计算机科学学院王小明（博士 / 教授 / 博士生导师） Email: wangxm@snnu

每节一经典 对大问题“分而治之，各个击破 ”：计算机科学学院王小明（博士/教授/博士生导师） Email: wangxm@snnu.edu.cn

分治法：把一个难于直接解决的大问题分解为若干个“相似”的小问题，再解所有小问题，然后把小问题的解“合并”，从而得到大问题的解。分治法：把一个难于直接解决的大问题分解为若干个“相似”的小问题，再解所有小问题，然后把小问题的解“合并”，从而得到大问题的解。即：分治法是递归设计方法的一种具体策略。例如：折半查找，快速排序，二叉树遍历，等等。第4讲分治法

分治法适用的条件 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相似问题；利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。第4讲分治法

第4讲分治法 注意：如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。适合用分治法不适合用分治法

分治法设计框架 1）分解：把原问题分解为多个规模较小、相互独立、形式相同的子问题； 2）解决：解决各个子问题（可能还需要分解）； 3）合并：将已得到的所有子问题的解合并为原问题的解。注意：有些问题分解后，不必求所有子问题的解。例如：折半查找。在下列序列中找数字2： 1，2，3，4，5，6，7 第4讲分治法

分治法算法框架 divide-and-conquer(P) {if ( n<= n0) then｛解子问题; return(子问题的解)｝ for (i=1,i<=k,i++) {分解原问题为更小的子问题 Pi yi=divide-and-conquer(Pi); //递归的解各子问题 } T= merge(y1,...,yk) ;//将子问题的解yi合并为原问题的解 return（T） } 第4讲分治法

问题分解应注意的事项： 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。第4讲分治法

分治法举例 例13. 金块问题。老板有n个金块，希望最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。假设有一台比较重量的仪器，如何用最少的比较次数找出最重和最轻的金块？第4讲分治法

理解金块问题：以9以内的实例理解问题。 第4讲分治法问题：1.最重的是那块？用max标记 2.最轻的是那块？用min标记

算法策略：用蛮力法。即从第一块开始，查找哪块最重，哪块最轻。算法策略：用蛮力法。即从第一块开始，查找哪块最重，哪块最轻。第4讲分治法 a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] 1) max min 2) <? <? … min

算法设计： Maxmin(float a[],int n) {max=a[1];min=a[1]; for(i=2;i<=n;i=i+1) {if(max<a[i]) max=a[i] else if(min>a[i]) min=a[i] } Return(max, min) } 第4讲分治法

第4讲分治法 算法分析：(1)时间复杂性和空间复杂性。分析该算法可以看出，比较操作 max<a[i]和mix<a[i]是执行频次最高的关键语句。因此以这两个语句执行的总次数作为该算法执行所需要的时间。最好情况下，金块由轻到重排列，不需要进行min<a[i]比较，而 max<a[i]比较共需进行n-1次,即可得到max和min; 最坏情况下，金块由重到轻排列，还需要进行n-1次min<a[i]比较，才能得到最终的min，因此共进行2(n-1)次比较。在平均情况下(概率平均)，a[i]将有一半的时间比max大，因此平均比较次数是3(n-1)/2。所以算法时间复杂度为O(n). 算法共用了n个存贮空间(a[i]占用的空间），所以空间复杂度为S(n).

第4讲分治法 算法正确性分析：算法的正确性分析包含两方面的含义：1）算法是可终止的。2）算法是有效的。在上述算法中，由于n是有限数，所以算法在有限次执行之后必然终止，这是显然的。算法的有效性是指当算法正常终止时，最重、最轻的金块能够被找到(没有遗漏现象)。由于算法是从第一个金块开始逐一寻找，直到和第n个金块比较之后才结束，所以最后得到的必然是最重(max)、最轻(min)的金块.综合1）和2），算法是正确的。

