LE CERCLE AU CYCLE 3

1. LE CERCLE AU CYCLE 3 A. Husson – L. Bizot – M. Roirand

2. SOMMAIRE • Introduction Le cercle dans les programmes aux cycles 1 et 2. Le cercle dans les programmes au cycle 3. • I – Le cercle: Définition • II – Pistes d’exploitation en CE2 • III – Pistes d’exploitation en CM1 • IV – Pistes d’exploitation en CM2 • Conclusion Transversalité en Français Prolongements Sources

3. LE CERCLE DANS LES PROGRAMMES AUX CYCLES 1 ET 2 • Compétence attendue à la fin du cycle 1: «Dessiner un rond» (Découvrir le monde, Découvrir les formes et les grandeurs). • Compétence attendue à la fin du cycle 2: «Reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels». Il faut noter que le cercle ne figure pas dans les programmes du cycle 2. Cependant il est souvent introduit pendant l’étude du triangle, du carré et du rectangle.

4. le cercle dans les programmesau cycle 3 • Pour le cycle des approfondissements, les programmes de l’école primaire stipulent que • «L'objectif principal de l'enseignement de la géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux élèves de passer progressivement d'une reconnaissance perceptive des objets à une étude fondée sur le recours aux instruments de tracé et de mesure». • A la fin du cycle 3, les élèves devront avoir acquis les compétences suivantes : • «Reconnaître, décrire et nommer les figures et solides usuels». • «Utiliser la règle, l'équerre et le compas pour vérifier la nature de figures planes usuelles et les construire avec soin et précision». • «Formule de la longueur du cercle»

5. I – Le cercle • Définition Un cercle est une courbe plane fermée, constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. Le terme cercle désigne uniquement la courbe ou circonférence, la surface étant appelée disque. Cette définition est adaptée au CM2, il faudra simplifier les termes en CE2 et CM1.

6. I – Pistes d’exploitation en CE2 • Compétences attendues en fin de CE2 : • -Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant la règle graduée et l’équerre. • -Construire un cercle avec un compas. • -Reconnaître qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l’aide du papier calque. • -Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée. • -Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu.

7. Activités de découverte • Les élèves disposent de verres , de gobelets ,de pièces de monnaie ,de boîtes de conserves cylindriques , de jetons et de feuilles blanches . • Consigne: tracer des cercles avec les objets que vous avez. • C’est en construisant des objets de nature géométriques et en résolvant des problèmes que l’élève sera progressivement amener à concevoir certaines propriétés , à les formuler ,à les utiliser.

8. Introduction possible pour le cercle • En Ce1 les élèves se sont exercés à reconnaître, nommer, décrire et tracer les figures planes tels le carré, le triangle, le rectangle . Les seuls instruments qu’ils connaissent sont la règle et l’équerre. • Une situation –problème est présentée aux élèves : • « Vous devez tracer les figures suivantes: • Un triangle , un rectangle, un carré ,et enfin un cercle à l’aide de votre règle et de votre équerre. » • Problème:Les élèves ne peuvent pas tracer de cercle avec la règle et l’équerre.

9. Présentation d’un nouvel outil : le compas

10. Un certain temps doit être consacré à la découverte de ce nouvel instrument . Il est indispensable que les élèves s’exercent à l’utiliser avant de prétendre pouvoir tracer des cercles.

11. ACTIVITES PREPARATOIRES Le compas sera abordé comme un outil de comparaison et de report de longueur. • Activité de report de longueur: • Matériel: Une feuille blanche sur laquelle des points portant le nom de lettres sont situés, un compas, la carte d’un pays vierge avec un seul point qui désigne la ville à découvrir. • L’écartement du compas est déterminé par un segment [AB] figurant sur la feuille blanche. • Les élèves doivent placer la pointe du compas sur la première lettre du nom de la ville et reporter la longueur du compas afin de trouver la seconde lettre de cette ville.

