例 1. 变速直线运动的速度

2. §4－1　导数的概念 一、导数概念的引入 例1.变速直线运动的速度 物体作匀速直线运动时, 有 这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V. 由于匀速运动物 体的速度是不变的，因此

3. 0 S    S(t0) S(t0+t) 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)? 设一物体作变速直线运动，在[0, t]这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0) 如图

4. 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 [t0, t0+t] 这段时间内所走路程为 S = S (t0+t)  S (t0) 物体在 [t0, t0+t] 这段时间内的平均速度为

5. t越小，近似值 就越接近精确值V(t0). 就会无限接近 当t无限变小时，近似值 精确值V(t0). 也就是

6. y y=x2 0 x 例2.曲线的切线斜率 　　圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图

7. y y y=x3 y=sinx 1 x x 0 0 –1 又如，y = x3, 如图 又比如，y=sinx, 如图

8. y x 0 切线的一般定义：如图 设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线. N T N M C

9. y x 0 下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题. y=f (x) 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为. y0+y N T M y0 P C x   如图 x0 x0+x

10. y=f (x) y y0+y N T M y0 x C   x x0 x0+x 0 割线 MN 的斜率 P 当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN  MT. 从而. 因此, tgtg.

11. y=f (x) y y0+y N T M y0 x C   x x0 x0+x 0 所以切线MT的斜率： P

12. 二、导数的定义 定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果当x0时， 的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f ' (x0), 即

13. 存在，则称 注1.若 f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别

14. 注2.导数定义还有其他等价形式, 若记x=x0+x, 当x0时, x x0, 特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有

15. 注3.对于例1, 有 对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率

16. 注4.由于 称为 f (x)在x0的右导数. 称为 f (x)在x0的左导数. 有, f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.

17. 注5.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在(a, b)内可导. 　　此时，x(a, b)都有唯一确定的值f '(x)与之对应，所以导数是x的函数. 称为y=f (x)的导函数,

18. 按定义， f ' (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式. 而f '(x0)就是f '(x)在x= x0处的函数值，即 另外，求

19. 注6.

20. 三、求导举例 用定义求导数一般可分三步进行. 设y = f (x)在点x处可导 (1) 求y=f (x+x) f (x) (2) 求比值 (3) 求极限

21. 例3.求 y = C (常数)的导数. 解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0 (2) (3) 故(C )' = 0, 即常数的导数为0.

22. 例4.设 y = f (x) = xn. n为正整数，求f '(x). 解：(1) y = f (x+x) f (x) = (x+x)n  xn

23. (2) (3)

24. 即 (xn)'= nx n1 (x2)'=2x, (x3)'=3x2, 比如，(x)'=1, 一般，对幂函数y=x, 为实数 有 (x)' =  x1 比如

25. 例5.求y = sinx的导数. 解：(1) y = sin(x+x) sinx (2) (3)

26. 即　　(sinx)' = cosx 类似 (cosx)' = sinx

27. 例6.求y = ax的导数，其中a>0, a1. 解： 从而

28. 即 (ax)' = axlna 特别，取a = e, 则(ex)'= ex

29. 例7.求y=logax 的导数，其中a>0, a1, x>0, 并求y|x=1. 解：

30. 即 从而 特别，取a = e, 则

31. 四、导数的几何意义 　　由例2知, 函数y=f (x)在x0处的导数 f '(x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f '(x0). 一般, 若f '(x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为 法线方程为

32. y=f (x) y M f (x0) x x0 0 特别，(i)当f '(x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于 如图 x轴. 因此，法线垂直于x轴. 切线方程：y = f (x0). 法线方程：x = x0.

33. (2) 当f '(x0)=(不存在). 即k = tg =. 故 从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴. 切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).

34. y x 1 –1 0 如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1. 法线方程: y = 0.

35. 又如图 y x 0 由于在原点(0,0)处, (不存在) 从而切线方程: x=0, 法线方程: y = 0.

36. 例8.求过点(2, 0)且与曲线y=ex相切的直线方程. 解：由于点(2, 0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y  f (x0) = f '(x0)(x  x0). 由于(ex)'=ex, 因切线过点(2, 0), 代入, 得 得x0 = 3. 所求切线为y  e3 = e3(x3)

37. 五、可导与连续的关系 定理.若y=f (x)在 x0可导，则y=f (x)在 x0必连续. 证： 因f (x)在 x0可导，即

38. 由极限与无穷小量的关系，有 或 故

39. 定理的逆命题不成立，即, 若y=f (x)在x0连续，y=f (x)在x0不一定可导. 例.讨论f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性. 解：由于 故| x |在x=0连续.

40. x, x≥0 但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|= x, x<0 =1

41. = 1 由于左、右导数不相等, 故|x|在x=0不可导.

42. y y = |x| x 0 如图 y x 0 一般, 函数在尖点(角点)处不可导.

43. §4 – 2　求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1.设函数u=u(x),v=v(x)在点x处可导，则 均在x处可导. 且,

44. 证：(1) 记y=u (x)±v(x) 从而, 从而

45. (2) 要证 记

46. 故 因u、v可导, 从而连续, 故当x 0时, V0.

47. 证略

48. 定理中的(1)、(2)都可推广到有限多个的情形. 如，(u+v+w) = u+v+w (uvw)  = uvw+uvw+uvw

49. 推论：若f (x)在x处可导，c为常数，则 cf (x)在 x 处可导，且

50. 例1.求y = x2+5sinx的导数 解：