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§3.4. 函数的单调性与曲线的凹凸性. 一、函数单调性的判定法. 二、曲线凹凸性与拐点. 三、小结 思考题. 一、函数单调性的判定法. 1、 单调性的判定. ⑴ 图形分析. 按照定义，单增函数的图形自左向右为上升的曲线；单减函数的图形自左向右为下降的曲线，如下图；. ⑵ 判定方法. 定理 1. 一、函数单调性的判定法. 证. 应用拉氏定理 , 得. 定理证毕。. 一、函数单调性的判定法. ⑶ 例题分析. 例1. 解. 注意： 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。.
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§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线凹凸性与拐点 三、小结 思考题
一、函数单调性的判定法 1、单调性的判定 ⑴图形分析 按照定义，单增函数的图形自左向右为上升的曲线；单减函数的图形自左向右为下降的曲线，如下图； ⑵判定方法 定理1
一、函数单调性的判定法 证 应用拉氏定理,得 定理证毕。
一、函数单调性的判定法 ⑶例题分析 例1 解 注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。
一、函数单调性的判定法 2、单调区间求法 ⑴问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在 各个部分区间上单调。 ⑵定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则 该区间称为函数的单调区间。 ⑶分界点：导数等于零的点(驻点) 和不可导点，可能是 单调区间的分界点。 ⑷单调区间求法:
一、函数单调性的判定法 例2 解 故单调区间分为
一、函数单调性的判定法 例3 解 单调区间为 注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性。 例如,
一、函数单调性的判定法 3、利用单调性证明不等式 例4 证
二、曲线凹凸性与拐点 1、曲线凹凸的定义 ⑴问题：如何研究曲线的弯曲方向？ 图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方
二、曲线凹凸性与拐点 ⑵定义 ⑶闭区间
二、曲线凹凸性与拐点 2、曲线凹凸的判定 ⑴图形分析 ⑵定理2 证明略。
二、曲线凹凸性与拐点 ⑶例题分析 例5 解 注意到，
二、曲线凹凸性与拐点 3、曲线的拐点及其求法 ⑴定义： 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。 ⑵拐点的求法1：
二、曲线凹凸性与拐点 例6 解 拐点 拐点 凹的 凸的 凹的
二、曲线凹凸性与拐点 ⑶拐点的求法2: 例7 解 注意:
二、曲线凹凸性与拐点 例8 解
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 3、曲线的弯曲方向——凹凸性; 4、改变弯曲方向的点——拐点。 1、单调性的判定 练习：第151页 1；34单；9（1）；10。 2、单调区间的求法 3、利用单调性证明不等式 思考题 二、曲线凹凸性与拐点 1、曲线凹凸的定义 2、曲线凹凸的判定 3、曲线的拐点及其求法 三、小结 作业：第151页 2；3478（4）；5；11；13。 1、判单调性是拉氏的重要应用. 2、单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.
例 思考题解答 不能断定. 但
当 时， 当 时， 注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内， 都不单调递增． 思考题解答
