Konometrie ii
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Ökonometrie II. Multikollinearität. Der Sachverhalt. Modell Y = X b + u , Ordnung von X : n x k Annahme A2: r( X ) = k In der Realität: Spalten von X können Linearkombinationen anderer Spalten sein („Rangabfall“); Determinante von X‘X ist Null

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Ökonometrie II

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Presentation Transcript


Konometrie ii

Ökonometrie II

Multikollinearität


Der sachverhalt

Der Sachverhalt

Modell Y = Xb + u,Ordnung von X: nxk

Annahme A2: r(X) = k

In der Realität:

  • Spalten von X können Linearkombinationen anderer Spalten sein („Rangabfall“); Determinante von X‘X ist Null

  • Regressoren können hoch korreliert sein; Determinante von X‘X hat Wert nahe bei Null

    Fragestellungen:

  • Konsequenzen von Multikollinearität

  • Möglichkeiten zum Identifizieren von Multikollinearität

  • Möglichkeiten, die Auswirkungen von Multikollinearität zu vermindern

Multikollinearität


Ein beispiel

Ein Beispiel

Rang von X‘X ist 2

Determinante det(X‘X) von X‘X hat Wert Null

Die Inverse (X‘X)-1 kann ermittelt werden als

(CX‘X: Matrix der Kofaktoren); ist nicht definiert, wenn det(X‘X) = 0

Achtung! Korrelation zwischen 2. und 3. Spalte von X ist 1!

Multikollinearität


Konsumfunktion

Konsumfunktion

C = b0 + b1 Ya + b2 Ye + b3 Yt + u

C: Privater Konsum

Ya: Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit

Ye: Einkommen aus Besitz und Unternehmung

Yt: gesamtes Einkommen (Yt =Ye + Ya)

X hat Ordnung nx4, aber Rang 3; X‘X hat Ordnung 4x4, aber Rang 3; die Inverse (X‘X)-1 existiert nicht!

Multikollinearität


Korrelierte regressoren

Korrelierte Regressoren

Ordnung von X: nxk

  • X‘X kann eine nahezu singuläre Matrix sein

  • Invertieren von X‘X liefert sehr große Werte

  • Wegen Var{bt} = s2 (Xt’Xt)-1 sind Standardabweichungen der Schätzer gross

  • Die t-Werte sind klein, die Macht der t-Tests ist reduziert

Multikollinearität


Konsumfunktion forts

Konsumfunktion, Forts.

C = a + b1 Ya + b2 Ye + u

OLS-Schätzer für b1, geschrieben als partieller Regressionskoeffizient:

bca: Schätzer aus einfacher Regression C = a + b1 Ya + u; analog bce, bea

rae: Korrelationskoeffizient zwischen Ya und Ye

  • rae = 1; z.B. für Ye = c Ya: bce = c bca, bae = c-1

    bca.e = 0/0 (unbestimmte Form)

  • für orthogonale Regressoren gelten rae = bae = 0 und bca.e = bca

Multikollinearität


Identifizierte parameter

Identifizierte Parameter

C = a + b1 Ya + b2 Ye + u

Lineare Abhängigkeit: Ye = c Ya

C = a + (b1 + cb2 )Ya + u = a + g Ya + u

OLS-Schätzer für g = b1 + cb2 kann problemlos berechnet werden, nicht aber für b1 und b2

Man sagt: g ist identifiziert, b1 und b2 sind nicht identifiziert

Multikollinearität


Konsumfunktion f r 1976 2001

Konsumfunktion für 1976-2001

Datensatz DatS01 (Konsum und Einkommen)

C = b0 + b1 YDR + b2 PC + b3 MP + u

C: Privater Konsum

YDR: verfügbares Einkommen der Haushalte

PC: Konsumdeflator

MP: privates Geldvermögen

Multikollinearität


Konsumfunktion forts1

Konsumfunktion, Forts.

Dependent Variable: CR

Method: Least Squares

Date: 04/28/05 Time: 20:26

Sample(adjusted): 1976 2001

Included observations: 26

VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C2310.739298.37357.744451 0.0000

YDR0.3936480.0618776.361820 0.0000

MP0.0886770.007291 12.162150.0000

PC1.2830740.437438 2.9377270.0076

R-squared0.997563 Mean dependent var8365.077

Adjusted R-squared0.997230 S.D. dependent var1590.255

S.E. of regression83.69166 Akaike info criterion11.83279

Sum squared resid154094.5 Schwarz criterion12.02635

Log likelihood -149.8263 F-statistic3001.430

Durbin-Watson stat1.539090 Prob(F-statistic)0.000000

Multikollinearität


Konsumfunktion forts2

Konsumfunktion, Forts.

Dependent Variable: CR

Method: Least Squares

Date: 04/28/05 Time: 20:29

Sample(adjusted): 1976 2001

Included observations: 26

VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.

