Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013
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Macroeconomia IV ESERCITAZIONE 09-04-2013. Modello di Solow Crescita popolazione Progresso tecnologico. L’offerta di beni La funzione di produzione. Funzione di produzione (neoclassica): Y = F ( K,L ) Rendimenti di scala costanti ( RSC ) : zY = F ( zK , zL ).

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Macroeconomia IV ESERCITAZIONE 09-04-2013

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Presentation Transcript


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

MacroeconomiaIV ESERCITAZIONE09-04-2013

Modellodi Solow

Crescitapopolazione

Progresso tecnologico


L offerta di beni la funzione di produzione

L’offerta di beni La funzione di produzione

Funzione di produzione (neoclassica):

Y = F(K,L)

Rendimenti di scala costanti(RSC):

zY = F(zK, zL)

Capitolo 7: La crescita economica, I


L offerta di beni la funzione di produzione pro capite

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite

Tutte le variabili possono essere espresse in termini pro capite(denotate con lettere minuscole)

k = K/L

y = Y/L

c = C/L

i = I/L

Capitolo 7: La crescita economica, I


L offerta di beni la funzione di produzione pro capite1

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite

Il reddito e il capitale pro capite rappresentano i valori medi nella popolazione.

Utilizzando variabili pro capite possiamo confrontare economie di dimensioni diverse.

Una nazione piccola ma molto produttiva può avere un reddito per abitante (pro capite) superiore a quello di un paese più grande anche se la produzione totale è inferiore.

Capitolo 7: La crescita economica, I


L offerta di beni la funzione di produzione pro capite2

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite

Poiché F(K,L) è a RSC abbiamo (… z = 1/L):

y = Y/L = F(K, L)/L

= F(K/L, L/L)

y = F(k, 1) = f(k)

La produttività marginale del capitale pro capite:

PMK = f(k + 1) – f(k)

è decrescente

Capitolo 7: La crescita economica, I


L offerta di beni la funzione di produzione pro capite3

L’offerta di beni La funzione di produzione pro capite

Prodotto per lavoratore, y

La PMK è decrescente e la pendenza della funzione di produzione cala con l’aumento di capitale utilizzato

PMK

1

PMK

1

Capitale per lavoratore, k

Capitolo 7: La crescita economica, I


La domanda di beni le funzione di consumo e investimenti

La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti

Il prodotto per lavoratore è diviso tra consumo c e investimento i:

y = c + i

Il modello di Solow suppone che venga risparmiata una frazione fissa del reddito:

s = tasso di risparmio

Quindi il consumo è (la rimanente) frazione di reddito. La funzione di consumo è data da:

c = (1 – s)y

Capitolo 7: La crescita economica, I


La domanda di beni le funzione di consumo e investimenti1

La domanda di beni Le funzione di consumo e investimenti

Come nel modello statico l’equilibrio macroeconomico implica che:

Investimenti =Risparmio

i = sy

Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo:

i =sf(k)

Il cui grafico è uguale a quello della funzione di produzione “riscalato” di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di risparmio).

Capitolo 7: La crescita economica, I


La funzione di produzione pro capite consumi e investimenti

La funzione di produzione pro capiteConsumi e investimenti

Prodotto, f(k)

Prodotto per lavoratore, y

Il reddito y è diviso tra consumi e investimenti

c

Risparmio, sf(k)= Investimenti

Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in basso.

Se s = 1 tutta la produzione è risparmiata e c = 0

y

i=sy

Capitale per lavoratore, k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Lo stock di capitale la funzione di risparmio e gli investimenti

Lo stock di capitaleLa funzione di risparmio e gli investimenti

Prodotto, f(k)

Prodotto per lavoratore, y

Ammortamento del capitale, dk

Gli investimenti AUMENTANO il capitale installato nel periodo successivo

Risparmio, sf(k)= Investimenti

Capitale per lavoratore, k

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Analisi dinamica l accumulazione del capitale

Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale

Prodotto, f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

La DIFFERENZA tra investimenti e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale:

Può essere positiva…

Risparmio, sf(k)= Investimenti

Dk

k0

k1

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Analisi dinamica l accumulazione del capitale1

Analisi dinamicaL’accumulazione del capitale

Prodotto, f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

…o può essere negativa se l’ammortamento è superiore all’investimento

Dk

Risparmio, sf(k)= Investimenti

k

k1

k0

Capitolo 7: La crescita economica, I


Analisi dinamica la convergenza verso lo stato stazionario

Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario

f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

Fino a quando l’investimento è superiore al deprezzamento il capitale installato aumenta

sf(k)

