Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen
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Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen - Sommersemester 2011 - Winfried Kurth PowerPoint PPT Presentation


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Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen - Sommersemester 2011 - Winfried Kurth Universität Göttingen, Lehrstuhl Computergrafik und Ökologische Informatik 2. Vorlesung: 21. 4. 2011. letztes Mal: Modelldreieck für Pflanzenmodelle reine Strukturmodelle, Motivation

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Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen - Sommersemester 2011 - Winfried Kurth

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Presentation Transcript


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen

- Sommersemester 2011 -

Winfried Kurth

Universität Göttingen, Lehrstuhl Computergrafik und Ökologische Informatik

2. Vorlesung: 21. 4. 2011


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • letztes Mal:

  • Modelldreieck für Pflanzenmodelle

  • reine Strukturmodelle, Motivation

  • 3 Ebenen der Strukturbeschreibung

  • 2 Arten der statischen Beschreibung

  • - tabellarisch (dtd-Format)

  • - imperativ (turtle geometry) (noch nicht behandelt)

  • Einstieg in die Software GroIMP


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • heute:

  • Laden von dtd-Dateien

  • erste Analysen von Verzweigungssystemen

  • Programmierparadigmen

  • Turtle-Geometrie

  • Ausführung von Turtle-Geometrie-Befehlsfolgen

  • mit GroIMP


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • Laden von dtd-Dateien in GroIMP

  • in der Version 1.2 nur über dummy-Datei möglich

  • File / Open: dummy.rgg (öffnen)

  • Objects / Insert File: dtd-Datei wählen (öffnen)

  • ggf. Kameraeinstellungen ändern


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • Einfache Analysen

  • einige Möglichkeiten wurden aus der Vorgängersoftware GROGRA übernommen

  • Panels / RGG Panels / GROGRA functions / Analysis

  • dort:

  • - list of all shoots (erzeugt komplette Liste)

  • - elementary analysis

  • - basic tree parameters

  • - topological analysis (später mehr)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Paradigmen der Programmierung

Der Begriff "Programmierparadigma"

Paradigma:

grundlegende Denkweise,

beispielorientierte Vorstellung


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Paradigma:

"Beschreibt eine Menge von Theorien,

Standards und Methoden, die gemeinsam

einen Weg repräsentieren, Wissen zu

organisieren"

Thomas Kuhn 1970: The Structure

of Scientific Revolutions


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Paradigma:

"Beschreibt eine Menge von Theorien,

Standards und Methoden, die gemeinsam

einen Weg repräsentieren, Wissen zu

organisieren"

Thomas Kuhn 1970: The Structure

of Scientific Revolutions

Paradigmenwechsel: schwierig.

Revolution im Denken!


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

wurde aufgegriffen von Robert Floyd 1978:

Turing Award Lecture

"The Paradigms

of Programming"

Robert W. Floyd (1936-2001)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Welche Paradigmen werden nahegelegt

durch Probleme...

... bei der Simulation natürlicher Objekte ?

... bei deren computergrafischer Darstellung ?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Organismen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Organismen

Aufbau beschreiben


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Verhalten

(unter bestimmten

Bedingungen)

Organismen

Aufbau beschreiben


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Verhalten

(unter bestimmten

Bedingungen)

Organismen

Aufbau beschreiben

Gesetzmäßigkeiten

(Regeln) bestimmen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Verhalten

(unter bestimmten

Bedingungen)

Organismen

Aufbau beschreiben

Prozesse

Gesetzmäßigkeiten

(Regeln) bestimmen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Ökologie:

Verhalten

(unter bestimmten

Bedingungen)

Organismen

Aufbau beschreiben

Prozesse

Gesetzmäßigkeiten

(Regeln) bestimmen

Ablauf berechnen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Grafisches System:


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Grafisches System:

Objekte


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Grafisches System:

Objekte

(mit Attributen)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Grafisches System:

Objekte

(mit Attributen)

regelmäßige

Strukturen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Grafisches System:

Objekte

(mit Attributen)

regelmäßige

Strukturen

Prozesse


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • Einige wichtige Programmierparadigmen

  • für numerische Simulation von Prozessen:

  • imperatives Paradigma


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

  • Einige wichtige Programmierparadigmen

  • für numerische Simulation von Prozessen:

  • imperatives Paradigma

  • (auch: von-Neumann-Paradigma,

  • Kontrollfluss-Paradigma)

John von Neumann (1903-1957)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

imperativ:

"Befehls-Programmierung"

Computer = ?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten (diese Veränderungen können Seiteneffekte haben).


