بسم الله الرحمن الرحیم

1. بسم الله الرحمن الرحیم

2. مساله ی سرمایه گذاری • مساله ی سرمایه گذاری به این صورت است که ما i واحد پول در اختیار داریم و می توانیم این مقدار سرمایه را در n طرح A1,A2,…,An سرمایه گذاری کنیم .سرمایه گذاری باید برحسب واحد صحیح پول باشد یعنی نمی توانیم در طرحی مقدار 2.5مقدار را سرمایه گذاری کنیم . • هدف نهایی مساله یافتن بهترین راه سرمایه گذاری در طرح های موجود است به گونه ای که سود حاصل از آن ماکسیمم شود.

3. در اینگونه مسائل مقدار کل سرمایه ی موجود به همراه جدولی که شامل طرح ها و میزان سود ناشی از سرمایه گذاری در این طرح هاست داده می شود.(جدول1 ) • یک راه حل بدیهی که از روش حریص استفاده میکند این است که در هر مرحله با دانستن مقدار سرمایه ی موجود از میان n طرح،آن طرحی را انتخاب کنیم که سود بیشتری را به ما میدهد. مثلا در جدول1 اگر در مرحله ی 4 میزان سرمایه 4 باشد روش کورکورانه از بین سه طرحA,B,C طرح C را که سود بیشتری تولید میکند (3,1 )را انتخاب خواهد کرد در صورتی که این میزان سود برای سرمایه ی 4 بیشینه نیست؛بلکه میتوان با 3 واحد سرمایه گذاری در طرح C و 1 واحد سرمایه گذاری در طرح B به سود بیشینه ی 4.5دست یافت! پس این روش کارایی لازم را ندارد.

4. تشریح مساله: در این مساله مراحل حل عبارتند از سرمایه گذاری در n طرح A1,A2,…,An . برای حل این مساله نیز مانند سایر مسائل برنامه ریزی پویا، از روش بازگشتی استفاده می کنیم و در نتیجه موقعی که به مرحله ی 1 برسیم جواب کلی مساله در دست خواهد بود. با توجه به این توضیحات معلوم میشود که وضعیت سیستم عبارت است از مقدار سرمایه ی باقیمانده جهت تحصیص به مراحل بعدی، یا به عبارت دیگر سرمایه ای که تاکنون به مراحل قبلی تخصیص نیافته است.

5. برای حل مساله از متغییرهای زیر استفاده می کنیم: n تعداد طرح هایی است که می خواهیم در آنها سرمایه گذاری کنیم . (n,i) سرمایه ی باقیمانده جهت تحصیص به n طرح باقیمانده . r (n,k) مقدار سود حاصل از سرمایه گذاری k مقدار از مقدار کل i سرمایه،در n طرح. به بیان بهتر k عبارت است از مقدار سرمایه ای که به مرحله ی n ام تخصیص داده می شود و واضح است که مقدار آن نمیتواند از i تجاوز کند. f(n,i)کل سود حاصل شده تا مرحله ی n ام.

6. بررسی زیر ساختار بهینه: اگر برای n طرح مقدار f(n,i) ماکسیمم باشد باید مقدار f(n-1,j) هم ماکسیمم باشد درغیر این صورت میتوانیم یک f/ (n-1,j) در نظر بگیریم که طرح های متفاوتی از fدارد و سود بیشتری را تولید می کند و این با ماکسیمم بودن f(n,i) تناقض دارد. (روش past&cut) • فرمول بازگشتی زیر برای حل مساله ارائه شده است: یعنی وقتی طرحی در دست نیست 0 n=0 f(n,i) = 0 i=0 max[r(n,i,k)+f(n-1,j)] o.w i≥k≥0

7. ارائه ی الگوریتم و راه حل بازگشتی حل مساله: Sood(n,i) { for k=0 to i f[0,k]=0; for k=0 to n f[k,0]=0; for p=1 to n { for j=1 to i { max=0;

8. for k=0 to j { temp=r[p-1,k]+f[p-1,j-k]; if(temp≥max) { max=temp; t=k; } f[p,j]=max; c[p,j]=t; } } {

9. در این الگوریتم هر عنصرf[i,j]ماتریس،سود بیشینه ای است که از سرمایه گذاری j واحد پول در i طرح بدست خواهد آمد. عناصر ماتریس f به صورت سطری از چپ به راست پر میشوند و عنصر f[n,i] جواب کلی مساله را در بر دارد . ماتریس c نیز که همزمان با ماتریس f پر میشود شامل اطلاعاتی است که برای ساختن جواب بهینه مورد استفاده قرار میگیرند؛به این صورت که عنصر c[i,j] شامل عددی است که با داشتن j واحد سرمایه در طرح i ام سرمایه گذاری شده و باعث بیشینه بودن سود حاصل گشته است. مشاهده میشود که پیچیدگی زمانی الگوریتم از مرتبه ی (O(k3است به طوری کهk=max{n,i} .(چون الگوریتم شامل سه حلقه ی for تودرتو است)

10. ساختن جواب بهینه: Print(n,i) { k=c[n,i]; n-- ; if(n>0) print(n-1,i-k); printf(“\t %d “ ,k); }

11. مثال:فرض کنید شخصی 6 واحد پول دارد که میتواند آنها را در سه طرحA,B,C قرار دهد.اگر سود حاصل از سرمایه گذاری او برحسب جدول زیر باشد سرمایه گذاری بهینه را برای او بدست آورید. جدول 1

12. 0 1.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 1.5 2 2.2 2.3 2.4 2.5 r= 0 0 0.5 1 3 3.1 3.2 3.3 0 0 0 0 0 0 0 0 1.2 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 1.5 2.7 3.9 4.4 4.6 4.7 f= 0 0 1.5 2.7 3.9 4.5 5.7 6.9

13. 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 c= 1 0 0 0 3 3 3