Dk0

k0

k1

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Analisi dinamica la convergenza verso lo stato stazionario1

Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario

f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

La produttività marginale del capitale è decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con l’aumentare di k

sf(k)

Dk1

k0

k1

k2

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Analisi dinamica la convergenza verso lo stato stazionario2

Analisi dinamicaLa convergenza verso lo stato stazionario

f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

Fino a quando

sf(k)> dk

lo stock di capitale continua a crescere

sf(k)

Dk2

k3

k0

k1

k2

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Lo stato stazionario investimenti e ammortamento sono uguali

Lo stato stazionarioInvestimenti e ammortamento sono uguali

Quando gli investimenti sono uguali all’ammortamento lo stock di capitale pro capite non cambia. I nuovi investimenti compensano esattamente l’ammortamento.

Nel lungo periodo l’economia è caratterizzata da un

equilibrio di stato stazionario

in cui la variabile endogena k*non varia.

Questo implica che anche il reddito e il consumo di stato stazionario non variano:

y* = f(k*)

c* = (1-s)f(k*)

Capitolo 7: La crescita economica, I


Dinamica del modello lo stato stazionario

Dinamica del modelloLo stato stazionario

y

f(k)

y = f(k*)

In stato stazionario gli investimenti (risparmi) sono uguali all’ammortamento

Il capitale pro capite smette di crescere

dk

sf(k)

i* = dk*

k*

k

Capitolo 7: La crescita economica, I


Lo stato stazionario la matematica

Lo stato stazionarioLa matematica

Lo stato stazionario è caratterizzato daDk = 0

Poiché la funzione di accumulazione del capitale è data da:

Dk=sf(k) – dk

Avremo:

0=sf(k*) – dk*

Riordinando i termini si ottiene:

k*/f(k*) = s/d

Capitolo 7: La crescita economica, I


La massimizzazione dei consumi la golden rule

La massimizzazione dei consumiLa golden rule

f(k)

Prodotto per lavoratore, y

dk

Graficamente nello stato stazionario di golden rule la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento:

sgoldf(k)

PMK =

k

k*gold

Capitolo 7: La crescita economica, I


La regola aurea matematicamente

La regola aurea: Matematicamente

Il consumo di stato stazionario è dato da:

c* = y* i* ovvero c* = f(k*)i*

quindi è una funzione di k* data da:

c*(k*) = f(k*)k*

Il massimo della funzione c(k*) si ottiene calcolando la derivata rispetto a k* e uguagliandola a zero. Otteniamo:

f ‘(k*)= 

ovvero

PMK= 

Capitolo 7: La crescita economica, I


La regola aurea

La regola aurea

L’economia non tende al capitale di regola aurea automaticamente. Solo se il tasso di risparmio è quello compatibile con l’ottenimento dik*goldil consumo viene massimizzato.

Se così non è allora l’ottenimento della produzione di regola aurea richiede un cambiamento del tasso di risparmio.

Cosa succede in seguito alla variazione del tasso di risparmio durante la transizione al nuovo stato stazionario?

Capitolo 7: La crescita economica, I


Se il capitale iniziale troppo elevato k k gold

Se il capitale iniziale è troppo elevato:k* > k*gold

y

Un aumento di c* è ottenibile con una riduzione di s.

Il consumo è superiore a quello iniziale durante tutta la transizione all’equilibrio

Idea: il troppo capitale installato viene consumato

c

i

t0

Tempo

Capitolo 7: La crescita economica, I


Se il capitale iniziale troppo basso k k gold

Se il capitale iniziale è troppo basso:k* < k*gold

y

Un aumento di c* è ottenibile con un aumento di s.

Il consumo è superiore a quello iniziale nel lungo periodo (per definizione di regola aurea)

Ma nel breve periodo diminuisce per permettere l’accumulazione di capitale.

c

i

t0

Tempo

Capitolo 7: La crescita economica, I


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Esercizio 1

Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello

di Solow.

Identificate l’equilibrio di stato stazionario.

Studiate graficamente come cambia l’equilibrio a seguito di una diminuzione del tasso di deprezzamento del capitale. Commentate.

Studiate graficamente come cambia l’equilibrio di stato stazionario in seguito ad un aumento del tasso di crescita della popolazione.

Commentate se la predizione teorica è conferme all’evidenza empirica.

