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Fundamentos de la Geometría Fractal PowerPoint PPT Presentation


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Fundamentos de la Geometría Fractal. Benoit Mandelbrot. El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,...

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Fundamentos de la Geometría Fractal

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Fundamentos de la

Geometría Fractal


Benoit

Mandelbrot


El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino “fractus”,...

Mandelbrot

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”


Representación del conjunto de Mandelbrot


1) Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría del Caos.

2) La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza.


3) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado. (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas).


4) La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.


5) Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.

6) Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera a su dimensión topológica.


7) Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:

a) Autosimilitud,

b) Dimensión Fractal


ANTECEDENTES

La geometría fue descubierta en Egipto

Fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclídes, en su libro “los elementos”.

Arquímedesinventó la forma de medir el área de ciertas figuras limitadas por curvas


EVOLUCIÓN DE LA GEOMETRÍA

Geometría analítica

El uso de modelos con más de tres dimensiones

Geometría Diferencial

Geometría Hiperbólica 

La geometría fractal


El disco hiperbólico de Poincaré


Límite circular III, M.C. Escher


La geometría fractal

Disciplina compleja que

integra conceptos de:

Geometría euclidiana

Geometría analítica

Teoría de funciones y series

Variable compleja

Geometría no euclidiana

Topología

Procesamiento de imágenes


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

 Conjunto perfecto de Cantor


Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C0. Obtenemos C1 removiendo el tercio central de C0, de forma que resulta

Ck reunión de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k.

{Ck} es monótona decreciente:


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Curvade Hilbert

Se conectan los centros de los cuadrados, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y terminando en el cuadrado inferior derecho.


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Copo de nieve de Koch


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Triángulo de Sierpinski


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Carpeta de Sierpinski


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Tetraedro de Sierpinski


OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS

Esponja de Sierpinski


ÁRBOL FRACTAL


DIMENSIÓN FRACTAL

L: factor de reducción

N(L): cantidad de similares


DIMENSIÓN FRACTAL

La dimensión fractal de un objeto geométrico es D si :

; D= log (N(L))/log(1/L)


DIMENSIÓN FRACTAL

La dimensióndel conjunto de Cantor

D= log(2)/log(3) = 0'6309...

La dimensión de la curva de Koch

D = log(4)/log(3) = 1'2618...


AUTOSIMILITUD


(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;

(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;

(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;

(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;

(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter recursivo.

KENNETH FALCONER - 1990


CONJUNTO DE MANDELBROT

Puntos c en el plano complejo tales que la sucesión recurrente

No tiende a infinito


ARTE FRACTAL


LA REALIDAD VIRTUAL


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