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Distribuzione esponenziale:

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Distribuzione esponenziale:. Ipotizziamo un modello semplice:. Log-verosimiglianza:. Max =15.6. Test per stime MLE Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L) e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. L v ) I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested)

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Distribuzione esponenziale:

Ipotizziamo un modello semplice:

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Test per stime MLE

Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L)

e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. Lv)

I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested)

Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv  L

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Likelihood Ratio test

Misura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è valido, si dovrebbe perdere poca informazione:

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Test di Wald

Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello generale)

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Test dei moltiplicatori di Lagrange

Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello ristretto)

Se i  sono “vicini” a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa

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Derivata L

verosimiglianza

Vincolo su 

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Riprendiamo il modello iniziale:

È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con

Parametro =1

Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella esponenziale è la più adatta

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Utilizziamo i tre test per verificare:

  • LIKELIHOOD RATIO:
  • Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo:
  • Ln(L) non vincolato (Gamma) = -82.916
  • Ln(L) vincolato (esponenziale) = -88.436
  • LR=-2[-88.436-(-82.916)]=11.04  ²(1)

Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H0

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TEST DI WALD

Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:

Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

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TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE:

Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:

Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0

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