III ESERCITAZIONE


Es 1 stato stazionario il grafico

Es.1: Stato Stazionario, il grafico

Ammortamento, (+n)k

Investimento e

ammortamento

i* = k*

Investimento,

sf(k)

  • k = K/L, y = Y/L

  • y = f(k)

  • i = I/L = sy = sf(k)

  • s = saggio di risparmio

  • = tasso di ammortamento

    n = tasso di crescita della

    popolazione

k*

Capitale per lavoratore, k

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es.1: Stato Stazionario, la definizione

  • Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto aggregato sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle).

    k = i - k – nk,

    sf(k) = i

    y=f(k)=kα

    k = s kα- k – nk=0

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es. 1: Stato Stazionario, la soluzione

Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere

k = 0 sf(k) = (+n)k

Perché i due effetti opposti sul capitale si compensino è necessario che gli investimenti rimpiazzino la parte di capitale che si deteriora (k ) e forniscano capitale aggiuntivo ai nuovi lavoratori (nk).

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es. 1, punto 2: diminuzione del tasso di deprezzamento

Se  diminuisce?

2<1

k2* > k1*

(1 + n)k

(2 + n)k

i

In corrispondenza di k1*,il capitale che si logora per effetto del deprezzamento è meno di quello che si crea con i nuovi investimenti.

Quindi k aumenta, fino a

raggiungere il nuovo valore

di S.S. k2* >k1*. Anche il nuovo valore di equilibrio del reddito procapite y sarà maggiore: y2* >y 1*

sf(k)

k1*

k2*

k

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es. 1, punto 3: aumento del tasso di crescita della popolazione

  • Se n aumenta, lo stock di capitale per lavoratore tenderà a diminuire nel tempo.

  • k = sf(k) – ( + n2)k ; n2>n1

  • La variazione di k sarà nulla se la spesa per investimenti compensa sia la quantità di capitale che si è logorato, sia la quantità di capitale necessaria per dotare ogni nuovo lavoratore dello stesso ammontare di capitale del periodo precedente.

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es.1: aumento di n, il grafico

( + n2)k

i

( + n1)k

Se n aumenta?

n2 > n1

sf(k)

k2*< k1*

k1*

k2*

k

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es. 1: evidenza empirica

  • Se il tasso di crescita della popolazione aumenta, il livello dello stock di capitale di stato stazionario diminuisce.

  • Osservando la relazione tra i dati sul reddito pro capite e quelli sul tasso di crescita della popolazione per i paesi del mondo, vediamo che effettivamente i paesi con una crescita maggiore della popolazione tendono ad avere livelli di reddito pro capite inferiori.

    • La predizione teorica del modello di Solow sembra quindi confermata dall’analisi empirica. Nell’interpretare i dati bisogna però fare attenzione: possono esistere molteplici spiegazioni alla base dell’osservazione dello stesso fenomeno.

III ESERCITAZIONE


Esercizio 2 la regola aurea

Esercizio 2: La Regola Aurea

  • Modello di Solow. Realizzate il grafico del modello di Solow (per semplicità, n=0).

    • Identificate l’equilibrio di stato stazionario (versione semplificata es.A).

    • Definite ed identificate il livello di capitale di regola aurea.

    • Studiate graficamente come si converge all’equilibrio di stato stazionario aureo quando si parte con troppo poco capitale rispetto a quello di Stato Stazionario della regola aurea.

III ESERCITAZIONE


Es 2 grafico

k = K/L, y = Y/L

y = f(k)

i = I/L = sy = sf(k)

s = saggio di risparmio

 = tasso di ammortamento

Es. 2: grafico

Ammortamento, k

Investimento e

ammortamento

i* = k*

Investimento,

sf(k)

k*

Capitale per lavoratore, k

III ESERCITAZIONE


Es 2 stato stazionario

Es. 2: Stato Stazionario

  • Lo stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo dell’economia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto pro capite sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle).

    k = i - k,

  • la variazione dello stock di capitale è data dalla differenza tra la spesa per nuovi impianti,ecc. (Investimenti) e la quantità di capitale che si logora ogni anno (stock di capitale esistente x tasso d’ammortamento).

III ESERCITAZIONE


Es 2 stato stazionario continua

Es. 2: Stato Stazionario (continua)

Dall’identità contabile del reddito nazionale sappiamo che

i = sy = sf(k),

quindi possiamo scrivere k = sf(k) - k.

