Het erlangenprogramma van klein
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

Het Erlangenprogramma van Klein PowerPoint PPT Presentation


  • 100 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Het Erlangenprogramma van Klein. o f… wat is meetkunde ?. Gunther Cornelissen, Universiteit Utrecht. Plan. “Erlangen in de klas ” meer vragen dan antwoorden Statische of dynamische meetkunde ? de ezelsbrug in schoolboeken De meetkunde -crisis het ware gezicht van Bolyai

Download Presentation

Het Erlangenprogramma van Klein

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Het Erlangenprogramma van Klein

of… wat is meetkunde?

Gunther Cornelissen, Universiteit Utrecht


Plan

  • “Erlangen in de klas”

    meervragendanantwoorden

  • Statische of dynamischemeetkunde?

    de ezelsbrug in schoolboeken

  • De meetkunde-crisis

    het ware gezicht van Bolyai

  • Wat is het Erlangenprogramma?

    meetkunde en symmetrie

  • Conclusies


Het Erlangenprogramma is eenbreekpunt in de meetkunde

meetkunde op basis van beweging

unificatie van “meetkundes”


“Erlangen in de klas”Lessen voormeetkunde-onderwijs

  • Historisch of modern leren?

  • Dynamische of statischemeetkunde?

  • Visueleintuïtie of logischestructuur?

  • Synthetische of analytischemeetkunde?

    Is het antwoordmisschien: en/en i.p.v. of/of


Ingang 1:

Statische of dynamischemeetkunde?


Statisch of dynamisch?

  • Voorbeeld: Pons Asinorum (=Eucl. El. I.5)

Als in eendriehoek twee zijdengelijkzijn, danook de twee hoeken die ze met de derdezijdemaken.

Dynamisch

Dalle, De Waele, Vlakkemeetkunde, 20e druk, 1960


Wiskunde 2b,

Gevers, Leenders

et.al.

1970

Dynamisch


Euclideszelf (parafrase):

Op de verlenging van de gelijkezijden AB en AC kies je twee punten (F en G respectievelijk) op gelijkeafstand van de top. Dan zijn de hoeken ABG en ACF gelijk, en evenzo CBG en BCF. Voor de verschillen is dan ABC = ABG−CBG = ACF −BCF = ACB.

Statisch

Opm. OokbijGrieken al “dynamisch” bewijs


Statisch of dynamisch?

  • Poincaré: “groepentheorie is even oudals de helewiskunde, want Euclidesgebruikteze”.

  • Dus… Historischonderwijzen, ja of nee?

    • Effectiviteit van moderniteit/notatie (Manin)

    • “Oorsprong van de meetkunde” (sedementatietheorie van Husserl)

    • “Euclid and his modern rivals” (Charles Lutwidge Dodgson), 1879


Ingang 2:

De crisis in de meetkunde


Het parallellenpostulaat

  • Het vijfde “axioma” in de Elementen van Euclides

  • Equivalenteformulering:

  • Viereersteaxioma’s (Aιτηματα “voorstellen”) zijneensoortvoorschriften over het toelaten van constructies van meetkundigeobjecten, zoalscirkels en rechtelijnen.

Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt is ereenunieke parallel van de lijn door het punt


Volgtaxioma 5 uitaxioma’s 1-4?

Bolyai, Gauss, Lobachevsky: axioma 5 is onafhankelijk, erzijnmeetkundeswaarin 1-4 geldt en ook, bijv:…

1. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt is erprecieseenlijndoor dat punt die de gegevenlijnnietsnijdt.

2. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt zijnergeenlijnen door dat punt die de gegevenlijnnietsnijden.

3. Gegeveneenlijn en eenniet op de lijngelegen punt zijneroneindigveellijnen door dat punt die de gegevenlijnnietsnijden.


Situatierond 1850:

De meetkunde-dierentuin


Caveats (vanaf nu)

animatie

  • Vrijgebruik van vectorruimten en (matrix-)groepentheorie

  • Een (technische) verklaring hoe hyperbolischemeetkunde in projectievemeetkunde past.

