1 / 100

第一章

第一章. 集合 (Set Theory). 1-0 簡介 由於數位觀念的開展，在數學與電腦應用上、集合 (Set) 儼然已成為其中重要的一環。讀者了解集合之含義後，就如同有了一把利刃，可將電腦觀念的外殼撕開，窺得學習的切入點。 本章將集合的觀念、定理、運算、與圖示、依序清晰敘述，搭配精緻習題，讀者可徹底剖析了解何謂 “集合 (Sets)” 。. 1-1 集合與元素 (Sets and Elements) 1-2 宇集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set) 1-3 子集合 (Subsets)

lyre
Download Presentation

第一章

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第一章 集合 (Set Theory)

  2. 1-0 簡介 • 由於數位觀念的開展，在數學與電腦應用上、集合(Set)儼然已成為其中重要的一環。讀者了解集合之含義後，就如同有了一把利刃，可將電腦觀念的外殼撕開，窺得學習的切入點。 • 本章將集合的觀念、定理、運算、與圖示、依序清晰敘述，搭配精緻習題，讀者可徹底剖析了解何謂 “集合(Sets)”。

  3. 1-1 集合與元素 (Sets and Elements) • 1-2 宇集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set) • 1-3 子集合 (Subsets) • 1-4 范氐圖 (Venn Diagrams) • 1-5 集合運算 (Set Operations) • 1-6 集合代數定律 (Laws of the Algebra of Sets) • 1-7 有限集合 (Finite Sets) • 1-8 群集合(Classes of Sets) 與 冪次集合 (Power Sets) • 1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖 (Venn Digrams) • 1-10 數學歸納推演 (Mathematical Induction) • 1-11 習題

  4. 1-1 集合與元素 (Sets and Elements) • 所謂集合(Set)是謂 “有一定義完善的範圍(well-defined List/Collection)，在範圍內包涵適當數量之元素(Elements)”。 習慣上、集合(Set) 以大寫字母表示(如A、B、C、…)；元素(Elements) 以小寫字母表示(如a、b、c、…) 。

  5. 1-2 宇集 (Universal Set) 與 空集合 (Empty Set) • 在合乎集合(Sets)之定義下，若所有的集合元素、均是某一大集合的元素，則該某大集合是謂 宇集(Universal Set)。如People可稱為全世界人類的宇集。通常習慣以U為宇集之代表名稱。 • 如果有一集合，其中無任何元素，則該集合是謂 空集合(Empty Set / Null Set)。通常習慣以Ø為 空集合之代表名稱。

  6. 1-3 子集合 (Subsets) • 設有集合A、與集合B，如果集合A的所有元素、亦是集合B的元素，則集合A是集合B之子集合。其關係式 (Relationship) 為： A B。 • 如果集合A的元素中、有任何一個不是集合B的元素，則集合A將不是集合B之子集合。其關係式 (Relationship) 為： A B。

  7. 1-4 范氐圖 (Venn Diagrams) • 范氐圖的功能、是將集合(Sets) 的意義借由圖案(Pictorial Representation) 來表示。圖案以矩形為邊緣範圍，矩形內所有之各點均是宇集U的元素，在其範圍內的集合以圓形(Disks)表示。

  8. 1-5 集合運算 (Set Operations) • 集合運算可概分四類運算方法：聯集運算(Union)、交集運算(Intersection)、相對餘補集運算(Relative Complement)、與絕對餘補集運算(Absolute Complement)。

  9. 1-6 集合代數定律(Laws of the Algebra of Sets) • 1、等冪律(Idempotent Laws) • (a) A∪A = A (b) A∩A = A • 2、結合律(Associative Laws) • (a) (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (b) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) • 3、交換律(Commutative Laws) • (a) A∪B = B∪A (b) A∩B = B∩A • 4、分配律(Distributive Laws) • (a) A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C) • 5、統一律(Identity Laws) • (a) A∪Ø = A (b) A∩U = A • (c) A∪U = U (d) A∩Ø = Ø • 6、對合律(Involution Law) • (a) (Ac )c = A • 7、餘補律(Complement Laws) • (a) A∪Ac = U (b) A∩Ac = Ø • (c) Uc = Ø (d) Øc = U • 8、迪摩根律(DeMorgan’s Laws) • (a) (A∪B)c = Ac∩Bc (b) (A∩B)c = Ac∪Bc

  10. 1-7 有限集合 (Finite Sets) • 如果集合A有m個元素，其中m為正整數，則集合A謂 “有限集合(Finite Set)”。例如A = {x: x is a letter of English alphabet}、或空集合Ø = { } 均是有限集合(Finite Sets)。