Perché la variazione del capitale sia nulla deve essere

k = 0 sf(k) = k

Quando la spesa per investimenti (che fa aumentare k) e la quantità di capitale che si usura ( k diminuisce) sono uguali, i due effetti opposti sul capitale si compensano esattamente ed il livello dello stock di

capitale presente nell’economia rimane costante.

III ESERCITAZIONE


Es 2 regola aurea

Es. 2: regola aurea

  • La Regola Aurea si riferisce all’individuazione del livello di capitale di stato stazionario che massimizza il consumo e, di conseguenza, il benessere della società.

    c = y – i (Ipotesi: g=0)

    c = f(k) – sf(k)  sf(k) = f(k) – c

    S.S. : sf(k*) = k* c* = f(k*) - k*

III ESERCITAZIONE


Es 2 regola aurea il grafico

Es. 2: regola aurea, il grafico

Prodotto, f(k)

PMK

Prodotto per lavoratore, y

k

c

max c = max [f(k) - k]

PMK -  = 0

PMK = 

S.S.: k*golden

equivale PMK = 

Risparmio, sf(k) = Investimento

y

s = i

k

k*

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es. 2: convergenza all’equilibrio

Prodotto, f(k)

Prodotto per lavoratore, y

k

sgf(k)

k< kg

s deve aumentare per

arrivare al livello

sgolden

sf(k)

k

k

kg

III ESERCITAZIONE


Es 2 convergenza all equilibrio continua

Es. 2: convergenza all’equilibrio (continua)

s aumenta:

  • c diminuisce

  • i aumenta, sf(k) > k.

    I maggiori investimenti fanno aumentare k.

  • L’accumulazione di k fa aumentare progressivamente il prodotto aggregato y e quindi i consumi, fino a quando si raggiunge il livello di k del nuovo Stato Stazionario, corrispondente al valore di s di Regola aurea.

  • Siccome ci troviamo nello S.S. di regola aurea, il nuovo valore di equilibrio del consumo sarà maggiore di quello iniziale.

III ESERCITAZIONE


Es 2 convergenza all equilibrio continua1

Es.2: convergenza all’equilibrio (continua)

In t0, s aumenta

y

c

i

t0

III ESERCITAZIONE


Il progresso tecnologico nel modello di solow l efficienza del lavoro

Il progresso tecnologico nel modello di SolowL’efficienza del lavoro

La funzione di produzione del modello di Solow:

F(K , L)

Può essere generalizzata per tenere conto della variazione dell’efficienza produttiva:

F(K , L xE)

E= efficienza del lavoro

Capitolo 8: La crescita economica, II


Il progresso tecnologico nel modello di solow l efficienza del lavoro1

Il progresso tecnologico nel modello di SolowL’efficienza del lavoro

In cui LE è il numero di lavoratori “effettivi”

Il progresso tecnologico equivale a un aumento della forza lavoro.

L’efficienza del lavoro E aumenta al tasso g:

Esempio: g = 0,02, l’efficienza di L cresce al 2% all’anno

Progresso tecnologico: “Labor-augmenting”

Capitolo 8: La crescita economica, II


Il progresso tecnologico nel modello di solow l efficienza del lavoro2

Il progresso tecnologico nel modello di SolowL’efficienza del lavoro

Possiamo esprimere tutte le variabili per unità di lavoro effettivo:

Reddito: y = Y/LE = f(Y/LE,1)

Capitale:k = K/LE

Risparmio, investimenti: s y = s f(k)

Capitolo 8: La crescita economica, II


Il progresso tecnologico nel modello di solow l efficienza del lavoro3

Il progresso tecnologico nel modello di SolowL’efficienza del lavoro

  • La variazione del capitale per unità di lavoro effettivo: ( + n + g)k

    • k ammortamento

    • nk crescita della popolazione

    • gk progresso tecnologico (maggiore efficienza dei lavoratori)

Capitolo 8: La crescita economica, II


Lo stato stazionario in presenza di progresso tecnologico

Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico

Come nel modello base di Solow, in stato stazionario il capitale per unità di lavoro effettivo non varia:

Dk=s f(k)– (d+n+g)k=0

Nota: in questo caso quello che smette di crescere è il capitale per unità di lavoro effettivo

Capitolo 8: La crescita economica, II


Lo stato stazionario in presenza di progresso tecnologico1

Lo stato stazionario In presenza di progresso tecnologico

Investimenti di sviluppo uniforme, (d + n + g)k

Investimenti, investimenti di sviluppo uniforme

In stato stazionario:

Dk=sf(k) – (d+n+g)k=0

Investimenti, sf(k)

k

Capitale per lavoratore effettivo, k

Capitolo 8: La crescita economica, II


Gli effetti del progresso tecnologico

Gli effetti del progresso tecnologico

Tasso di crescita di stato stazionario

Quali sono i tassi di crescita delle variabili di stato stazionario?

