WAVELETS ( ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ) Ένα πανίσχυρο μαθηματικό εργαλείο με πολλές εφαρμογές

1. WAVELETS (ΚΥΜΑΤΙΔΙΑ)Ένα πανίσχυρο μαθηματικό εργαλείο με πολλές εφαρμογές Αριστείδης Προσπαθόπουλος Ινστιτούτο Ωκεανογραφίας ΕΛΚΕΘΕ Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13

2. Η ΙΔΕΑ ΜΕ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ... ΑΠΛΑ Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

3. Ανάλυση με μετασχηματισμό Fourier Το σήμα: > αναλύεται μέσω ημιτονοειδών συναρτήσεων διαφορετικών συχνοτήτων > μετασχηματίζεται από χρονικά μεταβαλλόμενο σε μεταβαλλόμενο με τη συχνότητα ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Όταν η πληροφορία των σημάτων στο πεδίο συχνοτήτων είναι μεγάλης σημασίας ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ Η χρονική πληροφορία χάνεται: Αν το σήμα περιέχει μη στάσιμα / δυναμικά / μεταβατικά χαρακτηριστικά (μετατόπιση, τάση, απότομη αλλαγή, αρχή και τέλος γεγονότος), η ανάλυση Fourier δεν μπορεί να τα εντοπίσει. Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

4. Ανάλυση με μετασχηματισμό Short-Time Fourier Το σήμα: > αναλύεται σε ένα χρονικό “παράθυρο” κάθε φορά > απεικονίζεται σε μία διδιάστατη συνάρτηση του χρόνου και της συχνότητας ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Παρέχεται κάποια πληροφορία και για το πότε και σε ποιες συχνότητες λαμβάνει χώρα κάποιο γεγονός στο σήμα. ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑ Η ακρίβεια της πληροφορίας καθορίζεται από το μέγεθος του χρονικού “παραθύρου”, το οποίο, μετά την επιλογή του, είναι το ίδιο για όλες τις συχνότητες. Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

5. Ανάλυση με μετασχηματισμό Wavelet Το επόμενο λογικό βήμα: Μία “παραθυρική” τεχνική με περιοχές μεταβλητού μεγέθους, όπου χρησιμοποιούνται μεγάλα χρονικά παράθυρα εκεί όπου απαιτείται ακρίβεια σε πληροφορίες χαμηλής συχνότητας και μικρότερα χρονικά παράθυρα εκεί όπου απαιτείται ακρίβεια σε πληροφορίες υψηλής συχνότητας. Η ανάλυση με wavelets δε χρησιμοποιεί απεικόνιση χρόνου-συχνότητας αλλά απεικόνιση χρόνου-κλίμακας (scale). Η κλίμακα μπορεί με κάποιο τρόπο να συνδεθεί με τη συχνότητα. Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

6. Σύγκριση των αναλύσεων Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

7. Τι μπορεί να κάνει η ανάλυση με wavelets; ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ Η ικανότητα “τοπικής ανάλυσης”, δηλ. να αναλυθεί μία εντοπισμένη περιοχή ενός μεγαλύτερου σήματος. Η ανάλυση με wavelets μπορεί να > αποκαλύψει όψεις των δεδομένων που χάνονται με άλλες τεχνικές, όπως τάσεις (trends), σημεία κατάρρευσης (breakdown points), ασυνέχειες σε μεγάλες παραγώγους, ομοιότητασήματος με τον εαυτό του (self-similarity). > Χρησιμοποιηθεί για τη συμπίεση ή αποθορυβοποίηση (de-noising) ενός σήματος με πολύ μικρό εκφυλισμό. Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

8. Τι είναι ένα wavelet; Κυματίδια είναι κυματομορφές “αποτελεσματικά” περιορισμένης διάρκειας με μέση τιμή μηδέν, οι οποίες τείνουν να είναι “ανώμαλες” και ασύμμετρες Ανάλυση Fourier: Αποσυνθέτει το σήμα σε ημιτονοειδή κύματα διαφορετικών συχνοτήτων Ανάλυση με Wavelets: Αποσυνθέτει το σήμα σε χρονικά μετατοπισμένες (shifted / translated) και κλιμακωμένες (scaled) εκδοχές του αρχικού ή μητρικού (mother) κυματιδίου Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

9. Κλιμάκωση (scaling) και μετατόπιση (shifting) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

10. Fa: ψευδοσυχνότητα, Fc: κεντρική συχνότητα, Δ: περίοδος δειγματοληψίας Σχέση κλίμακας και συχνότητας Χαμηλή κλίμακα α συμπιεσμένο κυματίδιο  γρήγορα μεταβαλλόμενες λεπτομέρειες  υψηλή συχνότητα Υψηλή κλίμακα α τεντωμένο κυματίδιο  αργά μεταβαλλόμενα χαρακτηριστικά  χαμηλή συχνότητα Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

11. Ο Συνεχής Μετασχηματισμός Wavelet (CWT) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

12. Η διαδικασία του μετασχηματισμού CWT • Παίρνω ένα κυματίδιο και το συγκρίνω με ένα τμήμα στην αρχή του σήματος • Υπολογίζω έναν αριθμό C που αναπαριστά το βαθμό συσχέτισης του κυματιδίου με το αυτό το τμήμα του σήματος • Μετακινώ το κυματίδιο προς τα δεξιά και επαναλαμβάνω τα βήματα 1 και 2 μέχρι να καλύψω όλο το σήμα • Τεντώνω το κυματίδιο και επαναλαμβάνω τα βήματα 1-3 • Επαναλαμβάνω τα βήματα 1-4 για όλες τις κλίμακες Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

