第四章 多變數函數的微分學 § 4.1 偏導數定義 定義 4.1.1 極限值 ■

1. 第四章 多變數函數的微分學 § 4.1 偏導數定義 定義 4.1.1 極限值 ■

2. 定理4.1.1 極限值的基本定理 (1)極限值的唯一性:若 存在，則 其值必為唯一。 (2)若 且 ( 與 為常數 )， 則 且 為常數且

3. (3)若 為多項式函數，則 (4)若 為有理函數，則 其中 與 均為多項式函數 且 。 (5)若 存在且點 以及點 ，則 反之亦然。 □

4. 一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在:一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在: 若點 及點 ，則 (1)若 且 ，而且 ，則 不存在。 (2)若 ，則 不存在。 (3)若 ，則 不存在。

5. 例1.試求下列各題的極限值。 (1)若函數 但 ，試決定 。 (2)若函數 但 ，試決定 。 (3)若函數 但 ，試決定 。 (4)若函數 但 ，試決定 。

6. 解: (1) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

7. (2) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 ■

8. (3) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

9. (4) 我們考慮通過原點之直線 上的點 ，則 若 ，則我們有 若 ，則我們有 得知 不存在 ■

10. 定義4.1.2 連續 函數 在點 連續 ■ 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即 此時必須滿足下列三個條件: (1)函數值 存在( 即點 必定在函數 的定義 域內 )。 (2)極限值 存在。 (3) ( 即“極限值等於函數值”)。 當然，倘若函數 在其定義域 中的任意點均連續，則稱函數 在 中為連續函數。

11. 定理4.1.2 連續的基本性質 (1)倘若 與 在點 均為連續函數，則 與 與 以及 ( 為常數且 ) 在點 均為連續函數。 (2)倘若 為單變函數且 為多變數函數，使得 在點 連續且 在 連續，則合成函數 亦在點 連續。 (3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義 域內均為連續函數。 □

12. 例3.試討論下列各函數的連續性。 (1) 若 且 (2)

13. 解:(1) 點 的定義域 又 考慮通過原點之直線 上的點 ，則 在點 之外均為連續。 ■

14. (2) 點 的定義域， 且 又 在任何實數點 均為連續。 ■

15. § 4.2 偏導數與微分 定義４.2.1 第一階偏導數 假設函數 被定義在點 的某個鄰 域 內，則函數 在點 對 的第一 階偏導數為 而函數 在點 對 的 第一階偏導數為 ■

16. 定義4.2.2 第一階偏導數 假設函數 的定域義為 ，則函數 對 的第一階偏導數為 而函數 對 的第一階偏導數為 ■ 同理，函數 對 的偏導數為 。 事實上， 的偏導數還有其它的通用符號:

17. 例1. 試求下列各函數的第一階偏導數。 (1) 解: (1) ■

18. 定理4.2.1 倘若 為包含兩個自變數的函數，則 與 亦為包含兩個自變數的函數，而且 與 的第一階偏 導數 亦存在。 □ 定理 ４.2.1 裡四個函數稱為函數 的第二偏導數，其常用的符號為

19. 同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如倘若 為包含三個自變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如

20. 例2. 若 ，試求 ， 與 解: ■

21. 定理4.2.2 假設 為包含兩個變數的函數，倘若 與 在二度空間某開區域 為連續，則 ;同理，倘若函數 的高階偏導數在某開區域 為連續，則 ， □ 同理，倘若 的高階偏導數為連續函數，則我們有

22. 例3.若 ，若 而且 ，試 證明 與 均存在但不相等。 證明:

23. 我們得證 ■

24. 定義4.2.3 可微分(的) 假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 的函數 與 ，使得對任意向量 且 而言，恒有 (1) 。 (2) 當 。 則稱函數 在點 為可微分的。 ■

25. 定義4.2.4 微分 假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域 ，倘若存在常數 以及 與 ，則對任意向量 且 而言，我們稱函數 在點 的微分或全微分為 ■ 因此，假設 為 與 的函數，而且其第一階偏導數 與 均存在，則函數 的全微分為

26. 例4.試求函數 (即 ) 在各 定點 與向量 的全微分。 解: ■

27. 定理4.2.3 倘若函數 在點 為可微分的 ( differentiable )，而且 ，則 □ 證明: 且 當 時我們有 #

28. 由定理4.2.3，我們因此得到 亦即我們有 其中 。

29. 例5.試利用微分法求 的近似值。 解: 設 則 , 取 則 即 ■

30. 例6.一等腰三角形的三邊長為 呎、 呎、 呎且其頂角為 弳。倘若把此三角形的兩等腰 長增加一吋且頂角增加 徑， 試問其面積 改變若干 ? 解: 兩腰長為 且頂角為 之等腰三角形的面積為 取 則其面積的改變量為 平方呎 ■

