情報生命科学特別講義 III （ 12 ）タンパク質立体構造の比較と予測

情報生命科学特別講義III（12） タンパク質立体構造の比較と予測阿久津　達也京都大学　化学研究所バイオインフォマティクスセンター

講義予定 • 第１回:文字列マッチング • 第２回：　文字列データ構造 • 第３回：　たたみ込みとハッシュに基づくマッチング • 第４回：　近似文字列マッチング • 第５回：　配列アラインメント • 第６回：　配列解析 • 第７回：　進化系統樹推定 • 第８回：　木構造の比較：順序木 • 第９回：　木構造の比較：無順序木 • 第１０回：　文法圧縮 • 第１１回：RNA二次構造予測 • 第１２回：タンパク質立体構造の予測と比較 • 第１３回：　固定パラメータアルゴリズムと部分k木 • 第１４回：　グラフの比較と列挙 • 第１５回：　まとめ

立体構造アラインメント

タンパク質立体構造比較の必要性 • 立体構造と機能の間には密接な関係 • 配列が似ていなくても構造類似の蛋白質が多数存在 • 構造分類データベース • SCOP（人間が分類） • FSSP（DALIプログラムにより分類） • CATH（SSAPプログラムなどにより分類）

立体構造アラインメント • 立体構造の類似性判定のために有用 • どのように回転、平行移動すれば、最適な残基間の対応づけ（アラインメント）が得られるかを計算 • 配列アラインメントの場合と異なり、決定版というようなアルゴリズムが無い

構造アライメント例 ヘモグロビンミオグロビン

RMSD(Root Mean Square Deviation) p1 • 点（e.g., Cα原子）の対応関係がわかっている場合に最適な重ね合わせとなる回転・平行移動を計算 • 行列計算により O(n) 時間で計算可能 p2 q1 p3 q4 q3 q2 p4 T

構造アラインメントプログラム: stralign • 広くは利用されていないが、理論（計算幾何学）的考察に基づいてアルゴリズムが設計されている • 東大HGCよりダウンロード可能 [Akutsu 1996] • 問題の定義 • 入力：３次元点列: P=(p1,…,pm),Q=(q1,…,qn),および、実数δ　　　（m ≦ nとする） • 出力：以下を満たし、かつ、長さ（アラインされる点のペアの個数）が最大となる P,Q間のアライメント M （および、付随する平行・回転移動 T）

stralignの基本アルゴリズム • M0← {} • forall triplets PP=(pi1,pi2,pi3) from Pdo • for all triplets QQ=(qj1,qj2,qj3) from Qdo • Compute rigid motion TPP,QQ from PP to QQ • Compute alignment Mbetween TPP,QQ(P) and Q • if |M| > |M0| thenM0 ← M • Output M0

回転・平行移動 TPP,QQの計算法 q3 p1 • PP=(p1,p2,p3)、QQ=(q1,q2,q3) に対するTPP,QQの計算法 • p1 が q1に重なるように PPを並行移動 • p1p2と q1q2が同一直線上にあるように、 PPを回転移動 • PPと QQが同一平面上にあるように、PP を p1p2を軸として回転移動 q1 q2 p3 p2 TPP,QQ

T(P) と Q に対するアライメント Mの計算 q1 p1 q2 p2 q3 q1 p1 q4 q2 p3 p2 q3 cδ p3 q4

基本アルゴリズムの性能解析(2) • 定理：δに対する最適アラインメントを MOPTとすると、基本アルゴリズムは O(n8)時間で、以下を満たすアラインメント M （と変換 T）を出力する • 証明概略 • MOPTに現れる P,Qの部分集合を、それぞれ、P’,Q’とする。すると、P’ がregの中に全部含まれるような PPP’が存在。 • MOPTにおいて、PP に対応する QQも存在し、補題の仮定を満たす。よって、T(P’)は Q’と 8δ 以内でマッチするため、アルゴリズムは |M|≧|MOPT|を満たすアライメントを出力。注：（かなり大きくなるが）定数倍の時間をかければ、8δ は δ に近づけることが可能