C -766.3772429.8791 -1.7827740.0878

YDR0.8060830.1406765.730050 0.0000

PC1.8354511.182595 1.5520540.1343

R-squared0.981175 Mean dependent var8365.077

Adjusted R-squared0.979538 S.D. dependent var1590.255

S.E. of regression227.4772 Akaike info criterion13.80014

Sum squared resid1190155. Schwarz criterion13.94531

Log likelihood -176.4019 F-statistic599.3971

Durbin-Watson stat0.348434 Prob(F-statistic)0.000000

Multikollinearität


Multikollinearit t

Multikollinearität

Orthogonale Regressoren: für jedes Paar von Spalten xi und xj aus X gilt xi‘xj = 0

Unkorrelierte Regressoren: für jedes Paar von Spalten xi und xj aus X gilt rij = 0

Unter Multikollinearität versteht man das Nicht-Zutreffen der Orthogonalität der Regressoren bzw. das Nicht-Zutreffen der Unkorreliertheit der Regressoren

Konsequenzen von Multikollinearität sind umso gravierender, je stärker die Regressoren korreliert sind

Häufige Ursache für Multikollinearität ist ein gemeinsamer Trend zwischen den Regressoren; Achtung bei Lagstrukturen

Multikollinearität


Residuendarstellung von b i

Residuendarstellung von bi

Modell Y = Xb + u,Ordnung von X: nxk

OLS-Schätzer für bi (vergl. Kap. 6.3 in Hackl, 2004):

Mi: residuenerzeugende Matrix für Regression von Xi auf alle Spalten von X außer Regressor Xi („Hilfsregression für Xi“)

= Mixi: Residuen der Regression von Xi auf alle Spalten von X außer Xi

Multikollinearität


Sch tzer f r unkorrelierte daten

Schätzer für unkorrelierte Daten

Die Matrix A = I – i(i‘i)-1i‘, i=(1,…,1)‘, erzeugt zentrierte Xi: AX2 enthält Abweichungen von den Mittelwerten für die Spalten Xi, i=2,…,k

Für orthogonale Regressoren ist X2‘AX2 eine Diagonalmatrix

i-te Komponente von b2:

mit

bi* stimmt mit dem OLS-Schätzer von bi aus Y = a+biXi+u überein

Multikollinearität


Vergleich von b i und b i

Vergleich von bi und bi*

  • OLS-Schätzer bi sind unverzerrt; das gilt für die Schätzer bi* im allgemeinen nicht

  • die Varianz von bi kann sehr viel größere Werte annehmen als die Varianz von bi*

  • der Schätzer der Varianz der Störgrößen ist unverzerrt

Multikollinearität


Ein ma f r multikollinearit t

Ein Maß für Multikollinearität

mit TSS = , RSS =

Ri2 ist das Bestimmtheitsmaß der Regression von Xi auf die Spalten von X ohne Xi („Hilfsregression“)

  • Ri2 ≈ 0: bi* ≈ bi, Korr{Xi,Xj} ≈ 0 für alle i ≠ j;

  • Ri2 ≈ 1: RSS << TSS, d.h. Xi ist lineare Funktion der Spalten von X ohne Xi

    Multikollinearität bedeutet, dass Ri2 ≈ 1 für mindestens ein i

Multikollinearität


Indikatoren f r multikollinearit t

Indikatoren für Multikollinearität

  • Bestimmtheitsmaße Ri2 der Hilfsregressionen

  • VIFi (variance inflation factors)

  • Determinante der Matrix der Korrelationskoeffizienten der Regressoren (ein Wert nahe bei Null zeigt Multikollinearität an)

  • Konditionszahl (condition index, condition number) k von X‘X:

  • lmax (lmin) ist maximaler (minimaler) Eigenwert von X‘X; ein großer Wert (>20) von k ist Hinweis auf Multikollinearität

  • Effekt des Hinzufügens eines Regressors auf se(bi): Regressor ist (a) relevant: se(bi) wird größer; (b) multikollinear: se(bi) wird kleiner

Multikollinearität


Die gr en vif i und r i 2

Die Größen VIFi und Ri2

: variance inflation factor von bi

Ergibt sich aus

  • VIFi ≈ 0: Ri2 ≈ 0, bi* ≈ bi, Corr{Xi,Xj} ≈ 0 für alle i ≠ j; kein Problem mit Multikollinearität

  • VIFi ≈ 1 für mindestens ein i: Ri2 ≈ 1, Xi ist lineare Funktion der Spalten von X ohne Xi; Achtung! Multikollinearität

Multikollinearität


Gr nde f r gro e var b i

Gründe für große Var{bi}

  • Ist SXti2 klein: zu wenig Beobachtungen (extrem: n < k)

  • Ist klein: zu geringe Varianz der Xti (extrem: Var {Xi} = 0)

  • Ist : Multikollinearität (extrem: Ri2 = 1)

Multikollinearität


T test bei multikollinearit t

t-Test bei Multikollinearität

Der Schätzer für s wird durch Multikollinearität nicht gestört; se(bi) wird bei Multikollinearität überschätzt

t-Test von H0: bi=0; Teststatistik T = bi/se(bi)

  • unter H0 gilt: T~ t(n-k), unabhängig von Multikollinearität (kein Effekt auf Wahrscheinlichkeit des Typ I Fehlers)

  • unter H1: bi ≠ 0 gilt: Wahrscheinlichkeit des Typ II Fehlers wächst mit Var{bi}

Multikollinearität


Ma nahmen bei multikollinearit t

Maßnahmen bei Multikollinearität

  • Vergrößern der in die Schätzung einbezogenen Datenmenge

  • Eliminieren der für Multikollinearität verantwortlichen Regressoren

  • Bei gemeinsamen Trends: Spezifikation des Modells in Differenzen statt in Niveauwerten

  • Berücksichtigen von Information über Struktur der Parameter

Multikollinearität


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