12. Maintenant pour découvrir la 3éme lettre, il faut mettre la pointe du compas sur la deuxième lettre de la ville et conserver le même écartement [AB]. Et ainsi de suite pour découvrir les autres lettres. • Enfin, les élèves doivent joindre tous les points dans l’ordre pour découvrir le nom de cette ville. Cet exercice permet aux élèves d’utiliser et de manier le compas afin de reporter une même longueur. Autre activité :Le report de longueur sur une seule et même droite pour comparer des périmètres: chaque report étant matérialisé par un arc de cercle.

13. Les élèves peuvent reporter bout à bout la longueur des côtés de chacune des figures sur deux droites différentes et mesurer la longueur totale des segments obtenus sur chaque droite pour connaître le plus long périmètre. • Autre activité de manipulation du compas: S’entraîner à tracer des cercles: Scénario de construction pour tracer le cercle: -Placer un point -Placer la pointe du compas sur le point -Faire pivoter le crayon du compas en appuyant bien sur la pointe et aller jusqu’au point de départ .

14. Activités proposées en CE2: A 1)Enigmes Faire tracer deux cercles de centre A un de rayon 4 cm et l’autre de rayon 7 cm. Proposer des énigmes du type: • Je suis un point situé à 9 cm du point A. • Je suis dans la région bleue: Vrai ou faux? • Je suis dans la zone rose: Vrai ou faux? • Je suis dans la région blanche Vrai ou faux?

15. Je suis à 4 cm de A . Où suis –je? • Je suis un point à l’extérieur du petit cercle et à moins de 7 cm du point A . Où suis-je? 2) Message • Faire jouer les élèves par deux : chacun place un point dans une région ou sur un cercle et rédige un message pour que le voisin , qui n’a pas eu connaissance du choix fait ,le découvre. 3) Le vocabulaire • Tracer sur une feuille blanche et/ou sur du papier calque un grand cercle. Découvrir par le pliage, le diamètre , le rayon , les axes de symétrie du cercle.

16. I – Pistes d’exploitation en CM1 • Compétences attendues en fin de CM1: • Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d’un cercle, rayon, diamètre. • Vérifier la nature d’une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l’équerre et le compas. • Décrire une figure en vue de l’identifier parmi d’autres figures ou de la faire reproduire. • Compléter une figure par symétrie axiale. - Tracer une figure simple à partir d’un programme de construction ou en suivant des consignes.

17. Une possibilité de séquence en CM1 • Séance 1 : Qu’est-ce qu’un cercle ? • Séance 2 : Comment tracer un cercle ? • Séance 3 : Utiliser les propriétés du cercle. • Séance 4 : Construire une figure simple à partir d’un programme de construction. La séquence proposée peut-être traitée seule ou intégrée à une séquence sur les figures planes.

18. Séance 1 Objectifs : Connaître le vocabulaire géométrique du cercle (centre, cercle, diamètre, rayon) • Découverte: Donner une ½ feuille (A5) à chaque élève, sur laquelle un point A est placé en son milieu. Consigne: « Placez une vingtaine de points distants de 4 cm du point A. » (montrer des exemples si besoin). • Mise en commun : Que constatez-vous ? A quoi ressemble le tracé ? (un cercle) Faire remarquer que tous les points distants de 4 cm vont se trouver sur le cercle. En arriver à la conclusion «Un cercle est l'ensemble des points situés à égale distance d'un point, qui est le centre du cercle. »

19. Séance 1 suite • Phase d’institutionnalisation: Demander aux élèves ce qu’ils savent à propos de cette figure, c’est à dire du cercle. Les élèves parleront peut-être des termes de rayon, diamètre, centre… Si les élèves utilisent ces termes leur demander de venir expliquer aux autres de quoi il s’agit sur le cercle au tableau.  Sinon ou s’il manque des termes : Dire oralement en plaçant les points et en traçant: « Au tableau nous avons un cercle de centre A et de rayon [AB]. Je place aussi [CD] un diamètre de ce cercle.  Demander les particularités des points A, B, C, D. (B,C,D sont sur le cercle de centre A ; AB-AC-AD sont des rayons du cercle ; CD est un diamètre). Expliquer / Rappeler les termes de centre, rayon, diamètre. • Synthèse et trace écrite : Ecrire la définition du cercle dans le cahier.