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.

Programm = ?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.

Programm = Plan für den Berechnungsprozess mit Angabe der Befehle und des Kontrollflusses (z.B. Schleifen).


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.

Programm = Plan für den Berechnungsprozess mit Angabe der Befehle und des Kontrollflusses (z.B. Schleifen).

Programmfindung: ?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.

Programm = Plan für den Berechnungsprozess mit Angabe der Befehle und des Kontrollflusses (z.B. Schleifen).

Programmfindung: Elementare Einzelschritte finden und in passende, flexible Reihenfolge bringen.


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

"Befehls-Programmierung"

Computer = Maschine zur Veränderung von Variablen-werten.

Programm = Plan für den Berechnungsprozess mit Angabe der Befehle und des Kontrollflusses (z.B. Schleifen).

Programmfindung: Elementare Einzelschritte finden und in passende, flexible Reihenfolge bringen.

Programmiersprachen, die dieses Paradigma unterstützen:

Fortran, Pascal, C, ..., Teile von Java, ...


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Beispiel:

x = 0;

while (x < 100)

x = x + 1;

Inhalt der Variable x wird verändert

Schleife legt Kontrollfluss fest


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Beispiel:

x = 0;

while (x < 100)

x = x + 1;

Inhalt der Variable x wird verändert

Schleife legt Kontrollfluss fest

Beachte: "=" steht hier nicht für math. Gleichheit, sondern für Zuweisung (prozesshaft)!


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Nachteil des imperativen Paradigmas:

simultane, parallele Zuweisung wird nicht unterstützt


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Nachteil des imperativen Paradigmas:

simultane, parallele Zuweisung wird nicht unterstützt

Beispiel (Floyd 1978):

Räuber-Beute-System, beschrieben durch

Rneu = f(R, B),

Bneu = g(R, B)

Anfängerfehler beim Programmieren:

for (i = ... ) {

R = f(R, B);

B = g(R, B);

}


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Nachteil des imperativen Paradigmas:

simultane, parallele Zuweisung wird nicht unterstützt

Beispiel (Floyd 1978):

Räuber-Beute-System, beschrieben durch

Rneu = f(R, B),

Bneu = g(R, B)

Anfängerfehler beim Programmieren:

for (i = ... ) {

R = f(R, B);

B = g(R, B);

}


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Programmiersprachen, die das imperative Paradigma unterstützen:

Fortran, Pascal, C, ..., Teile von Java,

Befehlssprache der Turtle-Geometrie


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Turtle:

zeichnende Schildkröte, die auf Befehle hört


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Turtle:

zeichnende Schildkröte, die auf Befehle hört


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90) F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90) F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90) F0 RU(90) LMul(0.5) F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

F0 RU(90) F0 RU(90) LMul(0.5) F0

(später mehr)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

zurück zum Beispiel:

Objekte

(mit Attributen)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Objektorientiertes Paradigma

Computer = Umgebung für virtuelle Objekte

Programm = Auflistung von (Objekt-) Klassen, d.h. allgemeiner Spezifikationen von Objekten, die zur Laufzeit des Programms (ggf. mehrfach) erschaffen und wieder vernichtet werden können und miteinander kommunizieren.

Programmfindung: Spezifikation der Klassen (Daten und Methoden), die Objektstruktur und -verhalten festlegen.

Programmiersprachen: Smalltalk, Simula, C++, Java, ...


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Beispiel:

public class Auto extends Fahrzeug

{

public String marke;

public int plaetze;

public void anzeigen()

{

System.out.println("Das Auto ist ein " + marke);

System.out.println("Es hat " + plaetze + "Sitze.");

}

}

typisch:

Klassen (Auto) mit Daten (marke, plaetze) und Methoden (anzeigen)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Vererbung von Attributen und Methoden von Ober- an Unterklassen

Beispiel:

public class Auto extends Fahrzeug

{

public String marke;

public int plaetze;

public void anzeigen()

{

System.out.println("Das Auto ist ein " + marke);

System.out.println("Es hat " + plaetze + "Sitze.");

}

}

typisch:

Klassen (Auto) mit Daten (marke, plaetze) und Methoden (anzeigen)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Objekthierarchien sind auch in der Biologie sinnvoll

zum Beispiel:

Organ

Blatt

Blüte

Internodium

Wurzelsegment

Laub-

blatt

Nadel

Grob-

WS

Fein-

WS


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

regelmäßige

Strukturen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Regelbasiertes Paradigma

Computer = Transformationsmaschine für Strukturen

Es gibt eine aktuelle Struktur, die solange transformiert wird, wie dies möglich ist.