31. 例7.倘若 ，若 而且 ，試證明 與 均存在，但是函數 在點 是不可 微分的。 證明: 取

32. 則 即不存在 由定理4.2.3得知 在點 為不可微分的。 ■

33. 定理4.2.4 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連續。 □ 證明: 函數 在點 為可微分的 取 ，則由定理7.2.3得知 即由定義7.1.2得知函數 在點 為連續。 #

34. 定理4.2.5 假設 為二變數函數且定義在點 的某個鄰 或 。倘若其一階偏導數 與 在 存在且在點 為連續函數，則函數 在點 為可微分的。 □ 總之，倘若 為多變數函數，則我們得知 (1)倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連 續。 (2)倘若函數 的一階導數存在且在點 為連續，則函數 在點 為可微分的。即，若 與 均連續，則 必 可微分。 (3)倘若函數 的二階導數為連續函數，則 ;倘 若函數 的三階導數為連續函數，則有 ，高階導數則依此類推。

35. § 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 ( the chain rule ) 定義7.3.1 若 為 之一可微分函數，而 又為 之可微分函數，則 於 的導數存在，而且為 ■ 定義7.3.2 偏微分 ( 偏導數 ) 若 為 之一可微分函數，令 而且 對於 之偏微分均存在，而且為 ; ■

36. 定理4.3.1 鏈導法則 ( the chain rule ) (1)若 為 與 之一可微分函數，而且 及 均為 之可微分函數，則 對於 而言均為 可微分函數，而且為 (2)若 為 與 之一可微分函數，令 與 而且 與 對於 之偏微分均存在，則 對於 之一階偏導數均存在，而且為 □

37. 由上面定理 4.3.1 得知，如果 而且 ，則我們有 ;同理，如果 而且 ，則我們有

38. 例1.試求 ，若 解: ■

39. 例2.試求 與 ，若 解: ■

40. 例3.倘若我們有 試求 解: ■

41. 定理4.3.2 隱函數的導數 (1)若 為 與 之一可微分函數，且 為 之一可微分函數，則 對於 而言為一微分 函數，而且 以及

42. (2)若 為 與 以及 之一可微分函數，且 為 與 之一可微分函數，則 對於 與 而言為一可微分函數，而且 以及

43. 例4.若 滿足方程式 試求 與 解: 令 則 ■

44. 定義4.4.1 極值 ( extrema ) 設 為二變數函數， 為 定域義的子集合且 為 上一點，則 (1)當 ，我們稱 為函數 在 的極大值 ( maximum value )。 (2)當 ，我們稱 為函數 在 的極小值( minimum value )。 (3)當 為函數 在 的極大值或極小值，我們稱 為 在 的極值 ( extreme value 或 extremum )。 ■

45. 定義4.4.2 相對極值 ( relative extremum ) 設 為二變數函數，而且存在以 為半徑且以點 為圓心之點 的鄰域 ，則 (1)若 ，我們稱 為函數 在 的相對極大值 ( relative maximum value )或 局部極大值( local maximum )。 (2)若 ，我們稱 為函數 在 相對的極小值 ( relative minimum value )或 局部極小值( local minimum )。 (3)若 為函數 在 的相對極大值或相極小值， 則我們稱 為函數 在 的相對極值或局部 極值。 ■

46. 定義4.4.3 絕對極值 ( absolute extremum ) 設 為二變數函數且定義域為 以及點 ，則 (1)若 ，我們稱 為函數 的絕對 極大值 ( absolute maximum )。 (2)若 ，我們稱 為函數 的絕對 極小值 ( absolute minimum )。 (3)若 為函數 的絕對極大值或絕對極小值，則我 們稱 為函數 的絕對極值。 ■

47. 定理4.4.1 極值檢驗法 ( test for extrema ) 設 為二變數函數且定義域為一開集合 ( open set ) ，而且在 內函數 的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數 的定義域為 且 ，倘若存在一點 使得 與 ，則 (1)若 且 ，則 為函數 的相 對極大值。 (2)若 且 ，則 為函數 的相 對極小值。 (3)若 ，則 ，則 不為函數 的 極值，此時 為函數 圖形上的一馬鞍點 ( saddle point )或稱為鞍點。 (4)若 ，則無法判斷 是否為函數 的極 值。 □

48. 例1.試求下列各函數的極值。 (1) (2)

49. 解: (1) 且 令 且令 與 則 或 ① 不為 的極值且 為 圖形上的一鞍 點。 ② 且 為 的相對極小值。 ■

50. (2) 令 且令 與