20. Séance 2 Objectifs : Utiliser le compas pour tracer un cercle. Connaître le vocabulaire géométrique du cercle (centre, cercle, diamètre, rayon) • Rappel de la définition du cercle et du vocabulaire associé à cette notion. • Recherche collective : Je voudrais que vous reproduisiez cette figure avec sa légende sur vos cahiers mais comment allez vous faire ? Qui peut m’expliquer ? Un débat commence sur la méthode de construction du cercle. Les élèves mentionneront certainement l’utilité du compas. Rebondir en demandant : « A quoi sert un compas ? Comment l’utilise-t-on ? » S’ils n’en parlent pas, présenter l’outil visuellement.   Inviter un élève à venir au tableau reproduire la figure. Un élève viendra montrer comment on trace un cercle avec un compas, il mettra en avant le fait qu’avec le compas on peut reporter une longueur (celle du rayon dans notre cas ou celle des points C, D) Entraînement au tracer de cercles libre puis avec des mesures données par le maître. Observations: Le diamètre est égal à deux fois le rayon. Plus le rayon est grand, plus le cercle est grand (introduire la notion de disque). Synthèse et trace écrite : Tracer et légender un cercle de 3 cm de rayon sous la définition écrite la veille.

21. Séance 3 Objectifs : Utiliser le compas pour tracer un cercle. Comprendre et appliquer la définition du cercle. • Rappel de la définition du cercle et du vocabulaire associé à cette notion. • Situation problème: Jeu du trésor. Les élèves doivent trouver un point sur une carte en s’aidant d’indications telles que : Le trésor est caché à plus de 5 cm de la maison, moins de 3 cm de la bibliothèque et exactement 6 cm de l’école… Cette activité ludique à pour but d’illustrer la définition du cercle et permet aux élèves de s’entraîner à reporter une mesure et tracer avec un compas. • Mise en commun : Explication et comparaison des procédures. • Synthèse orale : Retour sur la définition du cercle et la prise de mesures avec le compas.

22. Un exemple simple du jeu du trésor

23. Séance 4 Objectifs: Utiliser le compas correctement. Construire une figure simple à partir d’un programme de construction. • Explication de l’activité : Insister sur le fait que le programme de construction vise à tracer une seule figure car les élèves ont tendance à construire une figure pour chaque consigne. • Entraînement : Construire une figure en respectant le programme donné. • Correction collective : Les élèves justifient et expliquent leurs productions. • Synthèse et trace écrite : Fiche sur la construction d’une figure. • Activité complémentaire : Déterminer entre 3 programmes de construction lequel correspond à la figure donnée.

24. III – Pistes d’exploitation en CM2 1/ DEFINITION DU CERCLE ET VOCABULAIRE SPECIFIQUE. Ces aspects ayant été abordés en CM1, il s’agit essentiellement d’une remémoration des connaissances antérieures sur le cercle. Il peut être intéressant de commencer la séquence par un problème nécessitant la mobilisation de ces connaissances. OBJECTIFS: - Comprendre que le cercle est un ensemble de points situés à la même distance d’un autre point appelé centre. - Comprendre et savoir utiliser le vocabulaire géométrique: cercle, centre du cercle, rayon, diamètre. • Exemple de petit problème: «20 bateaux partis de différents endroits sont en route pour la Réunion dans le cadre d'une course. Ils sont actuellement ex-æquo à 800 m de l’île. En remplaçant 800m par 8cm sur ton dessin, reproduis cette situation en plaçant les bateaux à la bonne distance de l’île.»