  11. 1-8 群集合(Classes of Sets) • 設有一集合A = {O, P, Q, R}，其元素是由集合O, P, Q, R組成。此時A是謂 “群集合(Class of Sets)”；B = {O, P}是謂 “子群集合 (SubClass或Subcollection)”。

  12. 1-9 含意 (Arguments) 與 范氐圖 (Venn Digrams) • 有些語言詞藻複雜，往往無法清晰地陳述含意，本節介紹如何將一串複雜難懂的陳述，以集合架構的范氐圖清礎點出要點含意。

  13. 1-10 數學歸納推演(Mathematical Induction) • 無論是在邏輯問題上、或是在數學驗證上，我們常遭逢一些繁雜的陳述及數據，讀者都有經驗，當碰到這些問題時，直感頭痛又不知如何是好。本節介紹歸納推演法(Induction)，可協助解決部份問題。

  14. 第二章 關係式 (Relations)

  15. 2-0 簡介 • 若有元素a與b，兩者間存在某種關係R，即可以式 “aRb” 表示之，此為關係式(Relations)。我們曾熟悉的如 “等於(=)”、“大於(>)”、“因此(→)” 等均屬之。 • 關係式中也談集合(Sets)，於第一章 {a, b} = {b, a}，元素的先後次序並不影響集合的含義；但於關係式中的集合 {a, b}≠{b, a}，除非 a = b，因其先後次序代表著不同的含義。

  16. 2-1 積集合 (Product Sets) • 2-2 關係式 (Relations) • 2-3 關係式圖示 (Pictorial Representations of Relations) • 2-4 反逆關係式 (Inverse Relations) • 2-5 合成關係式 (Composition of Relations) • 2-6 關係式特性 (Properties of Relations) • 2-7 分割關係 (Partitions) • 2-8 等價關係 (Equivalence Relations) • 2-9 分割與等價關係 (Equivalence Relations and Partitions) • 2-10 n元關係元 (n-Ary Relations) • 2-11 習題

  17. 2-1 積集合 (Product Sets) • 於關係式、我們定義 “序對(Ordered Pairs)”，如 (a, b)，因內容之先後次序代表著不同的含義。(a, b)≠(b, a)，除非 a = b。 • 積集合(Porduct Sets) 是定義兩組集合的關係。

  18. 2-2 關係式 (Relations) • 設有集合A與B，另有 二元關係(Binary Relation) R，R之元素均是A × B 的子集合(Subset)，如果 (x, y) R，則謂 “x以R關係於y”，即 xRy。

  19. 2-3關係式圖示(Pictorial Representations of Relations) • 一般來言，我們可以4種圖示方式來表達關係式：(1) 關係式座標圖示(Coordinate Diagram of Relation)、(2) 關係式矩陣圖示(Matrix of Relation)、(3) 關係式配對圖示(Arrow Diagram of Relation)、(4) 關係式有向圖示(Direct Graph of Relation)。

  20. 2-5合成關係式 (Composition of Relations) • 合成關係式(Composition of Relations) 是由數個關係元R、S、T 連串組合而成者，以 “R。S。T” 表示之。

  21. 2-6關係式特性 (Properties of Relations) • 本節介紹關係元(Relation) 常有的4種特性：(1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性(Symmetric)、(3) 反對稱性(Anti-Symmetric)、(4) 遞移性(Transitive)。

  22. 2-7 分割關係 (Partitions) • 設有集合A，其子集合為 {Si}、且不得有重覆元素或空元素，則A為分割集合(Partition)。其條件如下： • (Ⅰ) A的每一元素a，必須且僅出現於其中一個子集合內； • (Ⅱ) Si ≠ Sj 且 Si ∩ Sj = Ø

  23. 2-8 等價關係(Equivalence Relations) • 設有集合A，如果其關係元R可同時滿足 (1) 反身性(Reflexive)、(2) 對稱性(Symmetric)、(3) 遞移性(Transitive)，則R為等價關係元(Equivalence Relation)。

  24. 2-9 分割與等價關係(Equivalence Relations and Partitions) • 定理(Theorem) 2-9： 設有集合A，令R為其等價關係元(Equivalence Relation)，則 “等價關係族(Equivalence Classes)” 有下列特性： • (Ⅰ) a [a]、其中a為A的元素，即 a A。 • (Ⅱ) [a] = [b]、若且唯若(if and only if) (a, b) R。 • Ⅲ) 如果 [a]≠[b]、則 [a] 與 [b] 無交集。

