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Démonstration des relations de Kramers Kronig. qd t<0. Causalité : . d’où : . on généralise c dans le plan complexe : . on choisit e >0 pour assurer la convergence de l’intégrale.
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qd t<0 Causalité : d’où : on généralise c dans le plan complexe : on choisit e>0 pour assurer la convergence de l’intégrale. Grâce à qui converge vite, analytique dans le demi-plan complexe supérieur (Im(z)>0) et on peut appliquer le théorème de Cauchy.
contour C Théorème de Cauchy : w w+a w-a Qd z tend vers infini, c tend vers 0 car plus de réponse infiniment longtemps après l’excitation, et 1/(z-w) tend vers zéro aussi. Donc intégrale tend vers zéro. d’où
on identifie les parties réelle et imaginaire de l’égalité, avec c=c’+ic’’ d’où : A l’origine de ces relations : la causalité pour qui permet que soit analytique