25. Comparer les différentes symbolisations de l’île utilisées par les élèves. Symbolisation la plus simple: un point noté I (île). • Mettre en évidence que la méthode qui consiste à tracer un cercle de rayon 8cm est plus efficace que celle dans laquelle on place 20 points à 8cm de l’île. • On retrouve alors la définition du cercle: ensemble de points situés à la même distance d’un autre point appelé centre du cercle. • Le cercle est tracé au tableau en notant I le centre et en désignant A et B deux bateaux diamétralement opposés et C un autre bateau. Interroger les élèves sur la nature du point I, centre du cercle, des segments [AI], [BI] et [CI], rayons du cercle, du segment [AB], diamètre du cercle. • Faire remarquer aux élèves que la longueur du diamètre est égale au double de celle du rayon et qu’il existe une infinité de cercle et de rayons.

26. Remarque: Si le terme n'apparaît pas dans les programmes, il peut être intéressant d'aborder la notion de disque. Certains élèves ont en effet tendance à les confondre et à employer le terme cercle pour désigner la surface comme la circonférence. • Exemple de problème: Dans un champ d’herbe, un mouton est attaché à un piquet par une corde de 9 m. Consigne: Représente la situation et colorie la surface où peut brouter le mouton. Maintenant, le fermier décide d’attacher le mouton à son piquet avec une barre en fer de la même longueur que la corde. Consigne: Change de couleur pour montrer où le mouton va pouvoir brouter de l’herbe. Remarque: Le vocabulaire « arc de cercle » peut également être abordé (souvent employé en géométrie).

27. 2/ reproduction, CONSTRUCTION • «Les problèmes de reproduction ou de constructions de configurations géométriques diverses mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l'occasion d'utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé». Remarque: • Les programmes de construction restent complexes pour les élèves de cycle 3 en particulier lorsqu’il s’agit d’en produire . Cependant, leur élaboration permet aux élèves de vivre la nécessaire précision du vocabulaire et de la succession des différentes étapes de tracés.

28. EXEMPLE DE PROGRESSION • Reproduire une figure complexe constituée de plusieurs cercles. • Reproduire une figure complexe constituée de plusieurs figures planes (dont le cercle). • Pouvoir expliquer oralement sa démarche de reproduction. • Trouver parmi plusieurs programmes de construction lequel correspond à la figure présentée. • A partir d'un programme de construction, construire une figure • complexe constituée de plusieurs figures planes (cercle(s), carré(s), • rectangle(s), triangle(s) rectangle(s)). • Elaborer le programme de construction d'une figure complexe • constituée de plusieurs figures planes dont le cercle après avoir • reproduit cet ensemble de figure.

29. Il peut être intéressant d’élaborer un programme de construction collectivement, par exemple à destination d’une autre classe. L’ensemble de figures peut être crée par les élèves. Une grille d’écriture d’un programme de construction peut être envisagée en lien avec les textes prescriptifs en français. • Exemple d'activité en binômes: La moitié de la classe a une figure complexe composée de plusieurs Figures planes, l'autre moitié en a une autre. Chaque élève reproduit sa figure puis élabore un programme de construction. Les 2 élèves du binôme s'échangent leur programme de construction et chaque élève doit construire la figure décrite. La validation se fait par comparaison avec la figure d'origine.

30. 3/ Le périmètre d'un cercle • Dans la partie «Grandeurs et mesures» des programmes figure la «formule de la longueur du cercle»i.e périmètre ou circonférence. • Formule: P = π × D ouP = 2 × π × R avec π = 3,14 au centième près. Il y a donc nécessité d'introduire Pi (ainsi que la touche Pi de la calculatrice). • OBJECTIF: Calculer le périmètre d'un cercle en utilisant sa formule. • PRE-REQUIS: Savoir calculer le périmètre du carré et du rectangle. Multiplication d'un nombre entier par un nombre décimal. • Le nombre Pi peut être introduit de différentes façons pour que les élèves lui donnent du sens et ainsi éviter de le présenter aux élèves arbitrairement.