  25. 2-10 n元關係元 (n-Ary Relations) • 到目前為止，我們談到的均是二元關係(Binary Relation)，即有二元關係、當然也有多元關係(n-Ary Relations)，可以 An 表示之。如以座標圖案表示，A2是2D平面圖形之關係；A3是3D立體圖形之關係。

  26. 第三章 函數 (Function)

  27. 3-0 簡介 • 在數學應用上、函數(Function) 扮演了很重要的觀念，猶如是一個工作機制(Assingnment)，輸入不同的參數，產生並輸出對應的結果。因而、輸入的參數與輸出的結果就圍繞著函數(Fuction) 產生了許多有用的數學觀念與應用方法。於本章、我們將研討函數的基本特性。

  28. 3-1 函數定義 (Functions) • 3-2 函數圖形(Graph of Function) • 3-3 函數圖形特性(Properties of Functions) • 3-4 習題

  29. 3-1 函數定義 (Functions) • 設有集合A、與B、及工作機制(Work Assignment) W。將A的某一元素a輸入W，若W因此而產生一個對應結果b、其中b B，如此過程是謂 “A映至B之函數(Function from A into B)”，可表示如： • f： A → B

  30. 3-2函數圖形(Graph of Function) • 函數(Function) “f：A → B” 在函數圖形 (Graph of Function) 定義為：每一A的元素a A、必配屬一組 序對(Ordered Pair) 關係元(Relation) 如 (a, b)，且該關係元是唯一的(Unique)。

  31. 3-3 函數圖形特性(Properties of Functions) • (1) 一對一配對(One to One)：於函數 f：A→B、如果A的每一元素均映出不同的函數像(Image)；或於函數圖形、每一A的元素均有配對、且每一B的元素僅與一個A的元素作配對。如此函數是謂 “一對一配對(One to One)函數”。 • (2) 映成配對(Onto)：於函數 f：A→B、如果B的每一元素均出現於函數像(Image)，即 f(A) = B，則函數f謂 “映成配對(Onto)函數”。 • (3) 可反逆配對(Invertible)：於函數 f：A→B、如果其反逆函數 f -1：B→A 亦為真；或者、f 既是一對一配對(One to One) 函數、亦是 映成配對(Onto)函數，此時f 謂 “可反逆配對(Invertible) 函數”。

  32. 第四章 向量 與 行列矩陣 (Vectors and Matrices)

  33. 4-0 簡介 • 我們常將資料(Data) 以矩陣(Arrays) 方式排列或儲存，亦即、將資料(Data) 以索引(Index) 編序其位置。於電腦程式、我們以參數表示 (如 “ A(15) ”)；於數學式、我們以下標註(Subscripts) 表示 (如 “ A15 ”)。 • 一般來言，一維矩陣(one-Demensional Array) 是謂 “向量(Vector)”；二維矩陣(two-Demensional Array) 是謂 “行列矩陣(Matix)”，一維矩陣(one-Demensional Array)亦可謂 “特殊型行列矩陣(Special Type of Matrix)”。

  34. 4-1 向量 (Vectors) • 4-2 行列矩陣 (Matrices) • 4-3 行列矩陣相加 (Matrices Addition) • 4-4 行列矩陣系數 (Scalar Multiplication) • 4-5 行列矩陣相乘 (Matrix Multiplication) • 4-6 行列置換 (Transpose) • 4-7 平方行列矩陣 (Square Matrices) • 4-8 反逆行列矩陣 (Invertible Matrices) • 4-9 決值區 (Determinants) • 4-10 習題

  35. 4-1 向量 (Vectors) • 設有向量u，我們通常是以一序列數字表示之，例如u有n個元件(n-Tuple)、則可表示為： • u = (u1, u2,…, un) • 其中、ui 是向量u之元件(Components)，如果所有的 ui 均為0、則u為零向量(zero Vector)。

  36. 4-2 行列矩陣(Matrices) • 前節所述向量(Vector) 是將資料作一維矩陣排列，行列矩陣(Matrix) 則是將資料作二維矩陣排列

  37. 4-3 行列矩陣相加(Matrices Addition) • 設有行列矩陣A與B，兩者之長寬(Size)相等，即有相同數量的 列(Rows)、與相同數量的 行(Columns)，此時、可作兩行列矩陣相加 A + B，亦即將A、B的對應(Corresponding) 元件相加

  38. 4-4 行列矩陣系數(Scalar Multiplication) • 設有行列矩陣A，令k為係數(Scalar)，則兩者的乘積為k•A、 kA、或是 Ak，亦即將行列矩陣之每一元件(Component) 均乘以k；A與 kA有著相同的長寬(Size)。