13. Οι συντελεστές του μετασχηματισμού CWT Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

14. Ανάλυση σε σχέση με τη συχνότητα Ανάλυση σε σχέση με την κλίμακα Οι κλίμακες της φύσης Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

15. downsampling Approximations and details Ο Διακριτός Mετασχηματισμός Wavelet (DWT) DWT: Επιλέγω δυαδικές κλίμακες και θέσεις ανάλυση γρήγορη αποτελεσματική ακριβής Fast Wavelet Transform (DWT χρησιμοποιώντας φίλτρα) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

16. Μέγιστος αριθμός επιπέδων αποσύνθεσης , Ν: μήκος σήματος Πολυπεπίπεδη αποσύνθεση Δέντρο κυματιδιακής αποσύνθεσης σήματος Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

17. upsampling Τα φίλτρα ανασύνθεσης καθορίζουν αν > η τέλεια ανασύνθεση του σήματος είναι δυνατή > τη μορφή του κυματιδίου με το οποίο θα κάνουμε την ανάλυση Πολυπεπίπεδη ανασύνθεση Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

18. Οικογένειες Wavelets Daubechies Haar Symlets Mexican hat Morlet Coiflets Meyer Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

19. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

20. Breakdown 2ης παραγώγου Σήμα: Δύο διαφορετικές εκθετικές συναρτήσεις ενωμένες στο t=500 Wavelet: db4, Επίπεδο: 2 Ανιxνεύοντας ασυνέχειες / σημεία κατάρρευσης Breakdown συχνότητας Σήμα: Αργά μεταβαλλόμενο ημίτονο που ακολουθείται απότομα από γρήγορα μεταβαλλόμενο ημίτονο Wavelet: db5, Επίπεδο: 5 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

21. Ανιχνεύοντας μακρόχρονες εξελίξεις Γενική τάση σήματος Σήμα: Ράμπα + θόρυβος περιορισμένου φάσματος (“colored” noise) Wavelet: db3, Επίπεδο: 6 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

22. Ανιχνεύοντας oμοιότητες ή fractals Καμπύλη Koch Σήμα: Συνθετικό, που κατασκευάζεται με περιοδική επανάληψη Wavelet: coif3, CWT (κλίμακα 2:2:128) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

23. Προσδιορισμός καθαρών συχνοτήτων Προσδιορισμός συχνοτήτων σε ημιτονοειδές σήμα Σήμα: Άθροισμα ημιτόνων τριών διαφορετικών συχνοτήτων Wavelet: db3, Επίπεδο: 5 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

24. Wavelet: db2, Επίπεδο: 3 Μέση τιμήxkψ(x) = 0, k = 0,…,n “Εξαφάνιση” πολυωνύμου βαθμού n “Εξαφανίζοντας” το σήμα Ο ρόλος των μηδενιζόμενων ροπών στην εξαφάνιση ενός πολυωνύμου Σήμα: Πολυώνυμο 2ου βαθμού με λίγο λευκό θόρυβο (white noise) Wavelet: db3, Επίπεδο: 4 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

25. Απώλεια υψηλόσυχνης πληροφορίας Αποθορυβοποιώντας ένα σήμα Δυνατότητα αυτόματου κατωφλίου αποθορυβοποίησης Σήμα: Ημιτονοειδές με φαινόμενο Doppler και θόρυβο Wavelet: sym4, Επίπεδο: 5 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

26. DWT (Haar, Level: 4)  Blocking effects DWT (sym6, Level: 4)  Ringing effects SWT (sym6, Level: 4)  Best de-noising H coef. V coef. D coef. Αποθορυβοποιώντας εικόνες Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

27. Γενικό κατώφλι: 3.5 (Συντελεστές < 3.5) = 0  Μηδενικά: 42% Ενέργεια: 99.96% Γενικό κατώφλι: 30 (Συντελεστές < 30) = 0  Μηδενικά: 92% Ενέργεια: 97.7% Συμπιέζοντας εικόνες Συμπίεση δακτυλικού αποτυπώματος Wavelet: Haar, Επίπεδο: 3 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

28. Η δική μας εφαρμογήΑποθορυβοποίηση φάσματος ραδιενέργειας από τον υποθαλάσσιο αισθητήραΙωδιούχου Νατρίου «ΚΑΤΕΡΙΝΑ» Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

29. DWT μεκυματίδιο sym15 Τo φάσμα και η επιλογή κυματιδίου Τυπικά φάσματα από την ΚΑΤΕΡΙΝΑ Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

30. Επίπεδο: 4 Επίπεδο: 5 Επίπεδο: 3 Αποθορυβοποίηση φάσματος με symlet15 Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

31. Προσδιορισμός φωτοκορυφής 137Cs (24ωρη μέτρηση σε δεξαμενή ) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

32. Φάσμα από 36ωρη μέτρηση στο πεδίο Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

33. Προσδιορισμός φωτοκορυφών φάσματος από μετρήσεις στο πεδίο 214Bi (609 keV) 40K (1461 keV) 214Bi (1764 keV) 208Tl (2615 keV) Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

34. nomous Auto- mated (A) (R S) I Radioactivity Information System (R S) I CHRISTOS ARIS Πόσο θα βοηθήσουν τα κυματίδια στην εξέλιξη του συστήματος ΚΑΤΕΡΙΝΑ; Continuous High-performance (CH) (TOS) Towards Operational Sustainability & Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)

35. Ευχαριστώ προσοχή την για σας Σειρά Σεμιναρίων ΕΛΚΕΘΕ: Νο. 13 - Wavelets (Κυματίδια)