Probabilitat
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 20

Probabilitat PowerPoint PPT Presentation


  • 76 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Probabilitat. Esdeveniments. Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. L’espai mostral ( Ω ) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori

Download Presentation

Probabilitat

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Probabilitat

Probabilitat

Curs 2013-14 URV


Esdeveniments

Esdeveniments

  • Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació.

  • L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori

  • Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica A

    Un esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral

  • Operacions amb esdeveniments:

    • Esdeveniment contrari (Ᾱ)

    • Unió d’esdeveniments (A U B)

    • Intersecció d’esdeveniments (A ∩B)

Curs 2013-14 URV


Definici de probabilitat

Definició de probabilitat

La probabilitat d’un esdeveniment A és el valor límit, quan repetim indefinidament un experiment, del quocient entre el nombre de vegades que es presenta l’esdeveniment A i el nombre de vegades que repetim l’experiment

Curs 2013-14 URV


Definici de probabilitat1

Definició de probabilitat

  • Si repetim infinitament un experiment, la probabilitat de un esdeveniment A es la freqüència relativa de dit esdeveniment

Curs 2013-14 URV


Definici de probabilitat2

Definició de probabilitat

Curs 2013-14 URV


Exemple

Exemple

  • En una classe tenim 10 alumnes:

    • Una dona de 18 anys

    • Dos dones de 19 anys

    • Una dona de 20 anys

    • Una dona de 21 anys

    • Una dona de 24 anys

    • Un home de 18 anys

    • Un home de 19 anys

    • Un home de 20 anys

    • Un home de 27 anys

Curs 2013-14 URV


Exemple1

Exemple

  • Experiment: Triar a l’atzar un alumne de la classe

  • Espai Mostral:

    • Ω = { D18, D19, D20, D21, D24, H18, H19, H20, H27 }

  • Esdeveniment H: SerHome

    • A = {H18, H19, H20, H27 }

  • ATENCIO! No tots els resultats tenen la mateixa probabilitat de sortir. El resultat “D19” te el doble de probabilitat de que la resta de resultats.

Curs 2013-14 URV


Exemple2

Exemple

  • Quina es la probabilitat de ser home?

  • Esdeveniment H: Ser home.

Nombre de casos que compleixen la característica H

----------------------------------------------------------------

Nombre de casos

  • P(H)=

  • P(H) = 4 / 10 = 0.4

Curs 2013-14 URV


Exemple3

Exemple

  • Quina es la probabilitat de tindre entre 18 i 20 anys?

  • Esdeveniment B: Tindre entre 18 i 20 anys.

Nombre de casos que compleixen la característica B

----------------------------------------------------------------

Nombre de casos

  • P(B)=

  • P(B) = 7 / 10 = 0.7

Curs 2013-14 URV


Propietats de la probabilitat

Propietats de la probabilitat

  • P(Ω) = 1

  • P(Ø) = 0

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1

  • P(A) + P(Ᾱ) = 1

    P(Ᾱ) = 1 – P(A)

  • P(A U B) = p(A) +P(B) - P(A ∩ B)

Curs 2013-14 URV


Probabilitat

Si elegim un individu de la població, quina probabilitat hi ha que sigui dona?

P(dona)=0’76

Quina és la probabilitat que escollit un individu a l’atzar d’aquesta població sigui home?

P(home)= 1-0,76 = 0,24

Exemple: En una mostra de 1000 individus elegits a l’atzar entre una població de malalts d’osteoporosi,760 són dones

Propietats de la probabilitat

Curs 2013-14 URV


Probabilitat condicionada

Probabilitat condicionada

S’anomena probabilitat deAcondicionada aB,al valor de la probabilitatdeAsabent quel’esdevenimentBja ha succeït:

Curs 2013-14 URV


Probabilitat

Exemple: De la mostra anterior de 1000 malalts d’osteoporosi, tenim 270 fumadors dels quals 190 son dones.

Probabilitat condicionada

  • Quina es la probabilitat de que un malalt sigui fumador si sabem que es dona?

    • P(fumar|dona) = P(dona ∩ fumar) / P(dona) = 0.19/0.76 = 0,25

  • Quina es la probabilitat de que un malat fumador sigui dona?

    • P(dona|fumar) = P(dona ∩ fumar) / P(fumar) = 0.19/0.27 = 0,704

Curs 2013-14 URV


Probabilitat condicionada1

Probabilitat condicionada

  • Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre:

    • P(A|B) = P(A)

    • P(B|A) = P(B)

    • P(A ∩ B) = P(A) P(B)

  • Dos esdeveniments A i B son equiprobables si:

    • P(A) = P(B)

  • Dos esdeveniments A I B son incompatibles si:

    • P(A ∩ B) = 0

Curs 2013-14 URV


Probabilitat condicionada2

A

A

B

B

Probabilitat condicionada

P(A) = 0’25

P(B) = 0’10

P(A∩B) = 0’08

P(A) = 0’25

P(B) = 0’10

P(A∩B) = 0’10

Probabilitat de A sabent que ha succeït B?

P(A|B)=1

P(A|B)=0’8

Curs 2013-14 URV


Probabilitat condicionada3

A

A

B

B

Probabilitat condicionada

P(A) = 0’25

P(B) = 0’10

P(A∩B) = 0’005

P(A) = 0’25

P(B) = 0’10

P(A∩B) = 0

Probabilitat de A sabent que ha succeït B?

P(A|B)=0’05

P(A|B)=0

Curs 2013-14 URV


Probabilitat

Teorema de la probabilitat total

Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω

Ω

B

A1

A2

Ak

Curs 2013-14 URV


Teorema de bayes

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment

Ω

B

A1

A2

Ak

Curs 2013-14 URV


Probabilitat

Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%.

Teorema de Bayes

P(D)=0’7 P(F|D)=0’1 P(F|H)=0’2

  • Quin percentatge de fumadors hi ha en total?

    • P(F) = P(D) P(F|D) + P(H) P(F|H)

      = 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13%

  • Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador. Quina és la probabilitat de que sigui un home?

    • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46%

Curs 2013-14 URV


Expressi del problema en forma d arbre

Expressió del problema en forma d‘arbre

Fuma

0’1

Dona

0’7

0’9

No fuma

P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2

= 0’13

Estudiant

Fuma

0’2

0’3

P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F)

= 0’06 / 0’13

Home

No fuma

0’8

Curs 2013-14 URV


  • Login