1 / 32

Számrendszerek

Számrendszerek. óvodapedagógusoknak. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése. Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy Legyen benne üres halmaz Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a H U {x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem.

lora
Download Presentation

Számrendszerek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Számrendszerek óvodapedagógusoknak

  2. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése • Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy • Legyen benne üres halmaz • Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem. • Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat • Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz. • Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B| • Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

  3. A természetes számok halmaza • A természetes számok halmaza végtelen számosságú, • Jelölése: N={1,2,3,…..} • Megjegyzések • Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg. • A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk. • A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám! • A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

  4. A természetes számok axiomatikus értelmezése • Alapfogalmak • Természetes szám • A nulla (0) • rákövetkezés • Axiómák

  5. A természetes számokra vonatkozó axiómák • A 0 természetes szám • Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám • Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne • Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző. • Ha egy T tulajdonság olyan, hogy • Igaz a k0€N számra, továbbá • Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k0, k€N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

  6. Műveletek természetes számokkal • Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB| • Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB| • Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B| • Osztás a,b€N, a:b az a c€N, melyre bc=a

  7. Műveleti tulajdonságok • Kommutatív A+b=b+a, ab=ba • Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc) • Disztributív (a+b)c=ac+bc

  8. Számírás

  9. Számírás - Róma • Római számok – csak alaki érték! • I,II,III,IV, V, VI,VII,VIII,IX,X,XI,…., L (50),,,,C(100),…D(500), ….M(1000),…. • MCMLXVIII (1968) • Európában az 1300 –as évekig ez volt használatban, műveletek elvégzésére alkalmatlan volt.

  10. Számírás • Hinduk – kb. 600-tól alkalmazzák a helyiértékes leírást. • Az indiai számjelek számjegyekké fejlődését könnyítette, hogy nem voltak összetett jelek. • A helyiérték fogalmát valószínűleg Mezopotámiából vették át. • Kínai hatás látszik (nagyságrend jelölése)

  11. kínai

  12. Számrendszerek • A tetszőleges természetes szám, g>0 természetes szám, A=angn+an-1gn-1 +…+a2g2+a1g1+a0 156=1*102+5*101+6*100=15610 156=1*125+1*25+5+1=1*53+1*52+1*51+1*50 =11115 156=1*128+0*64+0*32+1*16+1*8+1*4+0*2+1*0= 1*27+0*26+0*25+1*24+1*23+1*22+0*21+0*20= 100111002

  13. ÁTÍRÁS 10-ESBŐL • Kettes számrendszerbe • 29 a tízes számrendszerben • Kettő hatványok: • 29:16=1, marad 13 • 13:8=1, marad 5 • 5:4=1, marad 1 • 1:2 0, marad 1 • 1:1 1 • 11101

  14. Jelrendszer • 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,… • Kettes számrendszer: 0,1 • Hármas számrendszer: 0,1,2 • …. • Nyolcas számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7 • …. • 16-os számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

  15. Visszaírás 10-es számrendszerbe a kettes számrendszerből 110111 a kettes számrendszerben • 1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1=55 • 1010001 kettes • 1*64+1*16+1=81 tízes számrendszer

  16. Visszaírás 3-as számrendszerből tízesbe • 12023 • 1*27+2*9+2=47 • 21120 hármas számrendszerben • 2*81+1*27+1*9+2*3= • 204 tízes számrendszerben

  17. Műveletek 2-es számrendszerben • Összeadás 10112+1012= 1011 0101 10000 • Szorzás 1011*11 1011 100001

  18. Egész számok • Ahhoz, hogy a kivonás is korlátlanul elvégezhető legyen, a természetes számok halmazát bővítenünk kell a negatív egész számok halmazával. Ekkor kapjuk az egész számok halmazát. • Az egész számok halmazelméleti jelölése: Z • Z={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...}

  19. Racionális számok • Azokat a számokat, amelyeket felírhatjuk két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. (a racionális latin szó, itt most azt jelenti, hogy arányként felírható) • Természetesen az egész számok racionális számok. (Az osztó az 1.) • A racionális számok halmazelméleti jele: Q.