Simbolo

Variabile

k = K /(Ex L)

Capitale per lavoratore effettivo

0

0

y = Y /(Ex L)= f(k)

Prodotto per lavoratore effettivo

Prodotto per lavoratore

Y/L = y x E

g

n + g

Prodotto totale

Y = y x (E x L)

Solo il progresso tecnologico spiega una crescita persistente del tenore di vita.

Capitolo 8: La crescita economica, II


La regola aurea progresso tecnologico e crescita della popolazione

La regola aureaProgresso tecnologico e crescita della popolazione

Il consumo di stato stazionario è dato da:

c* = y*i*

= f(k*) ( +n +g)k*

c* è massimo quando:

PMK = +n+g

ovvero

PMK = n+g

Capitolo 8: La crescita economica, II


La regola aurea progresso tecnologico e crescita della popolazione1

La regola aureaProgresso tecnologico e crescita della popolazione

f (k)

Prodotto per unità di lavoro effettivo, y

(d + n + g)k

Graficamente nello stato stazionario dellaregola aureala pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta di ammortamento:

sgoldf(k)

PMK = +n+g

Capitale per unità di lavoro effettivo k

k*gold

Capitolo 8: La crescita economica, II


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Esercizio 5

  • Partendo da s<sgold: ”Un aumento della quota di Y destinata agli investimenti (s) contribuirà a ripristinare una crescita più rapida e migliore tenore di vita” .

  • Commentare e motivare usando il modello di Solow con capitale Effettivo (LabourAugmenting)

III ESERCITAZIONE


Soluzione es 5 lavoro effettivo lxe cosa cambia

Soluzione es. 5: lavoro effettivo (LxE), cosa cambia?

  • Y = F(K,LxE) ; E = efficienza del lavoro

  • g = ΔE/E = tasso di progresso tecnologico

    labour-augmenting.

  • Tasso di crescita della forza lavoro effettiva (LxE): Δ(LxE)/(LxE)= Δ(L)/(L)+Δ(E)/E=n+g

  • k = K/(LxE) = capitale per lavoratore effettivo.

  • y = Y/(LxE) = prodotto aggregato per lavoratore effettivo.

  • S.S. : Δk = sf(k) – (δ + n + g )k = 0

  • Regola aurea : PMK = (δ + n + g )

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Es.5: Stato stazionario con progresso tecnologico

(d+n+g) k*

y, i

f(k *)

c*Gold

Investimento, sGoldf(k Gold*)

i*Gold

Capitale

per lavoratore effettivo, k*

k*

k*Gold

IV ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Soluzione es. 5 - continua

Supponiamo di partire da uno stock di capitale di stato stazionario inferiore a quello aureo:

  • In t1 il tasso di risparmio aumenta:

  • (+s)  +I e -c (gli investimenti aumentano e i consumi si riducono)

  • In t0I=k  in t1 I>k cosicché k 

  • k   y, c e I  sino a raggiungere lo stato stazionario aureo.

  • Consumi: subito si contraggono (-c) poi aumentano (c) ed alla fine saranno superiori rispetto al livello di partenza.

III ESERCITAZIONE


Macroeconomia iv esercitazione 09 04 2013

Soluzione es. 5: chi ci guadagna e chi ci perde?

  • Nell’immediato il tenore di vita misurato mediante i consumi diminuisce.

  • … tuttavia, il maggiore investimento (maggiore s) implica che lo stock di capitale cresce più velocemente e quindi il tasso di crescita di Y e di y (=Y/L) aumentano; cioè la crescita della produttività aumenta. Nota: siamo nel BP.

  • Nel nuovo stato stazionario Y cresce al tasso n+g mentre y al tasso g (quindi indipendenti da s). Nello stato stazionario aureo il consumo è maggiore e quindi il tenore di vita è aumentato (per le generazioni future).

III ESERCITAZIONE


Soluzione y c i nel tempo

Soluzione: y,c,i nel tempo

In t0 s aumenta

y

c

i

t0

III ESERCITAZIONE


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