第4讲分治法 用分治法解决金块问题典型二分法思想：一种简单的分治法。即当每次将比较大的一个问题一分为二，形成两个较小的问题，再把每个较小问题一分为二，变为更小的两个问题，……,直到得到容易解决的小问题为止，再解决所有小问题，然后把小问题的解逐层合并，得到原来大问题的解。

第4讲分治法 典型二分法示意图：原问题子问题2 子问题1 子问题3 子问题4 子问题5 子问题6 ……

第4讲分治法 典型二分法用二叉树表示： ……

第4讲分治法 • 用二分法如何解决金块问题？ • 从两个简单实例谈起： • 假设只有一个金块，重10克，则不需要比较轻重，最重者和最轻者是同一个金块。即比较0次。 • (2) 假设有2个金块，一个重10克，另一个重16克，则 • 需要比较1次，可以把最重者和最轻者确定下来。 • (3) 当有多个金块时（假设6块），则用二分法对其分 • 解，直到分解为（1）或（2）的情形时，问题很 • 容易解决。

第4讲分治法 假设6个金块重量如下(以找最轻金块为例)： 2 6 4 3 8 1 一分为二（两组）：【2 6 4】【3 8 1】一分为二（四组）：【2 6】【4】【3 8】【1】解较小子问题： 2 4 3 1 合并子问题解： 2 1 lmin rmin < ?

第4讲分治法 课堂练习：假设6个金块重量如下：找最重者 2 6 4 3 8 1 一分为二（两组）：【2 6 4】【3 8 1】一分为二（四组）：【2 6】【4】【3 8】【1】解较小子问题：合并子问题解： lmax rmax < ?

第4讲分治法 用二分法解决金块问题算法设计：问题抽象、简化为：在n个元素的集合中寻找最大和最小值元素。 (1)将集合一分为二，变为两个集合，目的是在较小的两个集合中分别找最大、最小元素。 (2)递归分解较小集合，直到每个集合中的元素个数≤2，然后找出小集合的最大、最小元素。 (3)合并（回溯）：自低向上把子问题的解合并，大元素中取最大者，小元素中取最小者，最后得到元问题的解。

第4讲分治法 用二分法解决金块问题算法描述： Float a[n]; Maxmin(int I,int j,float &fmax,float &fmin) {int mid; float lmax,lmin,rmax,rmin; if (i=j) {fmax=a[i];fmin=a[i];} i j

第4讲分治法 用二分法解决金块问题算法描述(续)： else if (i=j-1) if（a[i]<a[j]） {fmax=a[j];fmin=a[i];} else {fmax=a[j];fmin=a[i];} else //i<>j-1 {mid=[(i+j)/2];//[x]表示取整数 maxmin(i,mid,lmax,lmin); i j … i j mid

第4讲分治法 用二分法解决金块问题算法描述(续)： maxmin(mid+1,j,rmax,rmin); if (lmax>rmax) fmax=lmax; else fmax=rmax; if (lmin>rmin) fmin=rmin; else fmin=lmin; } } 解合并：大者取大，小者取小

第4讲分治法 用二分法解决金块问题算法分析：以元素比较总次数作为maxmin算法的时间复杂度度量指标，用T(n)表示比较总次数，则可以推导出递归关系： T(n)下界为

第4讲分治法 对T(n)推导：整理整理 T(2)=1 整理

第4讲分治法 课外研究： (1)学有余力的同学把金块问题递归算法改写为非递归算法，并分析算法的时间复杂性，然后和书上递归算法进行比较。 (2)学有余力的同学深入理解p142”算法分析2”。 (3)学有余力的同学设计程序，实现递归和非递归算法，上机实际测试运行时间上的差别。

第4讲分治法 小结：（1）分治法的思想就是把大问题逐步分解为小问题……直到可解的小问题，最后把小问题的解逐层合并，得到大问题的解。（2）二分法是最简单的分治法，每次把问题一分为二。

第4讲分治法 作业：（1）预习p143-145 (2) p189,习题5，6，9

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