31. Mettre en évidence que le périmètre d'un cercle, c'est un peu plus de 3 fois son diamètre. Par groupes de 3 ou 4, les élèves tracent un cercle dans la cour avec le grand compas de classe. Comment mesurer la circonférence ? Recueil des idées des élèves - avec la règle: voir que ce n'est pas possible compte tenu de la différence de forme même si l’on considère des toutes petites portions de cercle. - certains élèves peuvent penser au rapporteur vue sa forme. - avec quelque chose de souple comme de la ficelle qu'on dépliera ensuite.

32. Doit-on renouveler cette opération à chaque fois qu'on doit mesurer la circonférence d'un cercle ? Discussion pour trouver une méthode plus efficace. Quelle était la seule mesure vérifiable ou connue avant de tracer le cercle? Rayon ou diamètre. Combien de fois le rayon ou le diamètre est-il contenu dans la circonférence? On ne peut pas car le rayon est droit, et le cercle est courbe. Rappeler alors l’utilisation de la ficelle. Et on se rapproche de la formule car le diamètre est contenu 3 fois, mais il en reste un peu... • Présenter Pi comme un nombre qui arrondi est égal à 3,14 et permet de calculer la longueur du cercle par la formule: P = π × D • Amener les élèves à remarquer que si l'on utilise la formule en remplaçant le diamètre par le rayon multiplié par 2 on obtient le même résultat car le diamètre est égal au double du rayon.

33. Travail en lien avec la proportionnalité •   Approximation du rapport entre la circonférence et le diamètre. • Dans "J'apprends les maths CM2" (Brissiaud), on propose de tracer des cercles de diamètre 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm,7cm,8cm sur une feuille A4. Puis découper dans une autre feuille A4, 7 bandes de papier de longueur 29,7cm et de largeur 2cm pour mesurer les périmètres des cercles tracés. • Remplir un tableau de 2 colonnes (diamètre et périmètre en cm). Laisser la première ligne du tableau qui correspond à un cercle de diamètre 1cm. • Poser les questions : quelle est la différence entre le périmètre du cercle de diamètre 8cm et celui du diamètre 7cm ? Même question avec les deux cercles de diamètre 7cm et 6cm... Peut-on prévoir approximativement le périmètre d'un cercle de 1cm de diamètre, c'est-à- dire la valeur de l'unité? Vérification: Trace un cercle de 1cm , mesure le périmètre et complète la première ligne du tableau. L'élève découvre Pi.

34. Transversalité en français • L’élaboration de programmes de construction en CM2, bien que complexe, peut-être l’occasion de travailler la production d’écrit en français. En effet, cet exercice nécessite de maîtriser la syntaxe et la conjugaison des phrases injonctives. • Pour réaliser cette activité les élèves devront aussi mobiliser le vocabulaire géométrique avec une grande précision et respecter l’organisation spatiale de ce type d’énoncé.

35. ProlongenemtsTICE • Pour trouver la liste de sites contenant des activités en ligne: www.cartables.net www.espacefr-education.com www.espacefr.com • Logiciel Carmetal • Logiciel Geogebra

36. Prolongement en Arts visuelsKandinsky

37. Sources • Les programmes de l’école primaire,B.O. du 19 juin 2008 • Manuel de maths CE2, collection diagonale, 2003 • Manuel PE2, hachette éducation • De la maternelle à l’université, bulletin de l’APMEP, numéro 419 • Pour apprendre la géométrie en dessinant: www.crdp.ac-grenoble.fr • Les cercles dans les œuvres de Kandinsky: www3.ac-nancy-metz.fr • Aide mémoire de géométrie: www.mapmev.info • Apprentissages géométrique et résolution de problèmes, Hatier ERMEL