离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 10

2. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 1. 谓词公式的赋值： 在谓词公式中常包含命题变元和个体变元，当个体变元由确定的个体所取代，命题变元用确定的命题所取代时，就称作对谓词公式赋值。 一个谓词公式经过赋值以后，就成为具有确定真值 T 或 F 的命题。

3. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 2. 谓词公式的等价： （1）A 与 B 在 E 上等价： 定义 ：设 A , B 是两个谓词公式，E 是它们共同的个体域。若对 A , B 中每个命题变元都用任意确定的命题同时取代，每个客体变元都用 E 中任意的个体同时取代，若公式 A , B 经取代后所得到的命题都具有相同的真值，则称谓词公式 A 和 B 在 E 上等价。

4. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 2. 谓词公式的等价： （2）A 与 B 等价： 定义 ：设 A , B 是两个谓词公式，如果在任一个体域上 A 和 B 都等价，则称 A 和 B 等价，记作 。

5. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 ： （1）A 在 E 上永真： 定义 ：设 A 是谓词公式，E 是它的个体域。若对 A 中的每个命题变元用任意确定的命题取代，每个个体变元用任意确定的 E 中的个体所取代后所得的命题真值都是 T ，则称公式 A 在 E 上是永真的。

6. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 ： （2）A 永真： 定义 ：设 A 是谓词公式，如果 A 在任意个体域上都是永真的，则称 A 是永真的。

7. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 ： （3） A 在 E 上可满足： 定义 ：设 A 是谓词公式，如果存在一个体域 E ，在 E 中有一组个体，且存在一组命题变元的真值指派，经取代后能使 A 的真值为 T ，则称 A 是可满足的。

8. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 3. A 在 E 上永真、可满足、永假 ： （4） A 在 E 上永假： 定义 ：设 A 是谓词公式，若 A 在个体域 E 上是不可满足的，则称 A 在 E 上是永假的。 （5） A 永假： 定义 ：设 A 是谓词公式，如果 A 在任意个体域上都是永假的，则称 A 是永假的。

9. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 一、基本概念 4.谓词公式的蕴涵： （1）在 E 上 A 蕴涵 B ： 定义 ：设 A , B 是谓词公式，E是它们共同的个体域，若 在 E 上是永真式，则称在 E 上 A 蕴涵 B 。 （2） A 蕴涵 B ： 定义 ： 设 A , B 是谓词公式，若 是永真式，则称 A 蕴含 B ， 记作 。

10. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 1. 代换实例： 设 A 是含命题变项 的命题公式， 是 n 个谓词公式，用 处处代换 ，所得公式 B 称为 A 的代换实例。

11. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 1. 代换实例： （1）如果 ，那么， ； （2）如果 ，那么， ； 例：

12. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 2. 消去量词等值式： 设个体域为有限域 ， 则 （1） （2）

13. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 3. 量词否定等值式： 设 是任意的含有自由出现个体变项 x 的公式， 则 （1） （2）

14. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式： 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式， B 中不含 x 的出现，则 （1） （2）

15. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式： 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式， B 中不含 x 的出现，则 （3） （4）

16. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式： 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式， B 中不含 x 的出现，则 （5） （6）

17. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 4. 量词辖域收缩与扩张等值式： 设 是任意的含有约束出现个体变项 x 的公式， B 中不含 x 的出现，则 （7） （8）

18. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 5. 量词分配等值式： 设 是任意的含有自由出现个体变项 x 的公式， 则 （1） （2）

19. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 二、等价式 6. 量词交换等值式： 设 是任意的含有自由出现个体变项 x , y 的谓词公式， 则 （1） （2）

20. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 三、蕴涵式 1. 命题逻辑推理定律的代换实例： 2. 由等值式生成的两个蕴涵式： 3. 两个推理定律： （1） （2）

21. 第四章 一阶谓词逻辑 4.5 谓词公式的等价、蕴涵 三、蕴涵式 3. 思考另两个推理定律是否成立？ （3） （4）

22. 第四章 一阶谓词逻辑 4.6 前束范式 一、前束范式定义 定义：设 A 为一阶谓词逻辑公式，若 A 具有如下形式 则称 A 为前束范式，其中 为 或 ，B 为不含量词且不出现联结词 和 的公式。如果 B 为析取范式（合取范式），称该前束范式为前束析取范式（合取范式）。

23. 第四章 一阶谓词逻辑 4.6 前束范式 二、前束范式存在定理 1. 定理：一阶谓词逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式。 2. 前束范式的化归过程： （1）消除除了 之外的联结词； （2）将否定词 移到量词符号后； （3）换名，使各变元不同名； （4）扩大量词的辖域使所有量词处在最前面。 例：

24. 第四章 一阶谓词逻辑 作业：P110—P111, 习题四 4.6 、4.9、4.10、 4.13（1）（2） • 预习：第5章

25. 谢谢！Thank you!