1 / 30

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a)

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a). Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi. Doğrusal (Lineer) Denklem Sistemleri. GİRİŞ (ı). Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gösterimidir.

lynne
Download Presentation

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 3a) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

  2. Doğrusal (Lineer) Denklem Sistemleri

  3. GİRİŞ (ı) • Lineer Denklem: Sadece birinci derece bilinmeyenli olan denklemlerin gösterimidir. • Lineer Denklem Sistemleri: Lineer denklemlere karşılık birden fazla bilinmeyenli denklemler de vardır.

  4. GİRİŞ (2) (n+1) noktaları boyunca ilerleyen n dereceli bir polinomun katsayılarını bulmak istersek (n+1) denklemlerin bir lineer sistemi gösterilir. Örneğin x ve y noktaları boyunca ilerleyen 2. dereceden bir parabol için denklem bulma; (-1,0) ; (1,1) ; (2,-1) a0, a1 ve a2 bilinmeyen katsayılar için aşağıdaki denklemleri çözebiliriz. 2. derecedeki bir polinom için genel denklem her bir x ve y noktasının değeri ile elde edilir.

  5. Durum ÖrneğiÜç Demiryolu Aracının Titreşimi Newtonun 2. Kanununagöre her aracınkazancı -k1 x1 + k2 (x2 – x1) = m1 a1 -k2 (x2 – x1) + k3 (x3 – x2) = m2 a2 -k3 (x3 – x2) = m3 a3

  6. Durum ÖrneğiÜç Demiryolu Aracının Titreşimi k1=k2=k3=k=10000 kg/s ve m= 2000 kg , m2=3000kg ve m3= 1000kg’dir.Hepsininivmesi 1m/s olduğudurumdaher biraracınkonumunubelirleyiniz. Bu temsilideğerler ile denklemvekazanç düzenlenirse; -2x1 + x2 = 0.2 x1 - 2x2 + x3 = 0.3 x2 - x3 = 0.1 Bu özel form denklem sistemlerinin matristemsiliiçinçokuygundur. [A]{X} = {C} [A] katsayılarınmatrisgösterimi, {x} bilinmeyenvektörtemsili, ( x1,x2,x3 ) ve {C} eşitliğin karşı tarafındaki katsayılardır.

  7. Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç c ile: -Fcd cos30 – Fbc cos45 = 0 Fcy + Fcd sin30 + Fbc sin45 = 0 d ile: -Fad cos30 + Fcd cos30 = 0 Fbd– Fad sin30 – Fcd sin30 Serbestcisimdiyagramıçizilirve x- ve y- yönlerindekuvvetlerintoplamıayarlanaraksıfırayaklaştırılırveaşağıdakidenklemeldeedilir; a ile: Fax + Fab cos45 + Fad cos30 = 0 Fay + Fab sin45 + Fad sin30 = 0 b ile: -Fab cos45 + Fbc cos45 + 3 = 0 -Fab sin45 – Fbc sin45 –Fbd = 0

  8. Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç Denklemyenidendüzenlenirse; Denklem organize biçimdeyenidendüzenlendiğindebudeğerlerbirmatrisformundakolaylıklayerinekoyulabilir. F1 =Fax, F2 = Fay, F3 = Fab, F4 =Fad, F5 = Fbc, F6 = Fbd, F7 = Fcd, ve F8 = Fcy Matris denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. [G]{F} = {L} G geometrikmatris, F Güçvektörüve L yolvektörüdür.

  9. Durum ÖrneğiBasit Bir Destek Üstüne Uygulanan Güç Denklemsistemi 8 bilinmeyeniçinçözülebilir. 8 bilinmeyenlidenkleminçözümü 8 denklemyardımıyla olur. Elbettebuistenilenbirişdeğildir. Bu yüzdenhesapveçözümalgoritmalarınışu an bubölümdebugörevinispikolaylaştırmaileyerinegetirebiliriz.

  10. Matris Cebirinin İncelenmesi [A] 3*3 matrisibelirler a11 a12 a13 [A] = aij = a21 a22 a23 a31 a32a33 İlk indeksi=1,2,3 satırsayılarınıbelirtirve 2. indeksj=1,2,3 sütunsayılarıbelirtir. Aii(a11, a22, a33) elemenları köşegen elemanlardır. Bu köşegenelemanlarınüstündekielemanlarüstköşegenelemanlar altındakileriise alt köşegenelemanlarolarakadlandırılır. Alt köşegenelemanlar0 olduğundaüstüçgenmatrisüstköşegenelemanlar0 olduğunda alt üçgenmatrisolarakadlandırılır. Birmatrisgenellikle m satırve n sütunilebelirtilir. [A] = aij ; i=1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n m=n eşitolduğundakarematrisolarakadlandırılır. Matrisinbüyüklüğün*m ilebelirtilir.