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Regelbasiertes Paradigma

Computer = Transformationsmaschine für Strukturen

Es gibt eine aktuelle Struktur, die solange transformiert wird, wie dies möglich ist.

Arbeitsprozess: Such- und Anwendungsprozess.matching: Suchen einer passenden Regel,

rewriting: Anwendung der Regel, um die Struktur umzuschreiben.


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Regelbasiertes Paradigma

Computer = Transformationsmaschine für Strukturen

Es gibt eine aktuelle Struktur, die solange transformiert wird, wie dies möglich ist.

Arbeitsprozess: Such- und Anwendungsprozess.matching: Suchen einer passenden Regel,

rewriting: Anwendung der Regel, um die Struktur umzuschreiben.

Programm = Menge von Transformationsregeln


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Regelbasiertes Paradigma

Computer = Transformationsmaschine für Strukturen

Es gibt eine aktuelle Struktur, die solange transformiert wird, wie dies möglich ist.

Arbeitsprozess: Such- und Anwendungsprozess.matching: Suchen einer passenden Regel,

rewriting: Anwendung der Regel, um die Struktur umzuschreiben.

Programm = Menge von Transformationsregeln

Programmfindung: Spezifikation der Regeln


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Regelbasiertes Paradigma

Computer = Transformationsmaschine für Strukturen

Es gibt eine aktuelle Struktur, die solange transformiert wird, wie dies möglich ist.

Arbeitsprozess: Such- und Anwendungsprozess.matching: Suchen einer passenden Regel,

rewriting: Anwendung der Regel, um die Struktur umzuschreiben.

Programm = Menge von Transformationsregeln

Programmfindung: Spezifikation der Regeln

Programmiersprachen: L-System-Sprachen, KI-Sprachen, Prolog, ...


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Beispiel: L-Systeme (Lindenmayer-Systeme)

Regelsysteme zur Ersetzung von Zeichenketten

(in Kürze mehr)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

ebenfalls regelbasierter Mechanismus:

Graph-Grammatiken


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

ebenfalls regelbasierter Mechanismus:

Graph-Grammatiken

Regel:


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

ebenfalls regelbasierter Mechanismus:

Graph-Grammatiken

Regel:

Anwendung:


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ

- Veränderung von Variablen

- Turtle-Geometrie


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ

- Veränderung von Variablen

- Turtle-Geometrie

● objektorientiert


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ

- Veränderung von Variablen

- Turtle-Geometrie

● objektorientiert

● regelbasiert


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ

- Veränderung von Variablen

- Turtle-Geometrie

● objektorientiert

● regelbasiert

- L-Systeme

- Graph-Grammatiken


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Zusammenfassung:

Programmierparadigmen

● imperativ

- Veränderung von Variablen

- Turtle-Geometrie

● objektorientiert

● regelbasiert

- L-Systeme

- Graph-Grammatiken

● weitere: funktional; nebenläufig; chemisch ...


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Anwendungsschwerpunkte:

prozedural:

Numerik,

z.B. Lösen von Gleichungssystemen

Bsp. Photosynthese; Baumwasserfluss

(Darcy-Gesetz = DGL,  diskretisiert, numerisches Lösungsverfahren)

regelbasiert:

Entwicklung verzweigter Strukturen (lokal 1-D)

Bsp. Pflanzen

logische Abhängigkeiten

Bsp. Wissensbasierte Systeme

objektorientiert:

Ensembles interagierender Objekte

Bsp. Tierindividuen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Synthese: Die Sprache XL

„eXtended L-system language“

Programmiersprache, die parallele Graph-Grammatiken (RGG) einfach verfügbar macht


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

imperativ

objektorientiert

regelbasiert

Java

XL


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Turtle-Geometrie

F0 RU(90) F0 RU(90) LMul(0.5) F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Turtle geometry ("Schildkrötengeometrie")

befehlsgesteuertes, lokales Navigieren im 2D- oder 3D-Raum (Abelson & diSessa 1982; vgl. Programmier-sprache "LOGO")