実用版 stralign • 基本アルゴリズムは O(n8)時間かかるので非実用的 • ランダムサンプリングや sparse DP などを用いると O(n5) 時間くらいに近づけることができるが、それでも非実用的 • そこで、理論的な性能保証はあきらめ、実用的なアルゴリズムを開発 • PP,QQとして長さ 10～20残基程度の連続した fragment を利用し、TPP,QQは rmsd の計算法により求める • 全部で O(n2)ペアしか調べないので、 O(n2)×DPの計算量= O(n4)時間。実際には rmsd が大きいペアには DP を行わないため、より高速。 • 解の精度を高めるため、「アライメント ⇒ rmsd fitting」を数回繰り返す • 多くの場合、数秒程度でアライメント可能

他の構造アラインメント・アルゴリズム • 数多くの構造アライメント手法が提案 • 例 • DALI（距離行列のアラインメント） • SSAP(二重DP) [Taylor & Orengo 1989] • CE (Combinatorial Expansion) [Shindyalov & Bourne 1998] • VAST (Vector Alignment Search Tool) [Gibrat et al. 1998] • DP+Iterative Improvement [Gernstein & Levitt 1998] • StrMul (二重ＤＰを基にした多重構造アラインメント） [Daiyasu & Toh 2000]

G A D V G G L A A 0 5 8 6 0 3 5 8 6 0 5 8 1 6 D D 5 0 2 7 3 0 1 5 4 5 0 2 5 7 V V 8 2 0 3 5 1 0 2 7 8 2 G 0 2 L A 2 D - V 6 7 3 G 0 A E V 8 5 2 0 3 1 5 2 0 3 G - G A E R V G 6 4 7 3 0 6 7 2 3 0 A 0 5 8 6 A E 5 0 2 7 E R 8 2 0 2 V V 6 7 2 0 DALI (Alignment of Distance Matrices) • Distance Matrix のアラインメント [Holm & Sander 1993] • Distance Matrix • （同一タンパク P内の）残基間の距離を行列形式で表現したもの • Pと Qの distance matrix （ただし、アラインメントされる残基のみから構成される行列）ができるだけ類似するようなアラインメントを計算 • Simulated Annealing に類似した方法を用いて、アラインメントを計算アラインメント

Contact Map Overlap (CMO) 問題（１） • 立体構造をグラフで表現 • {vi,vj}E ⇔ 残基 viと vj間の距離がθ以内 • 以下の制約のもとでアラインされる残基ペアを最大化 • アライメントにおいて (vi,uk) と (vj,ul) が対応するなら、{vi,vj}E　⇔{uk,ul}E’ V K L V A L P G U A V L A C I K H G

vi vj vi vi uk uk vj vj ul ul uk ul Contact Map Overlap (CMO) 問題（２） • CMO問題に関する結果 • NP困難 [Goldman et al. 1999] • しかし、実際多くのタンパク質立体構造について最適解が計算可能 [Caprara et al. 2004] • 整数計画法の利用 • 分枝限定法の利用 • グラフの最大クリーク問題に還元可能（下図参照） • 深く関連する問題 • RNA二次構造比較 [G-H. Lin et al. 2002] • ペアエネルギー関数のもとでのスレッディング [Akutsu & Miyano 1999] vi vj uk ul

構造のマルチプルアライメントの困難性 • いくつかのアルゴリズム( CE-MC, StrMul, … ) が提案されているが、ヒューリスティクスに基づいており、解の性能保証は無い • 配列のマルチプルアラインメントと同様に本質的な困難さ(NP困難)があると予想される • 実際、以下の問題として解釈すると、NP困難 • 最大共通部分点集合問題(LCP) [Akutsu & Halldorson 2000] • 入力：d 次元空間上の点集合 S1, S2, …, SN • 出力：以下を満たし、最大の要素数を持つ d次元空間上の点集合 C • 各集合 Siに対し、等長変換 Tiが存在し、 T1(S1)  T2(S2) …TN(SN) = C

タンパク質立体構造予測

タンパク質立体構造予測 • アミノ酸配列から、タンパク質の立体構造（３次元構造）をコンピュータにより推定 • 実験よりは、はるかに精度が悪い • だいたいの形がわかれば良いのであれば、４～５割近くの予測率