  11. Matris Cebirinin İncelenmesi Toplama İkimatrisitoplayabilmekiçinaynıbüyüklükteolmalarıgerekir. İkimatrisintoplanabilmesiiçinbuişlemelemanlarınınuygunolmasıgerekir. [A] + [B] = [C] yani aij + bij = cij Örneğin c11 = a11 + b11; c12 = a12 + b12; c21 = a21 + b21vs.

  12. Matris Cebirinin İncelenmesi Çarpma 1.matrisin sütunsayısıile 2. matrisinsatırsayısıaynıolmasışartıylaikimatrisçarpılabilir. [A]mxn [B]nxk= [C]mxk Matrisinçarpımsonucu 2. matrisinsütunsayısıile 1. matrisinsatırsayısıylaaynıolduğugörülür. İkimatrisçarpımındarakamlaraşağıdakidenklem ilegösterir; aijbjk = cik Toplam jindeksi üzerinde ise önemli not : çarpımdayerlerdeğiştirilemez. [A][B]  [B][A]

  13. Örnek 3.2.1 Problem: Aşağıdaverilenmatrisinçarpımınıbulunuz 1-10 [A] = aij = 2-2 1 30 -1 2-2 [C] = cik = 7 -4 3 -3 Çözüm: i=1, k=1c11= a11b11 + a12b21 + a13b31 = 1 * 2 + -1 * 0 + 0 * 3 = 2 i=2,k=1c21= a21b11 + a22b21 + a23b31 = 2 * 2 + -2 * 0 + 1 * 3 = 7 i=3,k=1 c31= a31b11 + a32b21 + a33b31 = 3 * 2 + 0 * 0 + -1 * 3 = 3 i=1,k=2c12= a11b12 + a12b22 + a13b32 = 1 * -1 + -1 * 1 + 0 * 0 = -2 i=2,k=2 c12 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 2 * -1 + -2 * 1 + 1 * 0 = -4 i=3,k=2c12= a31b12 + a32b22 + a33b32 = 3 * -1 + 0 * 1 + -1 * 0 = -3

  14. Matrisin Transpoz ve Determinantı Birmatrisintranspozu, [A]Tmatrisinsütunlarıylasatırlarınınyerdeğiştirmesiyleeldeedilir. [B] = [A]T ; bij= aji Birsimetrik[A] matrisiiçin; [A]T = [A]. Birmatrisinin determinantışuşekildetanımlanır. det[A] = (-1)i+jaij Minormatrisjsütunveisatırbağlantısıylaeldeedilenorijinalmatrisin örneğidir. Eğer 2 satıryerdeğiştirirsebu determinant değişikliğiişaretidir. En küçük 2 ncilmatris2 * 2 dirvedeterminantı: EğerDet [A] =0ise, [A] matristanımsızdırvesistemintekçözümüyoktur.

  15. Örnek E3.2.2 -Bir Matrisin Determinantını bulma

  16. Bir Matrisin Tersi ve Özdeşi [A] matrisinintersi[A]-1olaraktanımlıdır. [A][A]-1 = [I] = [A]-1[A] [I] birimmatrisolarakadlandırılır. Bu matrisinköşegenelemanı1 diğertümelemanları0 dır. Örneğin 4 * 4 tanımınlımatris;

  17. Bir Matrisin Tersi

  18. Bir Matrisin Tersi

  19. Matris Cebirinin Kuralları BirleşmeKuralı([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C]) ([A][B])[C] = [A]([B][C]) Yerdeğiştirme Kuralı[A] + [B] = [B] + [A] Dağıtma Kuralı [A]([B]+[C]) = [A][B] + [A][C] ([A][B])T = [B]T [A]T ([A] + [B])T =[A]T + [B]T Tersi([A][B])-1 = [B]-1 [A]-1 (c=Sabit)(c[A]) -1= [A]-1/c Determinantdet([A][B]) = det[A]det[B] det([A]T) = det[A] (c=Sabit)det(c[A]) = cndet[A](n.derece)

  20. Matris Normları Birvektörünnormuveyabirmatrisnegatifolmayansayılardır. Bu sayılarmatrisveyavektörünbüyüklüğününbirölçümüdür. Scaler sayılarınbüyüklüğü tam değerlerdir. Çünkübirskaler birdenfazlavektörüvematrisiiçerir. Vektörlervematrisleriçinnormlarbirdenfazlayollahesaplanabilirvetanımlanabilir. Vektörünbüyüklüğüelemanlarınkarelerinintoplamınınkareköküiletanımlanır. örneğin{v} = -1i + 2j -3k; v1 = -1, v2 = 2, v3 = -3 {V} = Bu normlarEuclidian normolarakbilinir. Genelliklebir‘’p’’ normutanımlanabilir.

