Dynaamiset systeemit
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 11

Dynaamiset systeemit PowerPoint PPT Presentation


  • 62 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Dynaamiset systeemit. Talousmatematiikan 3 ov aineopinto-jakso MAT.113 Opettajat Professori Ilkka Virtanen (luennot) Assistentti Virpi Elomaa (harjoitukset) Aikataulu Luennot 36 h, viikot 42 – 45, 47 - 48 ti14 - 16D218 ke 12 - 14D119ei 24.10. to10 - 12D218

Download Presentation

Dynaamiset systeemit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Dynaamiset systeemit

Dynaamiset systeemit

  • Talousmatematiikan 3 ov aineopinto-jakso MAT.113

  • Opettajat

    • Professori Ilkka Virtanen (luennot)

    • Assistentti Virpi Elomaa (harjoitukset)

  • Aikataulu

    • Luennot 36 h, viikot 42 – 45, 47 - 48

      • ti14 - 16D218

      • ke 12 - 14D119ei 24.10.

      • to10 - 12D218

    • Harjoitukset 16 h, viikot 43 - 49

      • ma14 - 16D218

      • ti14 - 16D218(vain 13.11.)

  • Kirjallisuus (oheislukemisto ja harj.)

    • runsaasti kirjallisuutta tavallisista differentiaali-yhtälöistä (ordinary differential equations), erityisesti Seppo Salo: Tavalliset differentiaali-yhtälöt, dynaamisista systeemeistä (dynamical systems) ja differenssiyhtälöistä (difference equations).

    • Erityisalueiden (kontrolliteoria, kaaosteoria) kirjat mainitaan luennoilla.


Dynaamiset systeemit sis lt erittely 1

Dynaamiset systeemitSisältöerittely (1)

IDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (DY)

  • Johdatus aiheeseen, käsitteitä

  • 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt

    • Separoituva differentiaaliyhtälö

    • Tasa-asteinen (homogeeninen) yhtälö

    • Eksakti differentiaaliyhtälö

    • Integroivan tekijän keino

    • Esimerkkejä

    • Lineaarinen differentiaaliyhtälö

      • Homogeeninen yhtälö

      • Täydellinen yhtälö

      • Vakiokertoiminen yhtälö

      • Erikoistapauksia

    • Sovelluksia

      • Yksinkertainen kasvumalli

      • Puoliintumisaika

      • Jatkuva korkolasku

      • Auton jälleenmyyntihinta

      • Logistinen kasvumalli

      • Makrotaloudellinen malli

      • Mikrotaloudellinen malli


Dynaamiset systeemit sis lt erittely 2

Dynaamiset systeemitSisältöerittely (2)

  • Toisen ja korkeamman kertaluvun DY:t

    • Palautus sijoituksella 1. kertaluvun DY:ksi

    • Lineaariset DY:t

      • Homogeenisen yhtälön ratkaisun rakenne

      • Täydellisen yhtälön ratkaisun rakenne

      • Vakiokertoimiset 2. kertaluvun DY:t

      • Vakiokertoimisen DY:n stabiilisuus

      • Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t

      • Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli

  • Differentiaaliyhtälöryhmät

    • Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä

    • DY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus

  • DY:n numeerisesta ratkaisemisesta

    • Ratkaisumenetelmiä

    • Ratkaisu Mathematicalla (myös analyyttisesti)


Dynaamiset systeemit sis lt erittely 3

Dynaamiset systeemitSisältöerittely (3)

IIDIFFERENSSIYHTÄLÖT

  • Differenssi ja differenssiyhtälöt

  • 1. kertaluvun differenssiyhtälöt

  • 2. kertaluvun differenssiyhtälöt

  • Taloustieteellisiä sovelluksia

    • Finanssimatematiikan sovellukset

    • Yksinkertainen Cobweb -malli

    • Samuelsonin akseleraattorimalli

  • Stabiilisuustarkasteluja

    IIIDYNAAMISIA SYSTEEMEITÄ KÄSIT-TELEVIÄ TEORIOITA

  • Kontrolliteoria (optimiohjauksen teo-ria, variaatiolaskenta, säätöteoria)

    • lyhyt esittely, esimerkki

  • Kaaos-teoria

    • lyhyt esittely

  • Katastrofiteoria, systeemidynamiikka

    • ei käsitellä


I differentiaaliyht l t 1

I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(1)

1. Johdanto

  • Funktion derivaatta

    • Määritelmä

    • Geometrinen havainnollistus

  • Funktion differentiaali

    • Määritelmä

    • Yhteys derivaattaan

    • Geometrinen havainnollistus

    • Funktion differentiaali funktion muutoksen kuvaajana

  • Differentiaaliin perustuva mallintamisesimerkki

  • Differentiaaliyhtälöt

    • Määritelmä

    • Esitysmuodot

    • Differentiaaliyhtälön ratkaisun luonne

      • Yksittäinen ratkaisu funktio

      • Kaikki ratkaisut muodostavat funktioparven

        • Yleinen ratkaisu

        • Tietyt alkuehdot toteuttava yksityisratkaisu

      • Erikoisratkaisu

    • Esimerkkejä eri tyyppisistä differentiaali-yhtälöistä


I differentiaaliyht l t 2

I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(2)