  39. 4-5 行列矩陣相乘(Matrix Multiplication) • 設有行列矩陣A，其長寬(Size) 為 m × p，其第i列元件為 (ai1 … aip)；行列矩陣B，其長寬(Size) 為 p × n，其第j行元件為 (b1j … bpj)。兩行列矩陣相乘得行列矩陣C = A × B，其長寬(Size) 將為 m × n。

  40. 4-6 行列置換 (Transpose) • 於行列矩陣A、將其行(Column) 之資料依序置換成列(Row) 之資料，是謂 “行列置換(Transpose)”，以AT表示之。

  41. 4-7 平方行列矩陣(Square Matrices) • 設有行列矩陣A，行(Column) 的數量、與列(Row) 的數量相等，A是謂 “平方行列矩陣(Square Matrix)”。若其行、列數量均為n，則稱謂 “序列n (Order n)”，是謂 “ n-平方行列矩陣( n-Square Matrix)”。

  42. 4-8 反逆行列矩陣 (Invertible Matrices) • 設有平方行列矩陣A，若令B為A之反逆行列矩陣(Invertible Matrix)，則B必須滿足： • AB = BA = 1 • 如此平方行列矩陣B是謂A的反逆行列矩陣(Inverse of A)，以B = A-1表示。由觀察得知，如果B是A的反逆行列矩陣；A亦將是B的反逆行列矩陣，即 A = B-1。

  43. 4-9 決值區 (Determinants) • 設有一 n-平方行列矩陣( n-Square Matrix) A = ( aij )，我們取一正整數(Positive Integer) d，令 1≧d≦n，d可被應用為A的決值區(Determinant)，以det(A) 或 |A| 表示之。

  44. 第五章 圖論 (Graph Theory)

  45. 5-0 簡介 • 一般來言、圖(Graph) 是圖形、圖案、圖表、甚或照片的總稱，但在數學上、却有著不同的意義，圖形可作為某特定觀念之表示方法，例如於前述章節、我們曾以圖形表達關係式(Relations)、函數(Functions)、與行列矩陣(Matrices)。於本章、我們更將以節點(Vertices)、連線(Edges) 表達執行程序之觀念，稱之謂 “圖論(Graph Theory)。

  46. 5-1 圖 (Graph) 與 子圖 (Subgraph) • 5-2 分支度 (Degree) • 5-3 連通 (Connectivity) • 5-4 圖之可行性 (Traversable Multigraph) • 5-5 特殊形圖 (Special Graphs) • 5-6 行列矩陣圖 (Matrices) • 5-7 標註圖 (Labeled Graph) • 5-8 同構/同胚 圖 (Isomorphic/Homeomorphic Graph) • 5-9 習題

  47. 5-1 圖 (Graph) 與 次圖 (Subgraph) • 圖(Graph) 之組成要件有二：(1) 一組節點(Vertices、Points、or nodes)；(2) 一組節點間之連線(Edges)。 • 設有簡圖G(V, E)，若令V’為V的子集合(Subset)；E’為E的子集合，則G(V’, E’)是謂G(V, E) 之子圖(SubGraph)。

  48. 5-2 分支度 (Degree) • 設有一節點v、其有一連線e，則e是謂v之 “分支線(Incident on v)”。若節點v有n個分支線，則是謂 “v之分支度(Degree) 為n”，可以 deg(v) = n 表示之。如圖Fig.5-1-1、節點A有分支線e1與e4，A的分支度(Degree)為2，即 deg(A) = 2。 • 定理(Theorem) 5-2：於任意一簡圖(Graph)，各節點(Vertices) 分支度(Degree) 之和(Sum) 是其所有連線(Edges) 數量之2倍。

  49. 5-3 連通 (Connectivity) • 於多重圖(Multigraph)、其節點(Vertices) Pi 與其連線(Edges) ei 因走過而組成的線串是謂 “連通走跡(Walk)”。 • 當 連通走跡(Walk) 的所有連線(Edges) 均無重覆通過時、是謂 “連通軌跡(Trail)”。當 連通走跡(Walk) 的所有節點(Vertices) 均無重覆通過時、是謂 “連通路徑(Path)”。

  50. 5-4 圖之可行性(Traversable Multigraph) • 於多重圖(Multigraph)、當要進入一個節點(Vertex)，該節點必須要有一連線(Edge) 才可執行進入，若要再離開該節點，為了不走過任一條線2次、該節點必須要有另一連線(Edge) 才可執行離開。亦即、若要於任一節點執行進入與離開，且不得於任一連線重覆走過2次，該節點之分支度(Degree) 必須是偶數，即為偶數節點(Even Vertex)。

More Related