Meningsfylt matematikk - også for de som strever med faget

1. Meningsfylt matematikk -også for de som strever med faget Geir Botten Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for lærer- og tolkeutdanning

2. Mynter i lomma Jeg har fem mynter i lomma. Til sammen er det 32 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma? Jeg har åtte mynter i lomma. Til sammen har jeg 50 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma mi?

3. Mynter i lomma • Har vi funnet alle løsningene eller ikke? • Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? • Hvordan forklarer elever det? • Hvis vi nå vet at det finnes flere løsninger, så kan dere få stille meg ett spørsmål for å finne ut hvilke mynter jeg har i lomma. • Spørsmålet skal være et ja/nei- spørsmål som ikke inneholde noe tall. • Hva vi dere spørre meg om?

4. Hva hvis? • Hva hvis vi har 20 kroner og fem mynter? Hvilke mynter kan det være? • Hva hvis vi reiser til Danmark da? • 4 kroner er det minste beløpet jeg kan lage ved hjelp av åtte mynter, dvs. ved hjelp av åtte 50-øringer. 160 kroner er den største beløpet jeg kan danne med åtte mynter. Da har jeg bare 20-kroninger. • Er det mulig å danne alle andre beløp? • Er det noe system i hvilke som kan dannes og hvilke som ikke kan dannes?

5. Å lage nye myntoppgaver Lag et rikt problem inspirert av myntproblemet og løs det. - Ikke mer enn 10 mynter - Ikke mer enn 100 kroner til sammen - Minst to løsninger

6. I butikken • Vi har bare 3-kroner og 7-kroner (Det er ikke mulig å veksle?) • Hva slags priser kan vi ha i butikken? • Hva hvis vi bare har 2-kr, 5-kr og 9-kr? • Hvilke priser kan vi ha i butikken hvis vi bare har 6-kr og 11-kr? (Det er mulig å veksle.) • Tall som er innbyrdes primske

7. Sammenhenger • James Joseph Sylvester (1884) utledet en formel for å finne det tallet som er den største summen av to tall som ikke kan dannes: Differansen mellom produktet av de to myntene og summen av de to myntene. • Hvis vi har to myntenhetene 3-kr og 7-kr er den største summen som ikke kan dannes: (3 • 7) – (3+7)= 21-10 = 11

8. En annen sammenheng Sylvester (1884) har utledet en annen formel som brukes til å finne antall tall (summer) som ikke kan dannes: ½ (a-1) • (b-1) Hvis vi har 3-kr og 7-kr og setter disse verdiene inn i formelen finner vi at: ½ (3-1) • (7-1) = 6 Det er seks summer som det ikke er mulig å danne ved hjelp av bare 3-kr og 7-kr.

9. I kiosken På stranda er det en kiosk med et meget begrenset vareutvalg. Du kan kjøpe følgende: Sjokolade: 7 kr Is: 11 kr Brus: 13 kr I kiosken kan man bare betale med 100 lapper og det er ikke mulig å veksle. Du skal spandere godsaker på hele venneflokken. Hva kan du kjøpe for å få utnyttet 100-lappen din maksimalt?

10. Eksempler på motiverende opplegg i matematikk • Hva koster ei ukes ferie på Hitra? • Svaret er 8 – hva er spørsmålet? • Kaprekars tall

11. Ferie på Hitra • En familie med to voksne og to barn (tenåringer) planlegger ei ukes ferie på Hitra. • Hvor mye mindre penger har familien etter denne uka, og hva er pengene brukt til?

12. Svaret er 8 - Hva er spørsmålet? • I en sjuendeklasse arbeider hele trinnet over en fjorten dagers periode med aktiviteter, oppgaver og problemstillinger knyttet til et opplegg de har kalt ”Svaret er 8, hva er spørsmålet?” • Hver dag bruker elevene mellom 5 og 15 minutter på opplegget

13. Starten • Forsiktig start • Hvor mye er 4 + 4? • Hvor mye er 5 + 3, 6 + 2, 7 + 1 og 8 + 0? • Økende vanskegrad • Hvor mye er 12 – 4? • Hvor mye er 12008 – 12000? • Store tall • Hvor mye er 137567005 – 137566997? • Hvor mye er 26553481 + 45621332 – 72174805?

14. To dager senere • Addisjon og subtraksjon av brøker med forskjellige nevner slik at svaret blir lik 8 • Jørgens foreslår oppgaven:

15. Oppgaver fra hjemmelekse • Eva: Hvor mange bein hadde Sleipner? • Kemal: Hvor mange sideflater er det i et oktaeder?” • Lise: I går ertet katten vår to spurver, men den klarte ikke å fange dem. Hvor mange bein hadde disse tre dyra til sammen? • Sasha: Mora mi har 1 bror og dobbelt så mange søstre. Faren min har like mange søstre som mora mi, og tre ganger så mange brødre som henne. Hvor mange tanter og onkler har jeg til sammen?