Compensatie


De meetkunde-dierentuin

  • Synthetisch: euclidisch, sferisch, hyperbolisch

  • Wat is “ware meetkunde?” We leven op een “bol”… GR…

  • Afstandsbegrip

  • Analytisch:

    • Affienevlak: ±vectorruimteR2 van (a,b)

    • Projectievevlak: R3-{0}/≈ met (a,b,c)≈(λa,λb,λc)

Het projectievevlakbevat het affienevlak, bijv: (a,b,1) (a,b)


Affien

  • “Rechtelijn” is

    Ax+By+C=0

  • Sommigelijnensnijdenmekaar;

    y=x en y=x+1

    snijdenniet

  • Kegelsnede (cirkel, ellips, parabool, hyperbool), bijv.

    x2+y2=1

Projectief

  • “Rechtelijn” is

    Ax+By+Cz=0.

  • Allelijnensnijdenmekaar;

    y=x en y=x+z

    snijden in (1,1,0)

  • Kegelsnede, bijv.

    x2+y2=z2


Erlangenprogramma: voortekenen

  • Felix Klein’s (1849-1925) jeugdwerk

  • Cayley’sTheory of Quantics: euclidisch “inbedden” in projectief

  • Klein: ookhyperbolischkan “ingebed” in projectief:

  • Het inwendige van eenkegelsnede in het projectievevlak.

  • Afstandtussen P en Q= logaritme van de dubbelverhouding van P en Q met de twee snijpunten van de rechte door P en Q met de kegelsnede.

  • = “meetkunde met afstand” isomorf met hyperbolischemeetkunde.


Het Erlangenprogramma


Erlangenprogramma

  • In het Erlangenprogrammawil Felix Klein nu allemeetkundesordenen door groepentheorie.

  • Groepentheoriewaspermutatiegroepen (Galois, Jordan).

  • Klein (en Lie) makentransformatiegroepen.

  • Noggeenabstractegroepen (Cayley, Burnside, von Dyck, Emmy Noether, van derWaerden)


Erlangenprogramma

  • Bijiederemeetkundehoorteentransformatiegroep.

  • De meetkunde is de studie van de invarianten van zijntransformatiegroep.


Voorbeelden: euclidische vlak

  • Linearetransformaties van de vectorruimteR2 die afstandbewaren= orthogonale 2x2 matrices O(2,R) (rotaties+spiegelingen)

  • Translaties over vectoren in R2

    Transformatiegroep

  • “afstand” zinvol: invariant

  • “cirkel” zinvol


Voorbeelden: affienevlak

  • Linearetransformaties van de vectorruimteR2 = inverteerbare 2x2 matrices GL(2,R), bijv. schalen, roteren, spiegelen

  • entranslatiesover vectoren in R2

    Transformatiegroep“Change the Dog”

  • “afstand” nietzinvol; niet invariant onderschalen

  • “rechtelijn” welzinvol; “evenwijdig” zinvol

  • “ellips”, “parabool”, “hyperbool” zinvol


Voorbeelden: projectieve vlak

  • Lineairetransformaties van R3, op schalenna.

  • Transformatiegroep PGL(3,R)=GL(2,R)/R*

  • Zinvol?

  • “afstand” niet

  • “rechtelijn” wel

  • “kegelsnede” wel

  • “cirkel” “ellips” niet

  • “dubbelverhoudingwel


Erlangenprogramma:

met vast punt

Lorentzgroep


Principe

  • Hoe kleiner de groep, hoe meerinvarianten, hoe minder algemeen de stellingen.

  • Hoe groter de groep, hoe minder invarianten, hoe algemener de stellingen.


Kleinsemeetkunde = homogeneruimtevooreenLiegroep

nu: bijzondergeval van pseudo-Riemannsemeetkunde


Conclusies

Lessen voor het onderwijs?


Het Erlangenprogrammakanongeveer in 2e bachelor wiskundewordenonderwezen, dusniet op school, maartochleren we…

  • Dezelfdestellingkansomsdynamisch of statischwordenbewezen.

  • “historische” bewijzenzijnsomsmeergecompliceerd; “moderne” bewijzenzijnsomsteingewikkeld.

  • visueleintuïtiegebruikenkansomsfoutzijn; formeelbewijzenonbegrijpelijk.


  • Login