Percursos em um grafo

1. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percursos em um grafo

2. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Definição • Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) • Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; • Percurso aberto: caso contrário

3. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Notação • A sucessão é indicada por: • Vértices • Arestas • Vértices e arestas alternados

4. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) G a c e b d Exemplo

5. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Comprimento de um percurso • Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) • O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado?

6. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Tipos de percurso • Simples: não repete arestas • Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) • Ciclo: percurso simples e fechado • Ciclo elementar: só há repetição do último vértice • Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo

7. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Percurso abrangente • Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez • Euleriano • Hamiltoniano

8. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Conexidade

9. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo • u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G.

10. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo • u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G • Notação: caminho-(u,v) • G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

11. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Grafo Conexo • u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G • Notação: caminho-(u,v) • G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

12. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Reflexiva

13. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Caminho-(u, u)

14. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Caminho-(u, u) • Simétrica

15. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Caminho-(u, u) • Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)

16. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Caminho-(u, u) • Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) • Transitiva

17. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Equivalência • Caminho-(u, u) • Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) • Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w)

18. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas

19. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas • É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi

20. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Componentes Conexas • É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi • Os subgrafos G(V1), ..., G(Vp) são chamados de componentes conexas de G.

21. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Maximalidade (Minimalidade) • Seja S um conjunto e S'  S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade  quando S' satisfaz a propriedade  e não existe subconjunto S''  S e S'  S'' que também satisfaz . Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz .

22. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Maximal (Minimal) • G´  G é maximal em relação a uma propriedade  se não houver G’’  G´tal que G” tem a propriedade . • Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

23. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G

24. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo G G é Conexo

25. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo

26. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

27. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

28. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

29. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

30. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

31. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo H G G é Conexo H é desconexo (G)= número de componentes conexas de G

32. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Decomposição por Conexidade • Conex (s0 V) • entrada: G = (V,E) • 1. v ← s0; • 2. R(v) ← {v}; • 3. Y ← ; • 4. enquanto  (R(v)) – R(v)  faça • 5. Y ←  (R(v)) – R(v); • 6. R(v) ← R(v) U Y; • 7. fim-enquanto • 8. Y ← R(v); • 9. V ← V – Y; • 10. se V  então • 11. Conex (s  V) • 12. fim-se-então • saída: componentes conexos de G

33. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exemplo v ← a G Y ← , {b,c}, {d} a a R(v) ← {a}, {a,b,c},{a,b,c,d} c c b b f f d d e h g j i

34. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Decomposição por Conexidade • Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange • Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices • Complexidade: O(n2) • Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter)

35. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema • Um grafo G é desconexo • sss • V pode ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V1 e o outro em V2

36. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema • Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices

37. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios • Indique percursos simples e não simples em G1 • Indique percursos não elementares em G2 • Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. • Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos. b a c d a a G1 G2 c b b d e e

38. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Exercícios • Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado. b a c d a a G c b b d e e

39. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema • Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

40. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () v u

41. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF@&*!) () P v u

42. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P w v u

43. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w v u

44. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w v u u1

45. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w P1 v u u1

46. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w P1 v Q1 u u1

47. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w v u u1

48. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) () P Q w v u u1

49. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Teorema • Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo • (n-k)(n-k+1)/2 arestas

50. Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781) Prova • Idéia: n1 + n2 + ... + nk = n e ni≥ 1, 1 ≤ i ≤ k Desigualdade algébrica utilizada: i=1,k ni2 n2 – (k-1)(2n-k)