　立体構造予測法の分類 • 物理的原理に基づく方法 (ab initio法) • エネルギー最小化、分子動力学法 • ホモロジーモデリング • 配列アラインメントにより主鎖のだいたいの配置を決定した後、主鎖や側鎖の配置の最適化を分子動力学法などで実行 • ２次構造予測 • 各アミノ酸がα、β、それ以外のいずれかにあるかを予測 • ランダムに予測すれば33.3…%の予測率であるが、高性能の手法を用いれば80%近い予測率 • 格子モデル • スレッディング • 予測したい配列と既知構造の間のアラインメントを計算 • フラグメント・アセンブリー法 • 数残基から十数残基からなる複数のフラグメント候補をデータベース検索により選択した後、分子動力学法などを用いてそれらをつなげ合わせる

親水性アミノ酸 疎水性アミノ酸配列格子モデルスコア＝－９ • 折れ畳み経路のシミュレーションによる定性的理解　→フォールディングファンネル • エネルギー最小の構造の計算法→NP困難スコア＝－５

親水性アミノ酸 疎水性アミノ酸配列格子モデルスコア＝９スコア＝５ • タンパク質構造予測のための、最も単純な数理モデル • 平面、もしくは、空間の格子点の中で折り曲げる • 隣にくる赤点（疎水性アミノ酸）の個数を最大にする　　　　　　　　　　　　（ただし、もともと隣にある点は対象外）スコア最大＝最適解

格子モデルの最適解の計算 • 最適解（最大値を持つ答）の計算はとても難しい • スーパーコンピュータを使っても1000アミノ酸の問題は（たぶん）解けない • 最大値が計算できないなら、近似解（最適解に近い値を持つ答）は計算できないだろうか？ ⇒最適解はわからなくても、最適解の4分の1程度　　以上の値の答なら、いつでも速く計算可最適解がわからないのに、何でそんなことができるのだろうか？

格子モデル（HPモデル）の近似に関する理論的結果格子モデル（HPモデル）の近似に関する理論的結果 • ２次元で1/4近似、３次元で3/8近似 (Hart & Istrail, 1995) • ３次元でNP-Hard (Berger,Leighton,1998) • ２次元でNP-Hard (Crescenzi et al.,1998) • ２次元で1/3近似 (Newman, 2002)

最大値の見積もり • 性質（１） • 奇数番目の点は、偶数番目の点としか隣り合わない • 偶数番目の点は、奇数番目の点としか隣り合わない以降ではわかりやすくするため、偶数番目の赤点は青点に書き換える • 性質（２） • （はしの２点以外は）１個の点は２個の点としか隣り合わない X : 赤点の個数 Y : 青点の個数 X≦Yとする (逆の時も同様）最大値 ≦2X+2

近似解の計算（１） • もとの配列を中間くらいで切る • 前半に青点の半分以上、後半に赤点の半分以上が来るように切る　　（そうできない場合には、赤と青を入れ替えれば大丈夫） • 前半分を青点が1個おきに並ぶように折り曲げる • 後半分を赤点が1個おきに並ぶように折り曲げる

近似解の計算（２） • もとの配列を中間くらいで切る • 前半分を青点が1個おきに並ぶように折り曲げる • 後半分を赤点が1個おきに並ぶように折り曲げる • 折り曲げたものを向かい合わせにする

近似解の解析 • もとの配列を中間くらいで切る • 前半に青い点の半分以上、後半に赤い点の半分以上が来るように切る • 前半分を青点が1個おきに並ぶように折り曲げる • 後半分を赤点が1個おきに並ぶように折り曲げる • 折り曲げたものを向かい合わせにする • 下側の赤点には、必ず青点が結合 • 最適解（の値）は 2X+2以下だった • 近似解は赤点の半分以上　⇒　X/2　以上 • よって、

まとめ • タンパク質立体構造アラインメント • タンパク質構造比較に利用、決定版（定式化）は無い • 比較的単純なアルゴリズムにより定数近似が可能 • タンパク質立体構造予測 • 様々な定式化、方法が存在 • HPモデルはNP困難であるが、定数近似が可能補足 • 構造アラインメントに関して、今回と似た定式化のもとで O(n32)時間で厳密解が計算可能[Ambuhl et al.: Proc. ESA 2000] • RMSDを用いた部分構造検索は平均的に高速に実行可能 [Shibuya: J. Comp. Biol. 2007] • HPモデルの2次元の場合の近似は1/3まで改善 [Newman: Proc. SODA 2002]

情報生命科学特別講義 III （ 12 ） タンパク質立体構造の比較と予測