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Fundamentos de la Geometría Fractal PowerPoint PPT Presentation


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Fundamentos de la Geometría Fractal. Benoit Mandelbrot. El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,...

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Fundamentos de la Geometría Fractal

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Presentation Transcript


Fundamentos de la geometr a fractal

Fundamentos de la

Geometría Fractal


Fundamentos de la geometr a fractal

Benoit

Mandelbrot


Fundamentos de la geometr a fractal

El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,...

Mandelbrot

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”


Fundamentos de la geometr a fractal

Representación del conjunto de Mandelbrot


Fundamentos de la geometr a fractal

1) Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos.

2) La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza.


Fundamentos de la geometr a fractal

3) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas).


Fundamentos de la geometr a fractal

4) La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.


Fundamentos de la geometr a fractal

5) Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.

6) Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.


Fundamentos de la geometr a fractal

7) Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:

a) Autosimilitud,

b) Dimensión Fractal


Fundamentos de la geometr a fractal

ANTECEDENTES

La geometría fue descubierta en Egipto

Fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclídes, en su libro “los elementos”.

Arquímedesinventó la forma de medir el área de ciertas figuras limitadas por curvas


Fundamentos de la geometr a fractal

EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA

Geometría analítica

El uso de modelos con más de tres dimensiones

Geometría Diferencial

Geometría Hiperbólica 

La geometría fractal


Fundamentos de la geometr a fractal

El disco hiperbólico de Poincaré


Fundamentos de la geometr a fractal

Límite circular III, M.C. Escher


Fundamentos de la geometr a fractal

La geometría fractal

Disciplina compleja que

integra conceptos de:

Geometría euclidiana

Geometría analítica

Teoría de funciones y series

Variable compleja

Geometría no euclidiana

Topología

Procesamiento de imágenes


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

 Conjunto perfecto de Cantor


Fundamentos de la geometr a fractal

Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C0. Obtenemos C1 removiendo el tercio central de C0, de forma que resulta

Ck reunión de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k.

{Ck} es monótona decreciente:


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Curvade Hilbert

Se conectan los centros de los cuadrados, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho.


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Copo de nieve de Koch


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Triángulo de Sierpinski


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Carpeta de Sierpinski


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Tetraedro de Sierpinski


Fundamentos de la geometr a fractal

OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Esponja de Sierpinski


Fundamentos de la geometr a fractal

ÁRBOL FRACTAL


Fundamentos de la geometr a fractal

DIMENSIÓN FRACTAL

L: factor de reducción

N(L): cantidad de similares


Fundamentos de la geometr a fractal

DIMENSIÓN FRACTAL

La dimensión fractal de un objeto geométrico es D si :

; D= log (N(L))/log(1/L)


Fundamentos de la geometr a fractal

DIMENSIÓN FRACTAL

La dimensióndel conjunto de Cantor

D= log(2)/log(3) = 0'6309...

La dimensión de la curva de Koch

D = log(4)/log(3) = 1'2618...


Fundamentos de la geometr a fractal

AUTOSIMILITUD


Fundamentos de la geometr a fractal

(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;

(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;

(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;

(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;

(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

KENNETH FALCONER - 1990


Fundamentos de la geometr a fractal

CONJUNTO DE MANDELBROT

Puntos c en el plano complejo tales que la sucesión recurrente

No tiende a infinito


Fundamentos de la geometr a fractal

ARTE FRACTAL


Fundamentos de la geometr a fractal

LA REALIDAD VIRTUAL


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