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探索三角形全等开放题型

探索三角形全等开放题型.

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  1. 探索三角形全等开放题型

  2. 全等三角形是平面几何的重要基础知识。在所有的全等形中，全等三角形是最简单的全等图形，也是最基础的图形，研究全等三角形的有关性质和方法，又是研究其他全等图形的基础。三角形的全等是研究图形相等或不等的工具，作为一种解（证）题的工具，它的应用十分广泛。三角形全等开放题型可分半开放和全开放题型两种，半开放题型包括对题设开放和对结论开放；全开放是指对题设和对结论都开放。三角形全等涉及的是两个三角形的合同关系，“对应”的思想贯穿全等三角形教学的始终，寻找全等三角形的对应部分（对应顶点、对应角、对应边）是学习和应用全等三角形的重要基础。熟练掌握三角形全等的判定和方法是重点，灵活选用判定定理证明两个三角形全等是难点，正确迅速地寻找出两个全等三角形的对应边、对应角是关键。学会添加辅助线构造满足全等的条件是一种重要的手段。全等三角形是平面几何的重要基础知识。在所有的全等形中，全等三角形是最简单的全等图形，也是最基础的图形，研究全等三角形的有关性质和方法，又是研究其他全等图形的基础。三角形的全等是研究图形相等或不等的工具，作为一种解（证）题的工具，它的应用十分广泛。三角形全等开放题型可分半开放和全开放题型两种，半开放题型包括对题设开放和对结论开放；全开放是指对题设和对结论都开放。三角形全等涉及的是两个三角形的合同关系，“对应”的思想贯穿全等三角形教学的始终，寻找全等三角形的对应部分（对应顶点、对应角、对应边）是学习和应用全等三角形的重要基础。熟练掌握三角形全等的判定和方法是重点，灵活选用判定定理证明两个三角形全等是难点，正确迅速地寻找出两个全等三角形的对应边、对应角是关键。学会添加辅助线构造满足全等的条件是一种重要的手段。

  3. 例1. （2004年淮安中考）已知：如图1，给出下列论断：DE=CE，∠1=∠2，∠3=∠4,请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明。 分析：（1）已知：ＤＥ＝ＣＥ， ∠１＝∠２ ，则∠３＝∠４　　 理由是：在⊿ＡＥＤ和⊿ＢＥＣ中， 　　　∠１＝∠２ 　　　∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＣ 　　　ＤＥ＝ＣＥ　 　　　∴⊿ＡＥＤ≌⊿ＢＥＣ（ＡＡＳ） 　　　∴ＥＡ＝ＥＢ 　　　∴∠３＝∠４　　　　 ，

  4. 例1. （2004年淮安中考）已知：如图1，给出下列论断：DE=CE，∠1=∠2，∠3=∠4,请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明。 （２）已知：ＤＥ＝ＣＥ，∠３＝∠４ 　　　则　∠１＝∠２ 理由是： 　　∵∠３＝∠４ 　　∴ＥＡ＝ＥＢ 在⊿ＡＤＥ和⊿ＢＣＥ中， 　　　ＤＥ＝ＣＥ 　　　∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＣ 　　　ＥＡ＝ＥＢ 　∴⊿ＡＤＥ≌⊿ＢＣＥ（ＳＡＳ） 　∴　　∠１＝∠２

  5. 例1. （2004年淮安中考）已知：如图1，给出下列论断：DE=CE，∠1=∠2，∠3=∠4,请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明。 (3)已知:∠1=∠2, ∠3=∠4 则 DE=CE 理由是: ∵∠3=∠4 ∴EA=EB 在⊿ADE和⊿BCE中, ∠ 1=∠2 AE=BE ∠AED=∠BEC ∴⊿ADE≌⊿BCE ( ASA) ∴DE=CE

  6. 例2. （2004年南宁市）如图2，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写一种情况）。 ①AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠C (1)已知:AE=AD,AB=AC 则 ∠B=∠C 理由是: 在⊿ABE和⊿ACD中, AB=AC ∠A=∠A AE=AC ∴⊿ABE≌⊿ACD (SAS) ∴∠B=∠C

