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忆 一 忆 知 识 要 点. 1. 直线与平面的位置关系 直线 a 和平面 α 的位置关系有 _____ 、 _____ 、 ________ 内，其中 ____ 与 _____ 统称直线在平面外 . 2. 直线和平面平行的判定 (1) 定义： _______________________, 则称直线 平行于平面； (2) 判定定理： a ⊄ α ， b ⊂ α ，且 a ∥ b ⇒ ______ ; (3) 其他判定方法： α ∥ β ， a ⊂ α ⇒ ________. 相交. 平行. 在平面. 平行. 相交.
E N D
忆 一 忆 知 识 要 点 1. 直线与平面的位置关系 直线 a 和平面α的位置关系有_____、_____、 ________内，其中____ 与_____统称直线在平面外. 2. 直线和平面平行的判定 (1)定义：_______________________, 则称直线 平行于平面； (2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒______; (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒________. 相交 平行 在平面 平行 相交 直线和平面没有公共点
忆 一 忆 知 识 要 点 3.直线和平面平行的性质理:a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒a∥l. 4.两个平面的位置关系有_____、_____． 5.两个平面平行的判定 (1)定义:__________________,称这两个平面平行; (2)判定定理:a⊂α,b⊂α, a∩b＝A,a∥β,b∥β⇒; (3)推论：a∩b＝A，a，b⊂α，a′∩b′＝A′， a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒______. 相交 平行 两个平面没有公共点
忆 一 忆 知 识 要 点 6.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，a⊂α⇒_______； (2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒_______. 7.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α，b⊥α⇒________； (2)a⊥α，a⊥β⇒_________.
④ ③⑤ ② D D
【例1】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE, BD上各有一点P, Q,且AP＝DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 证明:方法一如图, 作PM∥AB交BE于M, 作QN∥AB交BC于N,连接MN. ∵正方形ABCD, ABEF有公共边AB， ∴AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝QB， ∴四边形PMNQ是平行四边形 ∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.
∴MQ∥BC 同理，PM∥平面BCE
直线与平面平行的判定与性质 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α, b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β, a⊂α⇒a∥β).
证明:如图，连结AC交BD于点O，连结MO ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC中点，又M是PC的中点 ∴OM为△PAC的中位线 ∴AP∥OM 又∵ AP 平面BMD，OM 平面BMD ∴AP∥平面BMD 又∵平面PAHG∩平面BMD＝GH ∴PA∥GH 如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
平面与平面平行的判定与性质 【例2】如图所示,已知ABCD—A1B1C1D1 是棱长为3的正方体,点E在AA1上, 点F在 CC1上, G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1, H是B1C1的中点． (1)求证：E, B, F, D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F. 证明:(1)连结FG，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 ∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2， ∴BG∥A1E，∴A1G∥BE. 又∵C1F∥B1G， ∴四边形C1FGB1是平行四边形， ∴FG∥C1B1∥D1A1， ∴四边形A1GFD1是平行四边形． ∴A1G∥D1F, ∴D1F∥EB, 故E, B, F, D1四点共面.
(2)取BG的中点K，连接C1K. ∵H为B1C1的中点，∴HG∥C1K. 又∵C1F∥BK. ∴四边形BFC1K是平行四边形， ∴C1K∥BF，∴HG∥BF. 由A1G∥BE, A1G∩HG＝G, BF∩BE＝B. ∴平面A1GH∥平面BED1F. 证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行” 相互转化.
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点， 求证:(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
线面、面面平行的综合应用 【例3】如图所示，平面α∥平面β, 点A∈α, C∈α,点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上,且AE∶EB＝CF∶FD. 求证：EF∥β，EF∥α. 证明:①当AB，CD在同一平面内时， 由α∥β，α∩平面ABDC＝AC， β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD， ∵AE∶EB＝CF∶FD, ∴EF∥BD， 又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β. ②当AB与CD异面时， 设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC. ∵α∥β,α∩平面ACDH＝AC,∴AC∥DH. ∴四边形ACDH是平行四边形．
②当AB与CD异面时， 设平面ACD∩β＝DH，且DH＝AC ∵α∥β,α∩平面ACDH＝AC ∴AC∥DH ∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD， 又∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴GF∥HD，EG∥BH， 又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥平面β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β. ∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 解:当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下： ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴QB∥PA. ∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B⊄平面PAO, PO⊂平面PAO, QB⊄平面PAO, PA⊂平面PAO, ∴D1B∥平面PAO, QB∥平面PAO, 又D1B∩QB＝B, D1B, QB⊂平面D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO.
A组专项基础训练题组 一、选择题 二、填空题
三、解答题 7.如图，在四面体S—ABC中, E, F, O分别为SA, SB, AC的中点, G为OC的中点, 证明：FG∥平面BEO. 证明:如图, 取BC中点M, 连接FM, GM, ∵ E,F,O,G分别为SA,SB,AC,OC的中点 ∴GM, EO,FM分别为△OBC ，△ASC, △BSC的中位线 ∴GM∥OB，FM∥SC∥EO 又FM∩GM＝M，EO∩OB＝O ∴平面FGM∥平面BEO ∴FG∥平面BEO
三、解答题 解:在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G, 连结AG,在AB上取点F,使AF＝EG, 则F即为所求的点． ∵EG∥CD∥AF，EG＝AF， ∴四边形FEGA为平行四边形， ∴FE∥AG. 又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD.
B组 专项能力提升题组 一、选择题 二、填空题 5. M∈线段HF
8.如图，已知平行四边形 ABCD 中, BC＝6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF，BE的中点． (1)求证：GH∥平面CDE； (2)若CD＝2,DB＝4 ,求四棱锥F—ABCD的体积. (1)证明:方法一 ∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥BC. 又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形， ∴H为FC的中点． 又∵G是FD的中点，∴HG∥CD. ∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴GH∥平面CDE.
8.如图，已知平行四边形 ABCD 中, BC＝6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF，BE的中点． (1)求证：GH∥平面CDE； (2)若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F—ABCD的体积． 方法二 连结EA，∵ADEF是正方形， ∴G是AE的中点． ∴在△EAB中，GH∥AB. 又∵AB∥CD，∴GH∥CD. ∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， ∴GH∥平面CDE.
8.如图，已知平行四边形 ABCD 中, BC＝6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直, G, H分别是DF，BE的中点． (1)求证：GH∥平面CDE； (2)若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F—ABCD的体积．
