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和数形结合思想解题

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活用反比例函数的性质. 和数形结合思想解题. 问题提出:九年级上册的数学课本中明确指出初中生会利用反比例函数的性质和图像解决某些实际问题。反比例函数的解析式和反比例函数的图像关于直角坐标系的原点成中心对称,为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象 的问题具体化 。. 问题提出: 九年级上册的数学课本中明确指出初中生会

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活用反比例函数的性质

和数形结合思想解题

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问题提出:九年级上册的数学课本中明确指出初中生会利用反比例函数的性质和图像解决某些实际问题。反比例函数的解析式和反比例函数的图像关于直角坐标系的原点成中心对称,为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。问题提出:九年级上册的数学课本中明确指出初中生会利用反比例函数的性质和图像解决某些实际问题。反比例函数的解析式和反比例函数的图像关于直角坐标系的原点成中心对称,为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。

问题提出:九年级上册的数学课本中明确指出初中生会

利用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题。反比例函数的解析式、反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称、反比例函数解析式中常数k的几何意义,为利用数和形的相互关系来解决数学问题创造了条件。通过活用反比例函数的性质和数形结合思想解题,培养学生直觉思维能力。

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一、借助形的直观性来解决数学问题, 从“形”到“数”的思想应用

例1 如图,设直线 y=kx(k>0)与双曲线 相交于

A(x1,y1)、B( x 2 ,y2 )两点,求x1y2 - 3x2y1的值。

正比例函数图象、反比例函数图象关于原点对称

此题所给的图形能直观地引发出直觉:

点A、点B关于原点对称

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解析:此题中的k是一个迷惑条件,排除k的干扰才能顺利解答。解此性质题的切入点是图象的中心对称性。解析:此题中的k是一个迷惑条件,排除k的干扰才能顺利解答。解此性质题的切入点是图象的中心对称性。

由于y=kx的图象过原点,又因为双曲线

的图象的两个 分支关于原点

中心对称,所以A与B是中心

对称点,即x2= - x1 , y2= - y1;

∴ x1y2- 3x2y1

=x1(-y1)-3(- x1y1)

=2x1y1= -10.

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变式探究一(从“形”到“数”的思想应用)

例2 如图,函数y=kx(k≠0)的图象与 的图象

交于P,C两点,过点P作PB ⊥ y轴,垂足为B,求⊿BOC的面积。

y

B

P

o

x

C

P(x,y),C(- x , - y), B(0,y)

解题思路:

(数)

直线y=kx(k ≠0)

关于原点成中心对称

(形)

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变式探究二:(从“形”到“数”的思想应用)变式探究二:(从“形”到“数”的思想应用)

例 3 如图,A,C是函数 的 图象 上关于

原点对称的任意两点,AB,CD垂直于x轴,垂足分别为B、D,求四边形ABCD的面积。

解析:A,C是反函数的 图象 上关于原点对称的任意两点,可设A(x,y),C(-x, -y),

则B(x,0),D(-x,0).得

⊿ABD的面积=

⊿BCD的面积

最后求出四边形ABCD的面积。

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Y=k1x

A

Y=k2x

B

变式探究三:

例4 已知正比例函数 y=k1x与y=k2x(k1≠k2)的图象分别与反比

例函数的图象在第一象限内交于A、B两点,并且

, 求 的值。

解析 数形结合体现在:图形上的点

的坐标满足该图形的函数表达式;

当设A(x1, ),B(x2, )由“形”的关系

列出“数”的等式:

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变式探究四:

例5 如图,已知直线

与双曲线

交于A、B两点,

且点A的横坐标为4.过原点的另一条直线

交双曲线

于P、Q两点(P点在第一象限),若

由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标。

P

A

O

B

Q

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P

A

O

B

E

F

Q

解析 数形结合体现在:图形上的点的坐标满足该图形的函数表达式,可求出点A(4,2),K=8。当设P(x,y),有xy=8;

由形的关系直线 与直线 、双曲线

关于原点O对称,可得四边形PAQB是平行四边形,进而得出⊿PAO的面积是6,四边形PAFO的面积是10,由此推得梯

形PAFE的面积为10.列出代数式

又有xy=8,通过解方程组求出x,y的值。

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y

B

P

o

x

C

P

A

O

B

E

F

Q

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6

6

- 6

-6

二、在处理“数”的问题时,要有转化为“形”的意识,用“形”的

直观引发出直觉,从而定位解题方向。

例6 已知函数 的图象如图所示,利用 图象求方程

的近似解.(结果保留两个有效数字)

x

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(形)

(数)

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解析:对数的联想,产生了形的直观,以形助数,得出解答。画出双曲线 ,再画出直线

Y=-x+3,双曲线和直线的交点的横坐标就是原方程

的解。

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变式探究:

例7 方程 的正根有 ( )

A. 3个 B.2个 C.1个 D.0个

解题

思路:

(形)

(数)

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解析:从对等式的左右两边的代数式联想到几何图形。方程的正根,就是抛物线与双曲线在第一象限的交点的横坐标,图像在第一象限交于两点,原方程有两个正根。解析:从对等式的左右两边的代数式联想到几何图形。方程的正根,就是抛物线与双曲线在第一象限的交点的横坐标,图像在第一象限交于两点,原方程有两个正根。

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三、“数”与“形”和谐地统一,使得问题化繁为简三、“数”与“形”和谐地统一,使得问题化繁为简

例 8 如图双曲线 的图像经过矩形OABC

的对角线的交点D,求矩形OABC的面积。

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F

E

解析 矩形OABC的面积

=OA OC

=2DF 2DE

=4DFDE

=4 2

=8

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变式探究一:

例 9 如图,已知双曲线

经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边形OEBF的面积为2,求k.

解析 连接OB,观察图形, 由条件矩形OABC,点F是AB的中点,双曲线比例系数k的几何意义

知 ,

推得

所以

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变式探究二:

例10(福州)如图,在反比例函数 (x>0)的

图象上,有点 ,它们的横坐标依次

为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成

的阴影部分的面积从左到右依次为

求 的值。

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解析:可把 向左平移一个单位、 向左平移两个单位与 组成一个整体,可求得

=

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