§4 谓词演算的性质

§4 谓词演算的性质 • 谓词逻辑Pred(Y)。 • 是Y上的关于类型 {F,→,x|xX}的自由代数 • 赋值 • 形式证明 • 赋值解释和证明之间的关系

定理21.8(可靠性定理):设AP(Y),pP(Y)。若A┣p，则有A╞p。定理21.8(可靠性定理):设AP(Y),pP(Y)。若A┣p，则有A╞p。 • 对证明序列长度用归纳法 • 其他与命题逻辑类似,考虑pn=xq(x) • 设q1(x), q2(x),… qk(x)=q(x)是由A的子集导出q的证明序列,其中xvar(A0) • 利用量词深度, • 设d(pn)=r,引进新变量x'X∪C, • 根据赋值概念讨论 • 由于增加了新变量,必须构造新的谓词代数P(Y') • 构造P(Y)到P(Y')的半同态映射 • 利用代换定理

推论21.1:(协调性定理):F不是Pred(Y)的定理。 • 引理21.4:设A是P(Y)的协调子集。如果xp(x)A，yvar(A)，且y不在p(x)中出现，则FDed(A∪p(y))。 • 反证:若FDed(A∪p(y)),设法证明FDed(A) • 由演绎定理和G规则得yp(y)Ded(A), • 再由约束变元可替换性得xp(x)Ded(A), • 利用MP规则可得FDed(A),与A协调矛盾

引理21.5:设A是P(Y)的协调子集，则存在XX*,AA*，这里A*P(Y*)(P(Y*)与 P(Y)的区别是：P(Y*)中的项集为X*∪C 上的自由代数)，使得： • (i)FDed(A*)，并且 • (ii)对所有的pP(Y*)，或者pA*，或者pA*，并且 • (iii)如果xp(x)A*，则存在x'X*，使得p(x')A*。 • 相当与命题逻辑中极大协调的概念 • 基本步骤是根据公式中的存在量词，添加谓词公式到A*。 • 引理21.4,引理20.5

定理21.9(可满足性定理)设A是P(Y)的协调子集，则存在P(Y)的解释域U和项解释，使得赋值函数v(A){1}。定理21.9(可满足性定理)设A是P(Y)的协调子集，则存在P(Y)的解释域U和项解释，使得赋值函数v(A){1}。 • 不失一般性，假设X,A是满足引理21.5的(i),(ii)和(iii)。现构造解释域如下： • 令U=I，1(c)=c， 2(fni)=fn'i，3(Rni)=Rn'i，定义fn'i(t1,…,tn)=(fni, t1,…,tn),并规定：当 • Rni(t1,…,tn)A时，(t1,…,tn)Rn'i，否则，(t1,…,tn)Rn'i。又定义变元指派0(x)=x,由此扩张为项解释,这就构成了P(Y)的解释域和项解释。

在此U和下,定义函数v: P(YU,)→Z2如下：当p A时，v(p)=1，否则v(p)=0。下面证明v是满足赋值函数的定义(a)(b)(ck)

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