  7. 例2. （2004年南宁市）如图2，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写一种情况）。 ①AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠C (2)已知:AB=AC, ∠B=∠C 则 AD=AE 理由是: 在⊿ABE和⊿ACD中, ∠A=∠A AB=AC ∠B=∠C ∴⊿ABE≌⊿ACD ∴AD=AE

  8. 例2. （2004年南宁市）如图2，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写一种情况）。 ①AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠C (3)已知: AE=AD, ∠ B=∠C 则 AB=AC 理由是: 在⊿ABE和⊿ACD中, ∠B=∠C ∠A=∠A AE=AD ∴⊿ABE≌⊿ACD (AAS) ∴AB=AC

  9. 例2. （2004年南宁市）如图2，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写一种情况）。 ①AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠C 已知:OB=OC ∠B=∠C 则AB=AC 或AE=AD 你会说理吗?

  10. 例3. 如图3，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD CE是⊿ABC的______，求证： BD=CE。 高线 题目中的横线部分是被墨染污了的无法辨认的文字，请你根据提供的信息，在横线上填上使结论成立的条件，并加以证明。 证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的高线 ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝９０° ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝∠Ａ ∴⊿ＡＤＢ≌⊿ＡＥＣ（ＡＡＳ） ∴ＢＤ＝ＣＥ 你可以通过证明⊿ＢＤＣ≌⊿ＣＥＢ吗？ 请试一试。

  11. 例3. 如图3，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD CE是⊿ABC的______，求证：BD=CE 中线 证明：∵ＡＢ＝ＡＣ ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ 又∵ＢＤ，ＣＥ是中线 ∴ＣＤ＝１／２ＡＣ　，ＢＥ＝１／２ＡＢ 而ＡＢ＝ＡＣ ∴ＣＤ＝ＢＥ 又ＢＣ＝ＣＢ ∴⊿ＤＣＢ≌⊿ＥＢＣ　（ＳＡＳ） ∴ＢＤ＝ＣＥ

  12. 例3. 如图3，已知⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，BD CE是⊿ABC的______，求证：BD=CE 角的平分线 证明：∵ＢＤ，ＣＥ是⊿ＡＢＣ的角平分线 ∴∠１＝１／２∠ＡＢＣ，∠２＝１／２∠ＡＣＢ ∵ＡＢ＝ＡＣ ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ ∴∠１＝∠２ ∵ＢＣ＝ＣＢ ∴⊿ＤＢＣ≌⊿ＥＣＢ（ＡＳＡ） ∴ＢＤ＝ＣＥ

  13. 例4. 如图4，已知OA=OB，OC=OD，AD和BC相交于E。求证：OE平分∠ＡＯＢ。 证明：在⊿ＯＡＤ和⊿ＯＢＣ中 ∵　　ＯＡ＝ＯＢ（　　） 　　　∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ（　　　　　） 　　　ＯＤ＝ＯＣ（　　　） ∴　　⊿ＯＡＤ≌⊿ＯＢＣ（　　　　） ∴　　∠Ａ＝∠Ｂ 或由⊿ＡＣＥ≌⊿ＢＤＥ得ＡＥ＝ＢＥ 再证⊿ＯＡＥ≌⊿ＯＢＥ，即证 再证⊿ＡＣＥ≌⊿ＢＤＥ，有条件吗？ 得出：ＣＥ＝ＤＥ　再证⊿ＯＥＣ≌⊿ＯＥＤ，即得证 已知 公共角 已知 ＳＡＳ

  14. 例5. （2003年湖北省荆门市）如图5，A、B、C三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边与等边，AE交BD于点F，DC交BE于点G。请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。 答：⊿ＡＢＥ≌⊿ＤＢＣ　 　　⊿ＡＢＦ≌⊿ＤＢＧ　 　　⊿ＥＢＦ≌⊿ＣＢＧ 你会证明吗？

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