte driehoek =

zijde × hoogte : 2

of

½ × zijde × hoogte

5

O(∆ABC) = zijde x hoogte : 2

= 4 × 5 : 2

= 10 cm²

A

B

4


Cirkel

Cirkel

O(cirkel) = πr2

voorbeeld 2

Waar kan de geit niet komen ?

In het rode gebied

dus

O(rechth) – O(cirkel) = O(rood)

O(rechth) = 20×12 = 240 m²

O(cirkel) = π× 4²

= 50,27 m²

O(rood) = 240 – 50,27 =

= 189,73 m²

12


Rekenregels voor wortels

Een trapezium is een vierhoek waarvan 2 zijden evenwijdig lopen

Trapezium

b

D

C

O(trapezium) = ½( a + b )h

h

A

B

a

b

a + b

Van ieder trapezium kun je een parallellogram maken

4.5


Opgave 69

opgave 69

ah = 4

O = ½(a + b)h

eerst CD (= AE) berekenen

DE = 4

AE = = = 1√3

EF = 10 – 4 - 1√3

EF= 6 - 1√3

O = ½(10 + 6 - 13) · 4

O = 2(16 - 13)

O = 32 - 23

D

C

43 3

4 3

3 3

4

h

4

60°

45°

F

A

1√3

E

4

B

10


Rekenregels voor wortels

Herhaling gelijkvormigheid

snavelfiguur

zandloperfiguur

∆ABC ∽ ∆DBE

∆KLM ∽ ∆ONM

K = O

L = N

M = M

A = D

B = B

C = E

C

K

L

E

B

M

D

A

N

O

AB

BC

AC

KL

LM

KM

DB

BE

DE

ON

NM

OM

4.5


  • Login