  21. Matris Normları (II) Diğeryaygınkullanımnormu uniform (tekbiçimli) vektör norm olarakadlandırılır. 1i n için Benzer normlar n*n büyüklüğündeki bir [A]matrisi ile tanımlanır. Frobenius norm: Uniform matris normu (ya dasatır-toplam normu): for 1i n Sütun normu (ya dasütun-toplam normu): for 1 j  n

  22. Örnek E3.2.3 Problem: Aşağıdaki matrisi 3 yaygın normlarla hesaplayınız. Çözüm: Tanımlamalarınkullanımıylaeldeedelim Frobenius norm: {(1)2 + (2)2 + (3)2 + (-2)2 + (3)2 + (4)2 + (-1)2 + (-2)2 + (5)2 }1/2 = 8.54 Uniform matris normu: max{(1+2+1), (2+3+2), (3+4+5)} = max(4,7,12) = 12 Sütun normu: max{(1+2+3), (2+3+4), (1+2+5)} = max(6,9,8) = 9

  23. Koşul Sayılarıve Koşullandırılmış Sistemler Bir matrisin koşul sayısı A ile tanımlanır. Cond([A]) = Sembol matrisin bir normunu gösterir. Cebir matrisiyle gösterilebilir. Bir matrisin koşul sayısı genellikle 1 den büyük ve eşittir. Cond ([A]) = Eğer bir matrisin koşul sayısı büyükse ona kötü şart denilebilir. Denklem sistemlerinde kötü şart içeren sistem varsa zor çözülürler. Bir sayısal çözümün bulunma denenmesinden önce bu sistemler ilk olarak önceden hazırlanmalıdır. Kötü şartlı sistemler için katsayıdaki küçük bir değişiklik çözümde büyük bir değişikliğe götürür.

  24. Örnek E 3.3.1. Problem:Verilen matrisin koşul sayısını bulunuz [A] = [A]-1 = (1/56) Çözüm: Tek matris normu kullanımı: = Max (4, 7, 12) = 12; = Max[(1/56) (36, 24, 18)] = 36/56 = 9/14 Cond ([A]) = (12)(9/14) = 54/7 Sütun Normu Kullanımı: = Max (6, 9, 8) = 9; = Max[(1/56) (40, 24, 14)] = 40/56 = 5/7 Cond ([A]) = (9)(5/7) = 45/7

  25. Bir matrisin koşulunu kontrol için gözden geçirmekuralları Matris ölçümünden sonra uygulama denemelerini izleme, [A] gibi geniş elemanlarda her bir satır 1 dir. Eğer kapalı köşegen elemanlarının tam değerlerinin toplamı ,ayrı ayrı her bir satır için köşegen elemanlarının tam değerinden daha az ise bu matris muhtemelen iyi koşullanmamıştır. Not :Satırların kısmi eksende yer değiştirmesi bir matrisin koşul sayısını değiştirmez. Eğer det[A]  0. isebu matris kötü koşullanmıştır. Eğer[A]-1in elemanlarının ve varsa [A]-1elemanlarının sırası bir diğerinden büyükse muhtemelen kötü koşullanmıştır. [I]* = [A] [A]-1; Eğer [I]* , [I], özdeş matrisinden farklı özellikteyse matris muhtemelen kötü koşullanmıştır. [A]* = {[A]-1}-1 ; Eğer[A]* orijinal [A] matris inde kapalı değilse muhtemelen kötü koşulludur.

  26. Örnek E 3.3.2. Problem: Verilen gösterimde satırlar yer değiştiği zaman matrisin koşul şartının yer değişmediğini gösterelim. Çözüm: Şimdi aşağıdaki matrisi elde etmek için satırları değiştirin. Matrisin tersinin doğruluğu çarpımın kontrolüyle gösterilir. [B][B]-1 = I Froberiusnormu kullanarak bulabiliriz; cond([A]) = ||[A]||e||[A]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001 cond([B]) = ||[B]||e||[B]-1||e = (1.4177)(1.4177) = 2.001

  27. Doğrusal Sistemlerin Çözümü için Direk Metodlar Genelde yaygın olarak Direk Metot kullanılır. Bu metodu anahatprosödürü veya algoritması koşullandırıldığı zaman çözebiliriz. Bu nedenle yaklaşık çözüm geliştirmede iterasyona ihtiyaç yoktur. Cramer’s Metodu: Bu metodliner bir denklemin çözüm metodundan çok kullanışsız ve masraflıdır. n*n matrisin determinantının hesaplanması istenirse n bilinmeyen sayısıdır. Bu kural ; xi = det{[A]*}/det[A] i=1,2,3,...,n için (3.4.1) [A]* matrisin değişimidir “i”ninci matris diğer tarafındaki sütunun değişimidirörneğin {c}T= (c1,c2,c3, ...

  28. Örnek E 3.4.1 Problem: (3.1.4).denklem sistemin çözümünü bulunuz Çözüm: İlk olarak denklemin matris formunu yazmalıyız [A]{X}={C} x1 = a0 = det[A*]1/det[A]; x2 = a1 = det[A*]2/det[A]; x3 = a2 = det[A*]3/det[A] Daha sonra det[A] = 6 a0 = 8/6 a1 = 3/6 a2 = -5/6

  29. Bölüm 3a Sonu

  30. Referanslar Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001 http://math.uww.edu/faculty/mcfarlat/inverse.htm

More Related