  20. Tizedes törtek • A racionális számokat felírhatjuk tizedes tört alakban is. • A tizedes törtek lehetnek • véges tizedes törtek • szakaszos tizedes törtek (tiszta szakaszos, vegyes szakaszos tizedes törtek) • A tizedes törteknek végtelen, nem szakaszos formája is van, ezek nem képezhetők két egész szám hányadosaként, ez a forma egy újabb számhalmaz tizedes tört alakja. • Az alakú racionális szám, akkor és csak akkor írható fel tiszta szakaszos tizedes tört alakban ha (b;10)=1 (azaz b és a 10 legnagyobb közös osztója az 1)

  21. Irracionális számok • Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük. • Az irracionális számok halmazelméleti jelölése: Q* • A nem szakaszos végtelen tizedes törtek irracionális számok.

  22. Indirekt bizonyítás Tétel: irracionális szám a √2 • Bizonyítás: • Indirekt bizonyítás lényege: ha az állítás tagadásáról kimutatjuk, hogy hamis, akkor az állítás igaz. • Tegyük fel, hogy √2 racionális szám, azaz van p, q egész, hogy p/q alakban felírható

  23. számosság • Véges - végtelen • Megszámlálható végtelen – természetes számok, racionális számok • 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1…. • ½ 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 9/2…. • 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3…. • ¼ 2/4 ¾ 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4…. • 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5…. • Nem megszámlálható

  24. függvények • A leképezések típusai: • Egy-egyértelmű leképezés – kölcsönösen egyértelmű leképezés - minden a-nak egy b képe van és viszont. • Több a-hoz egy b tartozik (gyerek →életkor függvény, de az életkor →gyerek leképezés nem függvény) • Egy a-hoz több b tartozik – nem függvény • Függvény – A egyértelmű leképezése B-re

  25. „szabály játék” • A szabály felismerése • A szabály alkalmazása • Példák • Y=x+3

  26. Wass Albert Arany János Petőfi Sándor Kányádi Sándor Móra Ferenc Valaki jár a fák hegyén Szeressétek az iskolát Feltámadott a tenger Családi kör Üzenet haza Toldi János vitéz Szerzők, versekA={költők}, B={versek}

  27. leképezések • Költő→vers leképezés • vers→költő (leképezés - függvény) • AxB={minden(vers, költő)} értelmezési tartomány • T={igaz, hamis} • F: AxB→T logikai függvény

  28. Inverz függvény • Csak kölcsönösen egyértelmű leképezés esetén tudjuk értelmezni. • Vizsgáljuk meg a versek és szerzők egymáshoz rendelését! • Vers --- szerző (egy versnek egy szerzője van) • Szerző --- vers (egy szerző több verset is írt.)

  29. feladat • Gesztenyét gyűjtünk egy nagy kosárba, és bevisszük a gyerekekkel a csoportszobába. • Veszünk (készítünk) olyan dobozokat, melyek egymásba rakhatók. • kettesével lehet egy nagyobb dobozt készíteni • Két kisebb dobozt egy nagyobb dobozba be lehet rakni.

  30. Kettes számrendszer

  31. Hármas számrendszer • A fenti eljárással tegyük be a gesztenyéket a dobozokba, 3-3 db-ot egy dobozba. • Ha a dobozok hármasával rakhatók egymásba, akkor a 23 gesztenye elrakásához kell • Két kilences, azaz kétszer háromszor hármas doboz, • Egy hármas és kívül marad 2 • 23=2*9+1*3+2, 2123

  32. Felírás kettes számrendszerben • 1 csillag • 1 „kettes” doboz • 1 dupla kettes doboz • 0 dupla (dupla kettes) doboz • 1 dupla (dupla (dupla kettes)) doboz • 10111 kettes számrendszerben • 101112 • 1*16+0*8+1*4+1*2+1*1=23

More Related