"Turtle": Zeichen- oder Konstruktionsgerät (virtuell)

- speichert (grafische und nicht-grafische) Informationen

- mit einem Zustandsspeicher assoziiert (wichtig für Verzweigungen)

- aktueller Zustand der Turtle enthält z.B. Information über aktuelle Liniendicke, Schrittweite, Farbe, weitere Eigenschaften des als nächstes zu konstruierenden Objekts


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Befehle (Auswahl):

F0"Forward", mit Konstruktion eines Elements

(Linienstück, Segment, Gebäudetrakt...),

benutzt wird die aktuelle Schrittweite für die Länge

(die Null steht für "keine explizite Längenfestlegung")

M0forward ohne Konstruktion (Move-Befehl)

L(x)ändere die aktuelle Schrittweite (Länge) zu x

LAdd(x)inkrementiere die aktuelle Schrittweite um x

LMul(x)multipliziere die aktuelle Schrittweite mit x

D(x), DAdd(x), DMul(x) analog für die aktuelle

Dicke


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Wiederholung von Abschnitten der Zeichenkette

möglich mit "for"

z.B. for ((1:3)) ( A B C )

liefert A B C A B C A B C

was ist das Ergebnis der Interpretation von

L(10) for ((1:6))

( F0 RU(90) LMul(0.8) ) ?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

L(10) for ((1:6))

( F0 RU(90) LMul(0.8) )


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

anderes Beispiel:

for ((1:20))( for ((1:36))

( F0 RU(165) F0 RU(165) ) RU(270) )


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

anderes Beispiel:

for ((1:20))( for ((1:36))

( F0 RU(165) F0 RU(165) ) RU(270) )


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Erweiterung auf 3D-Grafik:

Turtle-Rotationen um 3 Achsen


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Erweiterung auf 3D-Grafik:

Turtle-Rotationen um 3 Achsen

left

head

up


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Erweiterung auf 3D-Grafik:

Turtle-Rotationen um 3 Achsen

RL

RH

RU


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

3D-Befehle:

RU(45) Drehung der turtle um die "up"-Achse um 45°

RL(...), RH(...) analog um "left" und "head"-Achse

up-, left- und head-Achse bilden ein rechtwinkliges, räumliches Koordinatensystem, das von der turtle mitgeführt wird

RV(x)Rotation "nach unten" mit durch x vorgegebener Stärke

RG Rotation ganz nach unten (Richtung (0, 0, -1))


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Beispiel:

L(100) D(3) RU(-90) F(50) RU(90) M0 RU(90) D(10) F0 F0

D(3) RU(90) F0 F0 RU(90) F(150) RU(90) F(140) RU(90)

M(30) F(30) M(30) F(30) RU(120) M0 Sphere(15)

erzeugt

was ist das Ergebnis der Interpretation der Zeichenkette

L(10) F0 RU(45) F0 RU(45) LMul(0.5) F0 M0 F0?


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Verzweigungen:

Realisierung mit Speicher-Befehlen

[lege aktuellen Zustand auf Speicher

("Ablage", Stack)

]nimm obersten Zustand von der Ablage

und mache diesen zumaktuellen Zustand

(damit: Ende der Verzweigung)


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Verzweigungen:

Realisierung mit Speicher-Befehlen

[lege aktuellen Zustand auf Speicher

("Ablage", Stack)

]nimm obersten Zustand von der Ablage

und mache diesen zumaktuellen Zustand

(damit: Ende der Verzweigung)

F0 [ RU(-20) F0 ] RU(20) DMul(2) F0


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Wie man eine Turtle-Befehlsfolge mit GroIMP ausführt

schreiben Sie in eine GroIMP-Projektdatei (oder in eine Datei mit Endung .rgg):

protected void init()

[

Axiom ==>Turtle-Befehlsfolge

]


Beispiel zeichnen eines dreiecks

Beispiel: Zeichnen eines Dreiecks

protected void init()

[ Axiom ==> RU(30) F(10) RU(120) F(10) RU(120) F(10) ]

siehe Dateism09_b01.rgg


Struktur funktions modelle von pflanzen sommersemester 2011 winfried kurth

Hausaufgabe zum nächsten Mal:

Bearbeiten Sie im ILIAS-Lernmodul „Einführung in GroIMP“ (verfügbar über StudIP):

- Einführung

- Lektionen 1 - 4

- Lektion 23


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