16. Oppgavetyper • Oppgaver med benevning som kroner, meter eller liter. • Oppgaver om prosent og med desimaltall • Ligninger • Geometrioppgaver

17. Utfordrende oppgaver • Silje forteller en dag at hun hadde snakket med søstera si på ungdomsskolen, og fra henne har hun fått oppgaven: Hva er stigningstallet for funksjonen • De aller fleste elevene forstår lite eller ingenting av denne oppgaven, men den blir med i klassens samling mest som en kuriositet eller en smakebit på en matematikk de sikkert kommer til å møte senere

18. Matematikk i lokalsamfunnet • Matematiske diskusjoner • på skolen og i fritida • med søsken og foreldre under middagen og på ettermiddagene • Oppgavene blir samlet og mange av dem slått opp på ei oppslagstavle i klasserommet • På foreldremøte gjenkjenner flere av foreldrene oppgaver som var blitt til etter diskusjoner hjemme hos dem

19. Kaprekars tall • Skriv fødselsdatoen din som et firesifret tall, for eksempel 1705 • Ordne sifrene i dette tallet i synkende rekkefølge og i stigende rekkefølge, 7510 og 0157. (Pass hele tiden på å ha fire siffer i tallene ved eventuelt å sette på nuller foran). • Trekk det andre tallet fra det første 7510 - 0157 = 7353 • Gjenta prosessen med svaret du fikk, 7533 - 3357 = 4176 • Gjenta prosessen og se hva son skjer

20. Kaprekars tall, forts • I en femteklasse der de hadde jobbet med et prosjekt om Kaprekars tall, fortalte en mor på foreldremøte noen dager senere at sønnen hennes en ettermiddag hadde sittet i to timer og trukket fra hverandre tall. Det måtte jo være noen i familien som hadde bursdag på en dag som ikke landet på 6174! • I en annen klasse gjennomførte de et prosjekt der de jaktet på bursdager der en bare trengte å regne en gang for å komme til tallet 6174. Det finnes en del slike bursdager, blant annet 6. februar, 26. april, 20. juni. Det finnes flere, så god jakt! • Hvis vi ser på svarene en er innom i regneprosessen fram mot 6174, ser en at tverrsummen alltid blir enten 9, 18 eller 27. Dersom tverrsummen for eksempel blir 17, har en regnet feil akkurat der.

22. Realistisk matematikkundervisning • Hovedprinsipp • Hans Freudenthals konsept for matematikk som en menneskelig aktivitet • Studenter i matematikklasserom skal ikke betraktes som passive mottakere av ferdig matematikk. Elevene må bli veiledet mot å bruke mulighetene til å ”gjenoppfinne” matematikken ved å gjøre det selv • Studenter starter med en aktivitet knyttet til en kontekst, f.eks. • Borddekking og servering i kantina • Klinkekuler, boccia eller dartspill • Elevene utvikler gradvis matematiske verktøy og forståelse på et mer formelt nivå. Matematiske modeller kommer ut fra elevenes aktiviteter og er støttet av samhandling mellom elevene i klasserommet • Mål at aktivitetene skal føre til høyere nivåer av matematisk tenkning

23. Hva gir mening for elevene? • Åpne for å bygge undervisningen på elevene egne tanker og innspill • Kreative regnehistorier • Undring og fascinasjon • Matematikk som kulturaktivitet • Tolking, søking etter sammenheng og betydning

24. Regnefortelling av Aron Det var en gang 94 maurtuer. I hver maurtue var det 26 636 maur. Hver maur hadde 6 bein. Etter et år hadde 25 % dødd, men det var blitt født 34 nye maur i hver maurtue. Så kom den store maurkrigen. Da døde 23 %, 42 % forsvant og 13 % av de som var igjen hadde mistet et bein. Hvor mange bein var det da i de 94 maurtuene? (Om det blir desimaler, så dør den mauren av maurpest.) Rockström 1992, s. 52, min oversettelse

25. Tallet pi • Praktisk tilnærming • Mål rundt og tvers over ulike sirkelrunde gjenstander • Regn ut forholdet mellom omkrets og diameter • Let etter informasjon om pi på nettet

26. Pi • Noen linker: • http://no.wikipedia.org/wiki/Pi • http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ • http://ing.dk/artikel/97054-verdens-mest-irriterende-sang-pi-sangen • http://blogg.frankeivind.net/2010/03/14/pi-fyller-ar/