2. Ensimmäisen kertaluvun diff.yhtälöt

Separoituva differentiaaliyhtälö

  • Separoituvan DY:n yleinen muoto

  • Ratkaisu integroimalla

    • Ratkaisu suljetussa muodossa

    • Implisiittinen ratkaisu

  • Separoituvaksi palautuva yhtälö

    Homogeenifunktion määräämä DY

  • DY:n yleinen muoto

  • Palautus sijoituksella separoituvaksi DY:ksi

  • Ratkaisu

    Eksakti differentiaaliyhtälö

  • Yhtälön muoto

  • Ratkaisu

    Integroivan tekijän keino

  • Palautus eksaktiksi yhtälöksi

  • Ratkaisu

    Esimerkkejä yksinkertaisista DY:stä


I differentiaaliyht l t 3

I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(3)

Lineaarinen differentiaaliyhtälö (LDY)

  • Yhtälöä LDY vastaava homogeeninen DY

  • Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu

  • LDY:n yksityisratkaisu

  • LDY:n yleinen ratkaisu

  • Yksityisratkaisun löytäminen

    • Kokeilu muodon perusteella

    • Vakion varioimiskeino

  • LDY:n yleisen ratkaisun yleinen luonne

    • Muutos (transientti) ja steady state -vaiheet

      Sovelluksia

  • Yksinkertainen kasvumalli

    • Vakiosuhteinen eksponentiaalinen kasvu

  • Puoliintumisaika

    • Negatiivinen eksponentiaalinen kasvu

    • Erikoistapaus: puoliintumisaika esim. radio-aktiivisessa hajoamisessa

  • Jatkuva korkolasku

    • Kasvumallin sovellus korko- ja investointi-laskelmiin

  • Auton jälleenmyyntihinta

    • Negatiivisen kasvumallin sovellus

    • Jatkuvat poistot


I differentiaaliyht l t 4

I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(4)

  • Logistinen kasvumalli

    • Rajoitettu kasvu kohti tasapainotilaa

  • Makrotaloudellinen malli

    • Domarin kasvumalli

  • Mikrotaloudellinen malli

    • Kysyntä-tarjonta -tasapainomalli

  • Toisen ja korkeamman kertaluvun

    differentiaaliyhtälöt

    Palautus 1. kertaluvun DY:ksi

    • Muotoa y”= f(x,y’) olevat yhtälöt

      • Sijoitus y’= z –> z’= f(x,z)

      • Ratkaisu kaksinkertaisella integroinnilla

    • Muotoa y”= f(y,y’) olevat yhtälöt

      • Sijoitus ja ratkaiseminen kuten edellä

        Lineaariset 2. kertaluvun DY:t

    • Johdanto

      • LDY:n yleinen muoto

      • LDY:n yleisen ratkaisun periaate


  • I differentiaaliyht l t 5

    I DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT(5)

    • Vakiokertoimiset 2. kertaluvun LDY:t

      • Homogeeniyhtälön ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla

      • Homogeeniyhtälön ratkaisun tyypit

      • Vakiokertoimisen LDY:n stabiilisuus

    • Vakiokertoimiset n:nnen kertaluvun DY:t

    • Sovellus: kysyntä - tarjonta -malli

      4. Differentiaaliyhtälöryhmät

    • Lineaarinen vakiokertoiminen 1. kl DY-ryhmä

    • LDY-ryhmän ratkaisun stabiilisuus

      5. DY:n numeerisesta ratkaisemisesta

    • Ratkaisumenetelmiä

      • Eulerin menetelmä

        • Perusmenetelmä

        • Modifikaatiot

      • Runge-Kutta -menetelmä

    • DY:n ratkaiseminen Mathematicalla

      • Analyyttinen ratkaisu

      • Numeerinen ratkaisu


    Ii differenssiyht l t 1

    II DIFFERENSSIYHTÄLÖT(1)

    Differenssi ja differenssiyhtälöt

    • Differenssin määritelmä

    • Yhteys derivaattaan

    • Differenssi ja diskreettiargumenttisen funktion perättäiset arvot

    • Differenssikaavoja

    • Differenssiyhtälö

      1. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht.

    • Yleisen ratkaisun komponentit

      • Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu

      • Koko yhtälön yksityisratkaisu

      • Komponenttien tulkinnat

        2. kl:n vakiokertoimiset differenssiyht.

    • Ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla

    • Eri tyyppiset ratkaisut

    • Johdatus korkeamman kertaluvun vakiokertoi-misiin differenssiyhtälöihin

      Taloustieteellisiä sovelluksia

    • Finanssimatematiikan sovellukset

      • Jaksolliset maksut

      • Annuiteettilaina


    Ii differenssiyht l t 2

    II DIFFERENSSIYHTÄLÖT(2)

    • Yksinkertainen Cobweb -malli

    • Samuelsonin akseleraattorimalli

      Stabiilisuustarkasteluja

    • 1. kertaluvun differenssiyhtälön tasapainoratkai-sun stabiilisuus

      • Lineaarinen vakiokertoiminen differenssi-yhtälö

      • Yleinen 1. kertaluvun differenssiyhtälö

    • Kahden muuttujan 1. kertaluvun vakiokertoimi-nen differenssiyhtälöryhmä ja sen tasapainorat-kaisun stabiilisuus

      • Yhtälöryhmä

      • Yhtälöryhmän ratkaisu

      • Tasapainoratkaisun stabiilisuus


  • Login